第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年山東省臨沂市高一（下）期末數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.在復平面內(nèi)，復數(shù)z對應的點的坐標是(?2,1)，則z?=(

)A.2?i B.2+i C.?2?i D.?2+i2.已知tan(α?π4)=3，則A.2 B.?2 C.12 D.3.已知向量a=(1,λ)，b=(2,λ+2)，若a//b，則A.1 B.2 C.3 D.44.直線l1，l2平行的一個充分條件是(

)A.l1，l2都垂直于同一個平面 B.l1，l2與同一個平面所成的角相等

C.l1，l2都平行于同一個平面5.拋擲一紅一綠兩顆質(zhì)地均勻的六面體骰子，記下骰子朝上面的點數(shù).若用x表示紅色骰子的點數(shù)，用y表示綠色骰子的點數(shù)，用(x,y)表示一次試驗的結(jié)果，設A=“兩個點數(shù)之和等于5”，B=“至少有一顆骰子的點數(shù)為2”，則P(A∪B)=(

)A.49 B.718 C.15366.如圖是一個在圓柱頂部挖去一個與該圓柱同底面的圓錐的幾何模型，已知圓柱的底面半徑為3，圓錐的高為4，若該幾何模型的體積為60π，則其表面積為(

)A.48π

B.60π

C.72π

D.144π7.將函數(shù)f(x)=2sin(2x+π3)的圖象向右平移π4個單位，得到函數(shù)g(x)A.函數(shù)g(x+π12)是奇函數(shù) B.g(x)在[?π12,π4]上單調(diào)遞增

C.g(x)的圖象關(guān)于直線8.已知正四棱錐P?ABCD的底面邊長為2，側(cè)棱長為5，外接球的球心為O，若點S是正四棱錐P?ABCD的表面上的一點，則OS的最小值為(

)A.5312 B.36 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知一組樣本數(shù)據(jù)：5，7，4，3，5，7，7，6，4，2，則該組數(shù)據(jù)(

)A.極差是7 B.眾數(shù)不等于平均數(shù) C.25%分位數(shù)是4 D.方差是3.510.已知α，β為銳角，cos(α+β)=15,tanαtanβ=A.cosαcosβ=25 B.cos(α?β)=1

C.tanα+tanβ=11.在棱長為a的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是CC1A.過A，E，F(xiàn)三點的平面截正方體所得截面圖形是梯形

B.異面直線PE和B1D1所成的角可以為90°

C.當P為中點時，二面角E?PF?D的正切值為2

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若1?2i是關(guān)于x的方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的一個根，則a+b=______．13.已知兩個非零向量a與b的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|sinθ叫做向量a與b的叉乘的模，記作|a×b|，即|a14.在△ABC中，A=56π,BD1=D1D2四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

猜燈謎是元宵節(jié)特色活動之一.甲、乙兩人獨立地參加了今年的元宵節(jié)猜燈謎活動，已知甲猜對的概率為35，乙猜對的概率為p，甲、乙都猜不對的概率為215，活動中，甲和乙猜對與否互不影響．

(1)求p；

(2)求甲、乙恰有一人猜對燈謎的概率．16.(本小題15分)

已知△ABC是銳角三角形，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且(c?2b)sinC=asinA?bsinB．

(1)求A；

(2)若c=4，求17.(本小題15分)

某校為了解高一學生在學業(yè)水平模擬考試中數(shù)學成績的情況，從全年級的成績中隨機抽取100名學生的成績進行分析，其頻率分布直方圖如圖所示，其中分數(shù)在[60,70)內(nèi)的學生有15人．

(1)求m，n的值；

(2)學校準備按成績從高到低抽取前34%的學生進行表彰，用樣本估計總體的方法，估計受表彰學生的最低分是多少？

(3)若采用按比例分配的分層隨機抽樣的方法，從成績在[70,80)和[80,90)內(nèi)的學生中共抽取6人查看他們的答題情況，再從這6人中選取2人進行個案分析，求這2人中恰有1人成績在[70,80)內(nèi)的概率．18.(本小題17分)

如圖，四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB//DC，E為PD的中點，點F在棱PC上，直線AE和直線BF相交．

(1)求證：EF//CD；

(2)若AD=DC=1,AB=2,PA=BC=2．

(i)證明：BC⊥平面PAC；

(ii)求直線AB與平面PBC19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=sin2xcosφ?2sin2xsinφ+sinφ+b．

