第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年吉林省普通高中G8教考聯(lián)盟高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z滿足z=1?2i，則復(fù)數(shù)z的虛部為(

)A.?i B.?1 C.2i D.22.已知圓錐的側(cè)面積為2π，它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則此圓錐的高為(

)A.3 B.62 C.23.平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都是刻畫一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的信息，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān)在如圖分布形態(tài)中，a，b，c分別對(duì)應(yīng)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，則下列關(guān)系正確的是(

)A.a<b<c

B.b<a<c

C.c<b<a

D.c<a<b4.如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C與D.現(xiàn)測(cè)得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=50m，在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為30°，則塔高AB為(

)A.25m

B.253m

C.255.已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是(

)A.若m//α，m//β，α∩β=n，則m//n

B.若m//n，n?α，則m//α

C.若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，則m⊥β

D.若m⊥α，m⊥n，則n//α6.圍繞民宿目的地進(jìn)行吃住娛樂閉環(huán)消費(fèi)已經(jīng)成為疫情之后人們出游的新潮流.在用戶出行旅游決策中，某機(jī)構(gòu)調(diào)查了某地區(qū)1000戶偏愛酒店的用戶與1000戶偏愛民宿的用戶住宿決策依賴的出行旅游決策平臺(tái)，得到統(tǒng)計(jì)圖，則下列說法中不正確的是(

)A.偏愛民宿用戶對(duì)小紅書平臺(tái)依賴度最高

B.在被調(diào)查的兩種用戶住宿決策中，小紅書與攜程旅行的占比總和相等

C.小紅書在所有被調(diào)查用戶住宿決策中的占比與攜程旅行在所有被調(diào)查用戶住宿決策中的占比不相等

D.在被調(diào)查的兩種用戶住宿決策中，同程旅行占比都比抖音的占比高7.“投壺”游戲源于周代的射禮，是中國(guó)古代宴飲時(shí)的一種投擲游戲，要求游戲者站在一定距離外，把箭投入壺中.甲、乙兩人開始投壺游戲，約定規(guī)則如下：如果投一次，箭入壺中，原投擲入繼續(xù)投，如果箭沒有入壺，那么換另一個(gè)人投擲.若甲、乙兩人投箭入壺成功的概率分別為12，13，甲先開始投擲，則第4次仍然由甲投擲的概率為(

)A.49 B.724 C.188.已知非零向量AB與AC滿足(AB|AB|+AC|AC|)?BC=0，且|A.?1 B.?14 C.?1二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.在復(fù)平面內(nèi)，下列說法正確的是(

)A.若點(diǎn)z的坐標(biāo)為(?1,1)，則z?對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限

B.若|z1|=|z2|，則z1=±z2

C.10.依次拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記“第一次向上的點(diǎn)數(shù)是1”為事件A，“第二次向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”為事件B，“兩次向上的點(diǎn)數(shù)之和是8”為事件C，則(

)A.A與B相互獨(dú)立 B.A與C互斥 C.P(A+B)=712 11.如圖，矩形ABCD中，M為BC的中點(diǎn)，AB=BM=1，將△ABM沿直線AM翻折成AB1M，連結(jié)B為B1D的中點(diǎn)，則在翻折過程中，下列說法中正確的是A.存在某個(gè)位置，使得CN⊥AD

B.CN//平面B1AM

C.異面直線CN與AB1所成的角的余弦值為55

D.當(dāng)三棱錐三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知a，b是夾角為60°的兩個(gè)單位向量，若向量a+λb在向量a上的投影向量為2a，則λ=13.《九章算術(shù)》將上下兩個(gè)平行平面為矩形的六面體稱為芻童.如圖幾何體是一個(gè)芻童，其上下底面都為正方形，邊長(zhǎng)分別為6和2，

側(cè)面是全等的等腰梯形，梯形的高為22，則該幾何體的體積為______．14.在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若ab=1+cosAcosB，則四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且滿足sin2A?sin2B?sinBsinC=sin2C.

