第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年吉林省長春市農(nóng)安十中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)2+3i1?i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知向量a=(m?2,6)，b=(m,2)，且a//b，則A.?1 B.1 C.3 D.?33.從裝有除顏色外完全相同的2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么對(duì)立的兩個(gè)事件是(

)A.至少有1個(gè)白球，至少有1個(gè)紅球 B.至少有1個(gè)白球，都是紅球

C.恰有1個(gè)白球，恰有2個(gè)白球 D.至少有1個(gè)白球，都是白球4.在正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，且DE=3EC，記AB=a，AC=b，則A.?14a+b B.745.某企業(yè)兩臺(tái)設(shè)備在一天內(nèi)正常運(yùn)行的概率分別為0.7，0.9，且它們是否正常運(yùn)行相互獨(dú)立，則一天內(nèi)這兩臺(tái)設(shè)備至少有一臺(tái)正常運(yùn)行的概率為(

)A.0.03 B.0.07 C.0.63 D.0.976.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為棱DA.π6 B.π4 C.π37.已知某圓柱和某圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為2，則該圓錐的體積為(

)A.4π B.6π C.8π D.10π8.A，B是海面上相距2(1+3)海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，B位于A的正東方向.現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°方向，B點(diǎn)北偏西60°方向的D點(diǎn)有一艘船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60°方向且與B點(diǎn)相距8海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營救，其航行速度為103海里/小時(shí)，則該救援船到達(dá)A.0.2小時(shí) B.0.3小時(shí) C.0.4小時(shí) D.0.5小時(shí)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.給定一組數(shù)1，3，3，4，6，7，8，8，則這組數(shù)據(jù)的(

)A.中位數(shù)為4 B.方差為6 C.平均數(shù)為5 D.70%分位數(shù)為710.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，下列結(jié)論正確的有(

)A.若A<B，則sinA<sinB

B.若cosA<cosB，則A<B

C.若acosB?bcosA=c，則△ABC一定為直角三角形

D.若B=π6，c=4，且該三角形有兩解，則b11.如圖，在棱長為4的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為A.EF⊥BD1

B.EF//平面A1D1B

C.直線FD1與平面ABCD所成角的正切值為255

D.三棱錐12.已知向量a=(0,?1)，b=(3,?2)，則向量b在向量a上的投影向量的坐標(biāo)為______．13.已知a，b∈R，復(fù)數(shù)(a+i)(1+i)=2+bi，則|a+bi|=______．14.已知在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=2π3，AB=AD=2，若E為邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，則CE?四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知向量a，b滿足|a|=5，|b|=2，(3a+2b)?(a?3b)=86．

(1)求a與16.(本小題15分)

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，△ABC的周長為3+2，且sinB+sinC=322sinA．

(1)求a．

(2)已知△ABC的面積為sinA．

①求b，c17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)面PAD是正三角形，AD=2AB=6，平面PAD⊥平面ABCD，M是PD的中點(diǎn)．

(1)證明：AM⊥PC．

(2)求點(diǎn)C到平面PAB的距離．18.(本小題17分)

2024年奧運(yùn)會(huì)在巴黎舉行，中國代表團(tuán)獲得了40枚金牌、27枚銀牌、24枚銅牌，共91枚獎(jiǎng)牌.為了增加學(xué)生對(duì)奧運(yùn)知識(shí)的了解，弘揚(yáng)奧運(yùn)精神，某校組織高二年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了奧運(yùn)知識(shí)能力測(cè)試.根據(jù)測(cè)試成績，將所得數(shù)據(jù)按照[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成6組，其頻率分布直方圖如圖所示．

(1)求該樣本的第80百分位數(shù)；

(2)試估計(jì)本次奧運(yùn)知識(shí)能力測(cè)試成績的平均分(同一組中的數(shù)據(jù)以該組數(shù)據(jù)所在區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)；