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)若f(x)為偶函數(shù)，且0<φ<32π，對于任意的x∈[0,π4]，至少存在4個整數(shù)b，使|f(x)|<m恒成立，求m的取值范圍；

(3)若f(x)的最大值為2，對于任意的x1答案解析1.【答案】C

【解析】解：由題意可知，z=?2+i，

所以z?=?2?i．

故選：C．

利用共軛復數(shù)的定義求解即可．2.【答案】B

【解析】解：由兩角差的正切公式可得，tan(α?π4)=tanα?11+tanα=3，

所以tanα?1=3+3tanα，

解得tanα=?23.【答案】B

【解析】解：向量a/?/b，a=(1,λ)，b=(2,λ+2)，a//b，則2λ=λ+2，解得λ=2．

故選：4.【答案】A

【解析】解：若l1，l2都垂直于同一個平面，則l1//l2，所以A選項正確；

若l1，l2與同一個平面所成的角相等，則直線l1，l2可能相交，比如圓錐的母線和底面所成角都相等，但圓錐的母線都相交，所以B選項錯誤；

若l1，l2都平行于同一個平面，則直線l1與l2可成[0,π2]的任意角，所以C選項錯誤；

若l1，5.【答案】D

【解析】解：由題意可得，基本事件空間為：

Ω={(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，

(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，

(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，

(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，

(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，

(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，共36個基本事件．

事件A∪B包含的基本事件有：

(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，

(2,1)，(2,2)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，

(1,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，共13個基本事件，

所以P(A∪B)=1336．

故選：D．

列出樣本空間，利用古典概率求解即可．

本題考查和事件的定義、古典概型求概率公式等，列舉事件6.【答案】C

【解析】解：由題意圓柱的底面半徑為3，圓錐的高為4，若該幾何模型的體積為60π，

可設圓柱的高為?，則π?32???13π?32?4=60π，解得?=8，

故所求為S=π?7.【答案】D

【解析】解：將f(x)的圖象向右平移π4個單位，

可得f(x?π4)=2sin[2(x?π4)+π3]=2sin(2x?π6)的圖象，所以g(x)=2sin(2x?π6)，

根據(jù)g(x+π12)=2sin[2(x+π12)?π6]=2sin2x，

結(jié)合正弦函數(shù)為奇函數(shù)，可得函數(shù)g(x+π12)是奇函數(shù)，故A正確；

當x∈[?π12,π4]時，(2x?π6)∈[?π3,π3]，

結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，可知g(x)=2sin(2x?π6)在8.【答案】B

【解析】解：設AC∩BD=E，連接PE，則PE⊥平面ABCD，

依題意可得AC=22+22=22，AE=12AC=2，

所以PE=(5)2?(2)2=3，且球心O在直線PE上，

連接AO，設外接球的半徑為R，

則R2=(2)2+(R?3)2，

解得R=536，

因為R=59.【答案】BC

【解析】解：一組樣本數(shù)據(jù)：5，7，4，3，5，7，7，6，4，2，該組數(shù)據(jù)從小到大排列：2，3，4，4，5，5，6，7，7，7，