(1)求角A；

(2)設(shè)點(diǎn)D為邊BC16.(本小題15分)

文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽(yù)稱號(hào)，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要?jiǎng)?chuàng)造者.長(zhǎng)春市為提高市民對(duì)文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識(shí)，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識(shí)競(jìng)賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本的成績(jī)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求頻率分布直方圖中a的值；

(2)試估計(jì)樣本成績(jī)的平均數(shù)和上四分位數(shù)；

(3)已知落在[50,60)的平均成績(jī)是54，方差是7，落在[60,70)的平均成績(jī)?yōu)?6，方差是4，求兩組成績(jī)合并后的平均數(shù)z?和方差s217.(本小題15分)

如圖所示，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，AB=2，PB=PD，AC∩BD=O．

(1)證明：BD⊥AP；

(2)若二面角A?BD?P為60°，且OP=22，求PD與平面PBC所成角的余弦值．18.(本小題17分)

某校組織“語(yǔ)文課外閱讀知識(shí)競(jìng)賽”活動(dòng)，在預(yù)賽階段，共設(shè)置“古代文學(xué)、文化常識(shí)”和“國(guó)外文學(xué)名著鑒賞”兩輪比賽，兩輪比賽均通過才能進(jìn)入決賽.已知甲、乙兩名同學(xué)通過第一輪的概率分別為45,34，通過第二輪的概率分別為p1，p2(p1,p2∈(0,1))，每次是否通過互不影響，且兩輪比賽均必須參加．

(Ⅰ)若p1=23，求甲沒有進(jìn)入決賽的概率；

(Ⅱ)若p119.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，側(cè)面PAD⊥平面ABCD，△PAD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，底面ABCD為直角梯形，其中BC//AD，AB⊥AD，AB=BC=1，M為線段PA中點(diǎn)，連接BM．

(1)證明：BM//平面PCD；

(2)求M到平面PCD的距離；

(3)線段PD上是否存在一點(diǎn)E，使得平面EAC與平面DAC夾角的余弦值為155？若存在，求出PEPD

答案解析1.【答案】D

【解析】解：z=1?2i=1?2?(?i)i?(?i)=1+2i，則復(fù)數(shù)z的虛部為2．

故選：D．

根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求得2.【答案】A

【解析】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，圓錐的母線長(zhǎng)為l，

由πl(wèi)=2πr，得l=2r，

因?yàn)閳A錐的側(cè)面積為2π，

所以S側(cè)=πr?2r=2πr2=2π，

所以r2=1，

解得r=1，l=2；

所以圓錐的高為?=l2?r2=3．

3.【答案】A

【解析】解：根據(jù)題意，由數(shù)據(jù)分布圖知，

數(shù)據(jù)的眾數(shù)為c，眾數(shù)是最高矩形下底邊的中點(diǎn)橫坐標(biāo)，因此眾數(shù)c為右起第二個(gè)矩形下底邊的中點(diǎn)值，

數(shù)據(jù)的中位數(shù)為c，直線x=b左右兩邊矩形面積相等，而直線x=c左邊矩形面積大于右邊矩形面積，則b<c，

數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a，由于數(shù)據(jù)分布圖左拖尾，則平均數(shù)a小于中位數(shù)b，即a<b，

所以a<b<c．

故選：A．

利用數(shù)據(jù)分布圖左拖尾，即平均數(shù)小于中位數(shù)，再利用眾數(shù)是用最高矩形的中點(diǎn)值來估計(jì)，可判斷眾數(shù)大于中位數(shù)，即可作出判斷．

本題考查由數(shù)據(jù)分布圖分析數(shù)據(jù)，注意平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．4.【答案】C