(3)該校準(zhǔn)備對(duì)本次奧運(yùn)知識(shí)能力測(cè)試成績?cè)赱60,70)和[70,80)內(nèi)的學(xué)生，采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽出6名同學(xué)，再從抽取的這6名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)了解情況，求這2名同學(xué)中，有一人成績?cè)赱60,70)內(nèi)，另一人成績?cè)赱70,80)內(nèi)的概率．19.(本小題17分)

17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出這樣一個(gè)問題：怎樣在一個(gè)三角形中求一點(diǎn)，使它到每個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小？現(xiàn)已證明在△ABC中，若三個(gè)內(nèi)角均小于120°，當(dāng)點(diǎn)P滿足∠APB=∠APC=∠BPC=120°時(shí)，則點(diǎn)P到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小，點(diǎn)P被稱為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).請(qǐng)根據(jù)費(fèi)馬點(diǎn)性質(zhì)解決下列問題．

(1)已知在△ABC中，AB=AC=27，BC=23，若點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，求△APB的面積；

(2)已知在△ABC中，AB=AC=3，A=π2，若點(diǎn)P為△ABC平面上任意一點(diǎn)，求|AP?AB|+|AP+AB|+|AP?AC|的最小值；

(3)已知在△ABC中，C=2π3答案解析1.【答案】B

【解析】解：因?yàn)?+3i1?i=(2+3i)(1+i)(1?i)(1+i)=?12+52i，

故在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)2+3i2.【答案】A

【解析】解：因?yàn)閍/?/b，

所以(m?2)2=6m，

解得m=?1．

故選：A．

由向量平行的坐標(biāo)表示可解．3.【答案】B

【解析】解：對(duì)于A，“至少有1個(gè)白球”發(fā)生時(shí)，“至少有1個(gè)紅球”也會(huì)發(fā)生，

比如恰好一個(gè)白球和一個(gè)紅球，故A不對(duì)立；

對(duì)于B，“至少有1個(gè)白球”說明有白球，白球的個(gè)數(shù)可能是1或2，

而“都是紅球”說明沒有白球，白球的個(gè)數(shù)是0，

這兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，且必有一個(gè)發(fā)生，故B是對(duì)立的；

對(duì)于C，恰有1個(gè)白球，恰有2個(gè)白球是互斥事件，它們雖然不能同時(shí)發(fā)生

但是還有可能恰好沒有白球的情況，因此它們不對(duì)立；

對(duì)于D，至少有1個(gè)白球和都是白球能同時(shí)發(fā)生，故它們不互斥，更談不上對(duì)立了

故選B

對(duì)立事件是在互斥的基礎(chǔ)之上，在一次試驗(yàn)中兩個(gè)事件必定有一個(gè)要發(fā)生．根據(jù)這個(gè)定義，對(duì)各選項(xiàng)依次加以分析，不難得出選項(xiàng)B才是符合題意的答案．

本題考查了隨機(jī)事件當(dāng)中“互斥”與“對(duì)立”的區(qū)別與聯(lián)系，屬于基礎(chǔ)題．互斥是對(duì)立的前提，對(duì)立是兩個(gè)互斥事件當(dāng)中，必定有一個(gè)要發(fā)生．4.【答案】A

【解析】解：在正方形ABCD中，AC=AB+AD，即AD=AC?AB，

點(diǎn)E在邊CD上，且DE=3EC，AB=a，AC=b，

AE5.【答案】D

【解析】解：某企業(yè)兩臺(tái)設(shè)備在一天內(nèi)正常運(yùn)行的概率分別為0.7，0.9，

且它們是否正常運(yùn)行相互獨(dú)立，

∴這兩臺(tái)設(shè)備都沒有正常運(yùn)行的概率為(1?0.7)×(1?0.9)=0.03，

則一天內(nèi)這兩臺(tái)設(shè)備至少有一臺(tái)正常運(yùn)行的概率為1?0.03=0.97．

故選：D．

先根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式求出一天內(nèi)這兩臺(tái)設(shè)備沒有一臺(tái)正常運(yùn)行的概率，再根據(jù)對(duì)立事件的概率公式可求得結(jié)果．