極差為：7?2=5，故A錯誤；

該組數(shù)據(jù)眾數(shù)為7，

平均數(shù)為：2+3+4+4+5+5+6+7+7+710=5，

眾數(shù)不等于平均數(shù)，故B正確；

10×25%=2.5，故25%分位數(shù)是該組數(shù)據(jù)的第3個數(shù)，即4，故C正確；

對于D，該組數(shù)據(jù)的方差為：(2?5)2+(3?5)2+(4?5)2+(4?5)10.【答案】BCD

【解析】解：由tanαtanβ=sinαsinβcosαcosβ=23，得sinαsinβ=23cosαcosβ，

根據(jù)cos(α+β)=cosαcosβ?sinαsinβ=15，

可得13cosαcosβ=15，所以cosαcosβ=35，可知A錯誤；

根據(jù)cos(α?β)=cosαcosβ+sinαsinβ=53cosαcosβ=1，可知B正確；

由cos(α+β)=15，解得sin(α+β)=±265，

因為α、β為銳角，α+β∈(0,π)，

所以sin(α+β)=11.【答案】ABC

【解析】解：對于A，連接BC1，AD1，D1E，AF，

由AB/?/C1D1，AB=C1D1，得四邊形ABC1D1為平行四邊形，

又E，F(xiàn)分別是CC1，BC的中點，

則EF//BC1//AD1，EF=12BC1=12AD1，

因此梯形AD1EF是過A，E，F(xiàn)三點的平面截正方體所得截面，A正確；

對于B，EC⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，

則BD⊥EC，而BD⊥AC，AC∩EC=C，AC，EC?平面ACE，

則BD⊥平面ACE，又AE?平面ACE，

因此BD⊥AE，又B1D1/?/BD，則B1D1⊥AE，

當點P與A重合時，異面直線PE和B1D1所成的角為90°，B正確；

對于C，延長PF交DC延長線于G，取FG中點H，連接CH，EH，

由P，F(xiàn)分別為AB，BC中點，得

∠CFG=∠PFB=45°，

則CG=CF=12a，EG=EF，

于是CH⊥FG，EH⊥FG，

則12.【答案】3

【解析】解：若1?2i是關(guān)于x的方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的一個根，

則1+2i也是關(guān)于x的方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的一個根，

故1?2i+1+2i=?a(1?2i)(1+2i)=b，解得a=?2，b=5，

所以a+b=?2+5=3．

故答案為：3．

由題意1+2i也是關(guān)于x的方程x2+ax+b=0(a,b∈R)13.【答案】2【解析】解：由題意，|a×b|=|a||b|sinθ=23，

a?b=|a||b|cosθ=2，

所以tanθ=|a||b|sinθ|a||b|cosθ=3，

14.【答案】16【解析】解：由已知BD1=D1D2=D2C可得：BD1=D1D2=D2C=13BC15.【答案】23；

715【解析】(1)設事件A為“甲能猜對燈謎”，事件B為“乙能猜對燈謎”，

由題意得，A與B相互獨立，且P(A)=35，P(B)=p，

故甲、乙都猜不對的概率：P(A?B?)=P(A?)P(B?)=(1?35)×(1?p)=215，

故p=23；

16.【答案】A=π4；

(4,8)【解析】(1)根據(jù)題意可知，(c?2b)sinC=asinA?bsinB，

故(c?2b)c=a2?b2，即b2+c2?a2=2bc，

故cosA=b2+c2?a22bc=22，

且0<A<π，故A=π4；

(2)由正弦定理bsinB=csinC得，17.【答案】0.015；0.020；

86.5；

815．【解析】(1)由題意得m=15100×10=0.015，

由圖可得：(0.005+0.015+2n+0.040)×10=1，解得n=0.020；

(2)設受表彰的學生的最低分是x，

[90,100)頻率為0.020×10=0.2<34%，

[80,100)頻率為0.020×10+0.040×10=0.6>34%，

故x∈(80,90)，且0.20+(90?x)×0.040=0.34，

解得x=86.5，故受表彰的學生的最低分是86.5；

(3)由分數(shù)在[70,80)和[80,90))內(nèi)的頻率之比為1：2，

故從成績在[70,80)和[80,90)內(nèi)的學生中共抽取6人，

則在[70,80)內(nèi)抽取2人，記為a，b在[80,90)內(nèi)抽取4人，記為c，d，e，f，

再從這6人中選取2人進行個案分析，

抽取的樣本空間為：{ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef}，共15個樣本點，

這2人中恰有1人成績在[70,80)內(nèi)的有：{ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf}，共8個樣本點，

故這2人中恰有1人成績在[70,80)內(nèi)的概率為815．

(1)利用頻率和頻數(shù)的關(guān)系以及頻率之和為1求解即可；

(2)先確定受表彰的學生的最低分在哪一組，然后利用受表彰學生的頻率之和為34%列方程求解即可；

18.【答案】證明過程見詳解；

(i)證明過程見詳解；

(ii)π4【解析】(1)證明：因為直線AE和直線BF相交，且AB/?/CD，

AB?平面PCD，CD?平面PCD，平面PCD∩平面ABFE，

所以AB/?/EF，

所以EF//CD；

(2)(i)證明：由題意可得AD⊥CD，AD=DC=1,AB=2,PA=BC=2，

可得AC=AD2+DC2=2，

可得AC2+BC2=AB2，則BC⊥AC，

又因為PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，

所以BC⊥PA，

又因為AC∩PA=A，

可得BC⊥平面PAC；

(ii)解：由(i)可得∠ACB為AB與平面PAC所成的角，

且cos∠ACB=ACAB=219.【答案】π；

(2,+∞)；

[3π4【解析】(1)f(x)=