【解析】解：在△BCD中，由∠BCD=75°，∠BDC=60°，可得∠CBD=45°，

結(jié)合已知和正弦定理可得：BCsin60°=50sin45°，

解得BC=50×32×22=256，

因?yàn)樵邳c(diǎn)5.【答案】A

【解析】解：對(duì)于A，若m/?/α，m//β，過m作平面與α，β分別交于直線a，b，

由線面平行的性質(zhì)得m/?/a，m/?/b，

所以a/?/b，

又b?β，a?β，

所以a/?/β，

又n?α，α?β=n，

所以a/?/n，

所以m/?/n.故A正確；

對(duì)于B，若m/?/n，n?α，則m/?/α或m?a，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，由面面垂直的性質(zhì)定理得當(dāng)m?a時(shí)，m⊥β，否則可能不成立，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，若m⊥α，m⊥n，則n/?/α或n?α，故D錯(cuò)誤．

故選：A．

對(duì)于A，由線面平行的性質(zhì)得m/?/n；對(duì)于BD，線面平行前提條件是直線是平面外；對(duì)于C：面面垂直的性質(zhì)定理知m?a時(shí)才成立．

本題考查直線與平面的位置關(guān)系，涉及直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．6.【答案】D

【解析】【分析】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查統(tǒng)計(jì)知識(shí)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．

由酒店預(yù)訂條形圖和民宿預(yù)訂扇形圖逐一分析四個(gè)選項(xiàng)得答案．【解答】

解：由右圖可知，偏愛民宿用戶對(duì)小紅書平臺(tái)的選擇占比為

1?(10%+20%+16%+18%+12%)=24%，

則偏愛民宿用戶對(duì)小紅書平臺(tái)依賴度最高，故A正確；

在被調(diào)查的酒店用戶住宿決策中，小紅書與攜程旅行的占比總和為25%+19%=44%，

在被調(diào)查的民宿用戶住宿決策中，小紅書與攜程旅行的占比總和為24%+20%=44%，

則在被調(diào)查的兩種用戶住宿決策中，小紅書與攜程旅行的占比總和相等，故B正確；

小紅書在所有被調(diào)查用戶住宿決策中的占比為19%+24%=43%，

攜程旅行的占比為25%+20%=45%，攜程旅行的占比略高于小紅書占比，故C正確；

在被調(diào)查的兩種用戶住宿決策中，同程旅行占比分別為15%和12%，

抖音的占比分別為6%和18%，則酒店預(yù)訂方面同程旅行占比高，民宿預(yù)訂方面抖音的占比高，故D錯(cuò)誤．

故選：D．7.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，第4次仍然由甲投擲，有4種情況：

①，前三次均為甲中，概率P1=12×12×12=18；

②，第一次甲中，第二次甲不中，第三次乙不中，概率P2=12×12×23=18.【答案】C

【解析】解：已知非零向量AB與AC滿足(AB|AB|+AC|AC|)?BC=0，且|AB?AC|=22,|AB+AC|=62，點(diǎn)D是△ABC的邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，

∵AB|AB|,AC|AC|分別表示AB與AC方向相同的單位向量，

∴以AB|AB|,AC|AC|這兩個(gè)單位向量為鄰邊的平行四邊形是菱形，

故AB|AB|+AC|AC|所在直線為∠BAC的角平分線所在直線，

∵(AB|AB|+AC|AC|)?BC=0，∴∠BAC的平分線與BC垂直，故AB=AC；

取BC的中點(diǎn)O，連接AO，則AO⊥BC，

根據(jù)平面向量的減法法則和中線向量可得9.【答案】AD

【解析】解：由點(diǎn)z的坐標(biāo)為(?1,1)，得z?=?1?i，則z?對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(?1,?1)，在第三象限，故A正確；

設(shè)z1=5，z2=3+4i，|z2|=32+42=5滿足|z1|=|z2|，但z1≠±z2，故B錯(cuò)誤；

由|z|=1可得z的軌跡為圓心在原點(diǎn)半徑為1的圓，|z?2|則表示點(diǎn)(2,0)到圓上距離，

則1≤|z?2|≤3，故C錯(cuò)誤；

由方程x2+2x+5=0可得x1=?1?2i，x2=?1+2i10.【答案】ABC

【解析】解：根據(jù)題意可知，共有62=36個(gè)基本事件，

第一次向上的點(diǎn)數(shù)是1有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，共6種情況，