本題考查對(duì)立事件的概率公式、相互獨(dú)立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．6.【答案】B

【解析】解：連接BC1，EC1，

因?yàn)锳B/?/C1D1，AB=C1D1，所以四邊形ABC1D1是平行四邊形，所以BC1/?/AD1，

所以∠EBC1或其補(bǔ)角即為異面直線BE與AD1所成的角，

設(shè)正方體的棱長為2，

在△BC1E中，BC1=22，BE=3，C17.【答案】C

【解析】解：設(shè)圓錐、圓柱的底面半徑為r，高為2，

則由圓錐和圓柱的側(cè)面積相等可得4πr=12×2πr×r2+4，

解得r=23，故圓錐的體積為18.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意可知，A、B相距AB=2(1+3)海里，B在A的正東方向，

D在A的北偏東45°方向，故∠DAB=45°，D在B的北偏西60°方向，故∠ABD=30°，

在△ABD中，內(nèi)角和為180°，因此∠ADB=180°?45°?30°=105°，

根據(jù)正弦定理：ABsin∠ADB=BDsin∠DAB，

則BD=AB?sin45°sin105°=2(1+3)?226+24=4海里，

根據(jù)題意可知，C在B的南偏西60°方向，且BC=8海里，BD與BC的夾角9.【答案】BCD

【解析】解：該組數(shù)據(jù)有8個(gè)，所以中位數(shù)是4+62=5，故A錯(cuò)誤；

平均數(shù)為18×(1+3+3+4+6+7+8+8)=5，故C正確；

方差為18[(1?5)2+2×(3?5)2+(4?5)2+(6?5)2+(7?5)2+2×(8?5)210.【答案】AC

【解析】解：A選項(xiàng)，由A<B，得a<b，由正弦定理可得2RsinA<2RsinB，

即sinA<sinB，故A選項(xiàng)正確；

B選項(xiàng)，當(dāng)A=π2,B=π3時(shí)，cosA=0<cosB=12，而A>B，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，由acosB?bcosA=c，根據(jù)正弦定理可得sinAcosB?sinBcosA=sinC，

則sin(A?B)=sinC，所以A?B=C或A?B+C=π(舍去)，

則A=B+C，又A+B+C=π，所以A=π2，則△ABC為直角三角形，故C選項(xiàng)正確；

D選項(xiàng)，由正弦定理可得bsinB=csinC，則b12=4sinC，所以sinC=2b，

因?yàn)樵撊切斡袃山?，所以sinB<sinC<1，則12<2b<1，解得11.【答案】ACD

【解析】解：由題設(shè)EF/?/AC，BD⊥AC，則EF⊥BD，

由DD1⊥平面ABCD，EF?平面ABCD，

則DD1⊥EF，又BD∩DD1=D，BD，DD1?平面BDD1，

則EF⊥平面BDD1，BD1?平面BDD1，則EF⊥BD1，A對(duì)；

由平面A1D1B即為平面A1D1CB，又BC?平面A1D1CB，EF∩BC=F，

所以EF∩平面A1D1CB=F，即EF與平面A1D1B相交，B錯(cuò)；

由DD1⊥平面ABCD，

則直線FD1與平面ABCD所成角為∠DFD1，

又FD=DC2+CF2=42+22=25，

所以12.【答案】(0,?2)

【解析】解：b=(3,?2)，a=(0,?1)，

則所求投影向量的坐標(biāo)為a?b|a|2a13.【答案】5

【解析】解：由(a+i)(1+i)=a+ai+i+i2=a?1+(a+1)i=2+bi，

由復(fù)數(shù)相等可得：a?1=2且a+1=b，解得a=3，b=4，

所以|a+bi|=|3+4i|=32+42=5．

故答案為：14.【答案】[15【解析】解：根據(jù)題意，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，

