第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年遼寧省錦州市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z=11+i，則z的虛部為(

)A.12i B.?12i 2.下列四個(gè)命題正確的是(

)A.α//β，a?α，b?β?a//b B.α⊥β，l?α，m?β?l⊥m

C.α∩β=a，b//a?b//α D.l⊥α，m?β，α//β?l⊥m3.下列函數(shù)為奇函數(shù)的是(

)A.y=|tanx| B.y=x?sinx C.y=x+cosx D.y=xsinx4.已知a=(3,3)，b=(?2,5)，則向量a在b上的投影的數(shù)量為(

)A.92929 B.73135.如圖，攢尖是中國(guó)古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為撮尖，清代稱為攢尖，通常有圓形攢尖、三角形攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分.多見(jiàn)于亭閣式建筑，某個(gè)園林建筑為六角攢尖，它的頂部的輪廓可近似看作一個(gè)正六棱錐，若此正六棱錐高為1且側(cè)棱長(zhǎng)為2，則棱錐側(cè)面積為(

)A.372

B.2336.△ABC中，∠B=45°，D是BC邊上一點(diǎn)，AD=5，AC=7，DC=3，則AB的長(zhǎng)為(

)A.52 B.36 C.7.已知函數(shù)f(x)=2cos2ωx+3sin2ωx?1(ω>0)A.ω=2

B.函數(shù)f(x)在[0,π6]上為減函數(shù)

C.直線x=π3是函數(shù)y=f(x)圖象的一條對(duì)稱軸

D.8.在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=2，外接球表面積為643π，P為A1C1的中點(diǎn)，Q為側(cè)面BCC1BA.5 B.3 C.10 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z1滿足i?(zA.z1的共軛復(fù)數(shù)為?i

B.|z1|=1

C.z19=i

D.若復(fù)數(shù)10.已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分圖象如圖所示，其中M(π3,2)，A.f(x)的最小正周期為4π

B.x∈[0,2π3]時(shí)，f(x)的最大值是3

C.f(x)的圖象向右平移2π3個(gè)單位后為奇函數(shù)

11.如圖，線段AB為圓O的直徑，點(diǎn)E，F(xiàn)在圓O上，EF//AB，矩形ABCD所在平面和圓O所在平面垂直，且AB=2，EF=AD=1，則下述正確的是(

)A.OF//平面BCE

B.BF⊥平面ADF

C.點(diǎn)A到平面CDFE的距離為217

D.三棱錐C?BEF三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.化簡(jiǎn)：sin40°(tan10°?3)=

13.函數(shù)y=11?x的圖象與函數(shù)y=2sinπx(?2≤x≤4)的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于______．14.如圖，在三棱錐P?ABC的平面展開圖中，AC=1，AB=AD=3，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cos∠FCB=

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知向量a=(1,1),|b|=22．

(1)若a//b，求b的坐標(biāo)；

(2)若16.(本小題15分)

如圖，直三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1=AC=BC=22AB，若G，F(xiàn)分別是B1C，A1B的中點(diǎn)．

(1)求證：GF//平面ABC；

(2)17.(本小題15分)

已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，向量m=(a,b+c)，n=(3sinC+cosC,1)，m?n=2(b+c)．

(1)求A；

(2)若18.(本小題17分)

如圖，在三棱錐A?BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O為BD的中點(diǎn)．

(1)證明：OA⊥CD；

(2)若△OCD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AD上，DE=2EA，且二面角E?BC?D的大小為45°，求三棱錐A?BCD的體積．19.(本小題17分)

已知△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，其中a[tan600°+sin(3π2+C)]=csin(π2+A)．