由古典概型概率公式得P(A)=636=16，

第二次向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(2,2)，(2,4)，(2,6)

(3,2)，(3,4)，(3,6)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(5,2)，

(5,4)，(5,6)，(6,2)，(6,4)，(6,6)，共18種情況，

由古典概型概率公式得P(B)=1836=12，

兩次向上的點(diǎn)數(shù)之和是8有(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，共5種情況，

由古典概型概率公式得P(C)=536，

而事件AB表示第一次向上的點(diǎn)數(shù)是1且第二次向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)，

符合條件的有(1,2)，(1,4)，(1,6)，共3種，則P(AB)=336=112，

下面，我們開始分析各個(gè)選項(xiàng)，

對(duì)于A，由已知得P(AB)=112，P(A)?P(B)=16×12=112，

滿足P(AB)=P(A)?P(B)，則A與B相互獨(dú)立，故A正確；

對(duì)于B，事件A+C表示第一次向上的點(diǎn)數(shù)是1或兩次向上的點(diǎn)數(shù)之和是8，

符合條件的有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)

(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，共11個(gè)，故P(A+C)=1136，

滿足P(A+C)=P(A)+P(C)，可得A與C互斥，故B正確；

對(duì)于C，由概率加法公式得P(A+B)=P(A)+P(B)?P(AB)

=16+12?112=711.【答案】BCD

【解析】解：對(duì)于A，連接B1C，若CN⊥AD，因?yàn)锳D⊥DC，CN∩DC=C，CN，DC?平面B1DC，

所以AD⊥平面B1DC，

因?yàn)锽1D?平面B1DC，所以AD⊥B1D，

所以△AB1D是直角三角形，所以斜邊AB1>AD，

因?yàn)锳B1=1，AD=2，所以矛盾，所以不可能有CN⊥AD，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，如圖，取AB1的中點(diǎn)Q，連接QN，QM，

因?yàn)镹為B1D的中點(diǎn)，所以QN//AD且QN=12AD，

又矩形ABCD中，M為BC的中點(diǎn)，

故CM//AD且CM=12BC=12AD，

所以QN//CM，且QN=CM，

所以四邊形QNCM為平行四邊形，故CN//QM，

因?yàn)镼M?平面B1AM，CN?平面B1AM，所以CN/?/平面B1AM，故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于C，由B知，CN//QM，

所以異面直線CN與AB1所成的角等于QM與AB1所成的角，

其中AB1⊥MB1，AB1=AB=1，B1M=BM=1，QB1=12，

由勾股定理得MQ=B1Q2+B1M2=14+1=52，

所以cos∠B1QM=B1QQM=55，

故異面直線CN與AB1所成的角的余弦值為55，故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D，當(dāng)平面AB1M⊥平面AMCD時(shí)，三棱錐B1?AMD的體積最大，

取AD的中點(diǎn)E，AM的中點(diǎn)G，連接GE，B1G，ME，B1E，

因?yàn)锳B1=B1M=1，所以B1G⊥AM，且B1G=22，

又平面AB1M∩平面AMCD=AM，B1G?平面AB1M，12.【答案】2

【解析】解：根據(jù)題意，若向量a+λb在向量a上的投影向量為2a，

則有(a+λb)?a|a|?a|a|=(|a|2+λ13.【答案】1043【解析】解：根據(jù)題意可得該幾何體的高為(22)2?(6?22)2=2，

∴14.【答案】(5【解析】解：因?yàn)閍b=1+cosAcosB，所以由正弦定理得：sinAsinB=1+cosAcosB，

即sinAcosB=sinB+sinBcosA，

所以sinAcosB?sinBcosA=sin(A?B)=sinB，

又因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以A?B=B，即A=2B，

又因?yàn)?°<A=2B<90°，且0°<C=180°?A?B=180°?3B<90°，

所以30°<B<45°，60°<A<90°，

所以1tanB?1tanA+2sinA=cosBsinB?cosAsinA+2sinA=sinAcosB?cosAsinBsinAsinB+2sinA

=sin15.【答案】A=2π3；

8【解析】(1)∵sin2A?sin2B?sinBsinC=sin2C.