建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：

由于AB⊥BC且AB=2，可設(shè)B(2,0)，

又AD=2且∠BAD=2π3，

則D點(diǎn)坐標(biāo)為(2cos2π3,2sin2π3)=(?1,3)，

由于AB⊥BC，設(shè)C(2,y)，又AD⊥CD，

則AD=(?1,3)，CD=(?3,3?y)，

由AD⊥CD，可得3+(3)(3?y)=0，

解得y=23，因此C(2,23)，

由E為AB上動(dòng)點(diǎn)，可設(shè)E(t,0)，t∈[0,2]，

則向量CE=(t?2,?23)，DE=(t+1,?3)15.【答案】θ=2π3；

t=?1或t=?【解析】(1)由(3a+2b)?(a?3b)=86，|a|=5，|b|=2，

可得(3a+2b)?(a?3b)=3a2?7a?b?6b2

=3×25?7a?b?6×4=86，

解得a?b=?5，即5×2cosθ=?5，

則cosθ=?16.【答案】a=2；

①b=2，c=1或b=1，c=2；②【解析】(1)因?yàn)閟inB+sinC=322sinA，

由正弦定理得b+c=322a，

因?yàn)閍+b+c=3+2，所以a+322a=3+2，

得a=2；

(2)①由題意得S△ABC=12bcsinA=sinA，則bc=2，

則有bc=2b+c=322a=3，解得b=2，c=1或b=1，c=2；

17.【答案】證明見解析；

33【解析】解：(1)證明：在正△PAD中，M為PD的中點(diǎn)，∴AM⊥PD，

∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

且CD⊥AD，CD?平面ABCD，

∴CD⊥平面PAD，

又∵AM?平面PAD，∴CD⊥AM，

又∵AM⊥PD，且CD∩PD=D，CD，PD?平面PCD，

∴AM⊥平面PCD，

∵PC?平面PCD，

∴AM⊥PC；

(2)如圖，取AD的中點(diǎn)為O，連接PO，AC，

在正△PAD中，PO⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，

又平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，

∴PO⊥平面ABCD，

若AD=6，則PO=33，

∴VP?ABC=13S△ABC?PO=13×(12×6×3)×33=93，

由(1)知CD⊥平面PAD，AB/?/CD，

∴AB⊥平面PAD，

∵PA?平面PAD，

∴AB⊥PA，

設(shè)點(diǎn)C到平面PAB的距離為d，

而AB=3，

由VC?PAB=VP?ABC，

可得，118.【答案】84分；

71分；

815．【解析】(1)由題可得(0.05+0.010+0.015×2+0.025+a)×10=1，解得a=0.03．

因?yàn)?0.010+0.015×2+0.03)×10=0.7<0.8，0.7+0.025×10=0.95>0.8，

所以樣本的第80百分位數(shù)位于區(qū)間[80,90)，設(shè)為m，

則0.7+(m?80)×0.025=0.8，解得m=84，

故該樣本的第80百分位數(shù)為84分．

(2)由題可得平均分為：x?=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71分，

故試估計(jì)本次奧運(yùn)知識(shí)能力測(cè)試成績的平均分為71分．

(3)由題可得區(qū)間[60,70)和[70,80)的頻率比為0.15：0.3=1：2，

所以抽出的6名同學(xué)中2名位于區(qū)間[60,70)，4名位于[70,80)，

設(shè)2名位于區(qū)間[60,70)的同學(xué)為a，b，4名位于區(qū)間[70,80)的同學(xué)為A，B，C，D，

則6名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)有：(a,b)，(a,A)，(a,B)，(a,C)，(a,D)，

(b,A)，(b,B)，(b,C)，(b,D)，(A,B)，(A,C)，(A,D)，(B,C)，(B,D)，(C,D)共15種情況，

這2名同學(xué)中，有一人成績?cè)赱60,70)內(nèi)，另一人成績?cè)赱70,80)內(nèi)有：

(a,A)，(a,B)，(a,C)，(a,D)，(b,A)，(b,B)，(b,C)，(b,D)共8種情況，

所以有一人成績?cè)赱60,70)內(nèi)，另一人成績?cè)?/p>