高數(shù)下經(jīng)典題目及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$z=\ln(x+y)$的定義域是（）A.$x+y\geq0$B.$x+y>0$C.$x+y\leq0$D.$x+y<0$2.已知向量$\vec{a}=(1,2,-1)$，$\vec=(2,0,1)$，則$\vec{a}\cdot\vec=$（）A.0B.1C.2D.33.二重積分$\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}f(x,y)dydx$交換積分次序后為（）A.$\int_{0}^{x}\int_{0}^{1}f(x,y)dxdy$B.$\int_{0}^{1}\int_{y}^{1}f(x,y)dxdy$C.$\int_{0}^{1}\int_{0}^{y}f(x,y)dxdy$D.$\int_{y}^{1}\int_{0}^{1}f(x,y)dxdy$4.級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$是（）A.發(fā)散的B.條件收斂C.絕對(duì)收斂D.不確定5.設(shè)$z=x^2y$，則$\frac{\partialz}{\partialx}=$（）A.$2xy$B.$x^2$C.$2x$D.$y$6.曲線$x=t$，$y=t^2$，$z=t^3$在點(diǎn)$(1,1,1)$處的切線方程為（）A.$\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3}$B.$\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{1}$C.$\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3}$D.$\frac{x-1}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{1}$7.設(shè)$L$為圓周$x^2+y^2=1$，則$\oint_{L}x^2ds=$（）A.$\frac{\pi}{2}$B.$\pi$C.$2\pi$D.08.函數(shù)$f(x,y)=x^2+y^2$在點(diǎn)$(0,0)$處（）A.有極大值B.有極小值C.無極值D.不是駐點(diǎn)9.微分方程$y''-2y'+y=0$的通解是（）A.$y=C_1e^x+C_2xe^x$B.$y=C_1e^{-x}+C_2xe^{-x}$C.$y=C_1e^x+C_2e^{-x}$D.$y=C_1+C_2x$10.已知$u=xyz$，則$div(gradu)=$（）A.$2(x+y+z)$B.$x+y+z$C.0D.1二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列哪些是多元函數(shù)的連續(xù)的性質(zhì)（）A.有界性B.保號(hào)性C.可微性D.可積性2.向量$\vec{a}=(1,-1,2)$與下列哪些向量垂直（）A.$(1,1,0)$B.$(2,2,-1)$C.$(-2,2,2)$D.$(0,0,0)$3.下列級(jí)數(shù)中收斂的有（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$B.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$C.$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n}$D.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}$4.關(guān)于偏導(dǎo)數(shù)，以下說法正確的是（）A.連續(xù)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)一定存在B.偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)不一定連續(xù)C.偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)一定可微D.函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)一定連續(xù)5.曲線積分與路徑無關(guān)的條件有（）A.區(qū)域是單連通的B.被積函數(shù)在區(qū)域內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)C.$\frac{\partialP}{\partialy}=\frac{\partialQ}{\partialx}$D.曲線是封閉曲線6.以下哪些是求多元函數(shù)極值的步驟（）A.求駐點(diǎn)B.計(jì)算二階偏導(dǎo)數(shù)C.用判別式判斷駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)D.求出極值7.關(guān)于冪級(jí)數(shù)$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$，說法正確的是（）A.一定有收斂半徑B.在收斂區(qū)間內(nèi)絕對(duì)收斂C.可以逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分D.收斂區(qū)間端點(diǎn)處一定收斂8.下列哪些是一階線性微分方程（）A.$y'+xy=e^x$B.$y''+y=0$C.$y'=\frac{y}{x}$D.$y'+\sinx\cdoty=\cosx$9.對(duì)于高斯公式$\underset{\varOmega}{\iiint}div\vec{A}dV=\underset{\varSigma}{?}\vec{A}\cdotd\vec{S}$，說法正確的是（）A.$\varOmega$是空間閉區(qū)域B.$\varSigma$是$\varOmega$的邊界曲面C.$\vec{A}$在$\varOmega$上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)D.公式建立了三重積分與曲面積分的關(guān)系10.已知函數(shù)$z=f(x,y)$，則全微分$dz$為（）A.$\frac{\partialz}{\partialx}dx$B.$\frac{\partialz}{\partialy}dy$C.$\frac{\partialz}{\partialx}dx+\frac{\partialz}{\partialy}dy$D.當(dāng)$\Deltax,\Deltay$很小時(shí)，近似等于$\Deltaz$三、判斷題（每題2分，共10題）1.若函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x_0,y_0)$處偏導(dǎo)數(shù)存在，則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。（）2.向量$\vec{a}=(1,2,3)$與向量$\vec=(2,4,6)$平行。（）3.級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收斂，則$\lim_{n\to\infty}a_n=0$。（）4.二重積分的值與積分區(qū)域和被積函數(shù)有關(guān)，與積分次序無關(guān)。（）5.函數(shù)$z=x^2+y^2$在點(diǎn)$(0,0)$處的梯度為$(0,0)$。（）6.曲線積分$\int_{L}Pdx+Qdy$，若$P,Q$在區(qū)域內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且$\frac{\partialP}{\partialy}=\frac{\partialQ}{\partialx}$，則積分與路徑無關(guān)。（）7.冪級(jí)數(shù)的收斂半徑唯一。（）8.二階常系數(shù)齊次線性微分方程$y''+py'+qy=0$的通解一定包含兩個(gè)任意常數(shù)。（）9.格林公式是高斯公式的特殊情況。（）10.函數(shù)$u=f(x,y,z)$在某點(diǎn)的方向?qū)?shù)最大值等于該點(diǎn)梯度的模。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)$z=x^3y+xy^3$的一階偏導(dǎo)數(shù)。-答案：$\frac{\partialz}{\partialx}=3x^2y+y^3$，$\frac{\partialz}{\partialy}=x^3+3xy^2$。2.計(jì)算二重積分$\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}(x+y)dxdy$。-答案：先對(duì)$x$積分得$\int_{0}^{1}[\frac{1}{2}x^2+yx]_{0}^{1}dy=\int_{0}^{1}(\frac{1}{2}+y)dy$，再對(duì)$y$積分得$[\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}y^2]_{0}^{1}=1$。3.求冪級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$的收斂半徑和收斂區(qū)間。-答案：由公式$R=\lim\limits_{n\to\infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|$，這里$a_n=\frac{1}{n}$，$a_{n+1}=\frac{1}{n+1}$，得$R=1$。當(dāng)$x=1$時(shí)，級(jí)數(shù)為調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)$x=-1$時(shí)，級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂。收斂區(qū)間為$[-1,1)$。4.寫出一階線性非齊次微分方程$y'+P(x)y=Q(x)$的通解公式。-答案：通解公式為$y=e^{-\intP(x)dx}(\intQ(x)e^{\intP(x)dx}dx+C)$。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論多元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、可微之間的關(guān)系。-答案：可微能推出偏導(dǎo)數(shù)存在且函數(shù)連續(xù)，但偏導(dǎo)數(shù)存在推不出可微，也推不出函數(shù)連續(xù)；函數(shù)連續(xù)推不出偏導(dǎo)數(shù)存在和可微。2.討論級(jí)數(shù)斂散性的判別方法有哪些。-答案：有比較判別法、比值判別法、根值判別法、萊布尼茨判別法等。正項(xiàng)級(jí)數(shù)常用比較、比值、根值法；交錯(cuò)級(jí)數(shù)常用萊