由正弦定理得：a2?b2?bc=c2，

即b2+c2?a2=?bc，

∴cosA=b2+c2?a22bc=?12，

又A∈(0,π)，

∴A=2π3；

(2)∵D為邊16.【答案】a=0.030；

平均數(shù)為74，上四分位數(shù)為84；

平均數(shù)z?=62，方差s【解析】(1)根據(jù)題意可得(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1，解得a=0.030；

(2)估計(jì)樣本成績(jī)的平均數(shù)為：

x?=(45×0.005+55×0.010+65×0.020+75×0.030+85×0.025+95×0.010)×10=74；

因?yàn)楦鹘M的頻率依次為0.05，0.1，0.2，0.3，0.25，0.1，

所以上四分位數(shù)(80,90)內(nèi)，且為80+0.75?0.05?0.1?0.2?0.30.025=84；

(3)由題成績(jī)?cè)赱50,60)有100×0.1=10人，

成績(jī)?cè)赱60,70)有100×0.2=20人，

則這兩組成績(jī)的總平均數(shù)為z?=10×54+66×2010+20=62，

由樣本方差計(jì)算總體方差公式可得總方差為：

s2=1030×[7+(54?62)2]+2030×[4+(66?62)2]=3717.【答案】(1)證明：因?yàn)锳BCD為正方形，所以BD⊥AC，

因?yàn)镻B=PD，O為BD中點(diǎn)，所以BD⊥PO，

又PO?平面PAC，AC?平面PAC，且AC∩PO=O，

所以BD⊥平面PAC，

PA?平面PAC.所以BD⊥PA．

(2)由(1)得PO⊥BD，AO⊥BD，

所以∠AOP為二面角A?BD?P的平面角，即∠AOP=60°，

AB=2，則AO=2，又OP=22，

則AP2=2+8?2×2×22×12=6，

因?yàn)锳P2+AO2=OP2，可得AP⊥AO，

又BD⊥AP，BD∩AO=O，且BD?平面ABCD，AO?平面ABCD，

則AP⊥平面ABCD，則AP，AB，AD兩兩互相垂直，

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz，

有P(0,0,6),D(0,2,0),B(2,0,0),C(2,2,0)，

則DP=(0,?2,6),BC=(0,2,0),BP=(?2,0,6)，

設(shè)平面PBC的法向量n【解析】(1)由底面ABCD是正方形，得到BD⊥AC，再由△PBD為等腰三角形得到BD⊥PO，最后根據(jù)線面垂直的判定定理得到BD⊥平面PAC，即可證明BD⊥AP；

(2)先證得AP⊥平面ABCD，得到AP，AB，AD兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz，再利用向量法求線面角的余弦值即可．

本題考查線線垂直的判定，以及向量法的應(yīng)用，屬于中檔題．18.【答案】(Ⅰ)715．

(Ⅱ)950．

(【解析】(Ⅰ)甲、乙兩名同學(xué)通過第一輪的概率分別為45,34，

通過第二輪的概率分別為p1，p2(p1,p2∈(0,1))，

每次是否通過互不影響，且兩輪比賽均必須參加．

∵每次是否通過互不影響，甲同學(xué)通過第一輪的概率分別為45，

通過第二輪的概率為p1=23，甲進(jìn)入決賽的概率45×23=815，

∴甲沒有進(jìn)入決賽的概率1?815=715；

(Ⅱ)甲、乙兩名同學(xué)通