(1)若c=52a，求cosB的值；

(2)當(dāng)tanA取最大值時(shí)，記M=23sinA，求M；

(3)在參考答案1.D

2.D

3.B

4.A

5.A

6.C

7.D

8.A

9.ABCD

10.AC

11.ABC

12.?1

13.8

14.?115.解：(1)由題意，設(shè)b=λa=(λ,λ)，

因?yàn)閨b|=22，所以λ2+λ2=22，所以λ=±2，

所以b=(2,2)或b=(?2,?2)．

(2)因?yàn)?5a?2b)⊥(a+b)，

所以(5a?2b)?(a16.(1)證明：法一：取BB1中點(diǎn)H，連接HG，

因?yàn)镚，H，F(xiàn)分別為B1C，B1B和A1B中點(diǎn)，

所以HG//BC，HF//B1A1，

因?yàn)锳1B1//AB，從而HF//AB，

HG?平面ABC，BC?平面ABC，

所以HG//平面ABC，

同理可證得HF//平面ABC，

而HG?平面HGF，HF?平面HGF，

且HG∩HF=H，

所以平面HGF//平面ABC，

而GF?平面HGF，

所以GF//平ABC；

法二：連接B1A，

因?yàn)镕為BA1中點(diǎn)，可得F為B1A中點(diǎn)，

又因?yàn)镚為B1C中點(diǎn)，

所以FG//CA，

又因?yàn)镃A?平面ABC，GF?平面ABC，

所以FG//平面ABC；

(2)證明：在直棱柱ABC?A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，

因?yàn)锳C?平面ABC，所以BB1⊥AC，

設(shè)AA1=1，因?yàn)锳A1=AC=BC=22AB，

可得AC=BC=1，AB=2，

因?yàn)镃A2+CB2=AB2，所以AC⊥BC，

又因?yàn)锽C∩BB1=B，

所以AC⊥平面17.解：(1)根據(jù)m=(a,b+c)，n=(3sinC+cosC,1)，可得m?n=a(3sinC+cosC)+b+c，

結(jié)合題意m?n=2(b+c)，化簡(jiǎn)得3asinC+acosC=b+c，

根據(jù)正弦定理得3sinAsinC+sinAcosC=sinB+sinC，

因?yàn)椤鰽BC中，sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，

所以3sinAsinC+sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC+sinC，整理得3sinAsinC=sinC(cosA+1)．

結(jié)合△ABC中，sinC≠0，化簡(jiǎn)得3sinA?cosA=1，即2sin(A?π6)=1，

在△ABC中，A?π6∈(?π6,5π618.解：(1)證明：因?yàn)锳B=AD，O為BD的中點(diǎn)，所以AO⊥BD，

又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO?平面ABD，

所以AO⊥平面BCD，又CD?平面BCD，

所以AO⊥CD；

(2)方法一：

取OD的中點(diǎn)F，因?yàn)椤鱋CD為正三角形，所以CF⊥OD，

過(guò)O作OM//CF與BC交于點(diǎn)M，則OM⊥OD，

所以O(shè)M，OD，OA兩兩垂直，

以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)M，OD，OA所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則B(0,?1,0)，C(32,12,0)，D(0,1,0)，

設(shè)A(0,0,t)(t>0)，則E(0,13,2t3)，

因?yàn)镺A⊥平面BCD，故平面BCD的一個(gè)法向量為OA=(0,0,t)，

設(shè)平面BCE的法向量為n=(x,y,z)，

又BC=(32,32,0),BE=(0,43,2t3)，

所以由n?BC=0n?BE=0，得32x+32y=043y+2t3z=0，

令x=3，則y=?1，z=2t，故n=(3,?1,2t)，

因?yàn)槎娼荅?BC?D的大小為45°，

所以|cos<n,OA>|=|n?OA||n||OA|=2t4+4t2=22，

解得t=1，所以O(shè)A=1，

又S△OCD=12×1×1×32=34，所以S△BCD=32，

故VA?BCD=13S△BCD?OA=13×3219.(1)因?yàn)閍[tan600°+sin(3π2+C)]=csin(π2+A)，

所以a(tan60°?cosC)=ccosA，即a(3?cosC)=ccosA，

在△ABC中，由正弦定理得，sinA(3?cosC)=sinCc