高數(shù)訓(xùn)練題目及答案解析

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sinx\)的導(dǎo)數(shù)是（）A.\(\cosx\)B.-\(\cosx\)C.\(\sinx\)D.-\(\sinx\)2.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=\)（）A.0B.1C.\(\infty\)D.不存在3.曲線\(y=x^2\)在點\((1,1)\)處的切線斜率為（）A.1B.2C.3D.44.不定積分\(\intx^2dx=\)（）A.\(\frac{1}{3}x^3+C\)B.\(x^3+C\)C.\(\frac{1}{2}x^2+C\)D.\(2x+C\)5.定積分\(\int_{0}^{1}xdx=\)（）A.\(\frac{1}{2}\)B.1C.2D.06.函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)的駐點為（）A.\(x=\pm1\)B.\(x=0\)C.\(x=1\)D.\(x=-1\)7.若\(y=e^{2x}\)，則\(y^\prime=\)（）A.\(e^{2x}\)B.\(2e^{2x}\)C.\(e^x\)D.\(2e^x\)8.極限\(\lim_{x\to\infty}\frac{3x+1}{2x-1}=\)（）A.\(\frac{3}{2}\)B.0C.\(\infty\)D.不存在9.函數(shù)\(y=\lnx\)的定義域是（）A.\((-\infty,+\infty)\)B.\((0,+\infty)\)C.\((-\infty,0)\)D.\([0,+\infty)\)10.曲線\(y=\frac{1}{x}\)的漸近線有（）A.1條B.2條C.3條D.0條二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\lnx\)2.以下哪些是求導(dǎo)公式（）A.\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)B.\((\sinx)^\prime=\cosx\)C.\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)D.\((e^x)^\prime=e^x\)3.下列極限存在的有（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\)B.\(\lim_{x\to0}\sinx\)C.\(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\)D.\(\lim_{x\to\infty}x^2\)4.不定積分的性質(zhì)有（）A.\(\intkf(x)dx=k\intf(x)dx\)（\(k\)為常數(shù)）B.\(\int[f(x)+g(x)]dx=\intf(x)dx+\intg(x)dx\)C.\((\intf(x)dx)^\prime=f(x)\)D.\(\intf^\prime(x)dx=f(x)+C\)5.函數(shù)\(y=x^3-3x^2+2\)的極值點可能是（）A.\(x=0\)B.\(x=1\)C.\(x=2\)D.\(x=3\)6.下列哪些曲線有水平漸近線（）A.\(y=\frac{1}{x}\)B.\(y=\frac{x}{x^2+1}\)C.\(y=e^{-x}\)D.\(y=x^2\)7.關(guān)于定積分，正確的有（）A.\(\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx\)B.\(\int_{a}^[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^f(x)dx+\int_{a}^g(x)dx\)C.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積，則\(\int_{a}^f(x)dx\)為常數(shù)D.\(\int_{a}^kdx=k(b-a)\)（\(k\)為常數(shù)）8.函數(shù)\(f(x)\)在點\(x_0\)處可導(dǎo)的充要條件是（）A.左導(dǎo)數(shù)存在B.右導(dǎo)數(shù)存在C.左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)D.函數(shù)在\(x_0\)處連續(xù)9.以下哪些函數(shù)是單調(diào)遞增的（）A.\(y=2x+1\)B.\(y=e^x\)C.\(y=x^2\)（\(x\gt0\)）D.\(y=\lnx\)10.與函數(shù)\(y=x\)等價的函數(shù)有（）A.\(y=\sqrt{x^2}\)B.\(y=\frac{x^2}{x}\)（\(x\neq0\)）C.\(y=\lne^x\)D.\(y=e^{\lnx}\)（\(x\gt0\)）三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=x^2+1\)是偶函數(shù)。（）2.若\(f(x)\)在\(x_0\)處不可導(dǎo)，則\(f(x)\)在\(x_0\)處一定不連續(xù)。（）3.極限\(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^2}=0\)。（）4.不定積分\(\int\frac{1}{x}dx=\lnx+C\)。（）5.定積分的值與積分變量的選取無關(guān)。（）6.函數(shù)\(y=x^3\)在\(R\)上單調(diào)遞增。（）7.曲線\(y=\tanx\)沒有漸近線。（）8.若\(f^\prime(x)\gt0\)在區(qū)間\((a,b)\)上恒成立，則\(f(x)\)在\((a,b)\)上單調(diào)遞增。（）9.函數(shù)\(y=\cosx\)的周期是\(2\pi\)。（）10.兩個函數(shù)\(f(x)\)和\(g(x)\)，若\(f^\prime(x)=g^\prime(x)\)，則\(f(x)=g(x)\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^3-2x^2+x+1\)的導(dǎo)數(shù)。答案：根據(jù)求導(dǎo)公式\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)，可得\(y^\prime=3x^2-4x+1\)。2.計算定積分\(\int_{0}^{1}(x^2+1)dx\)。答案：\(\int_{0}^{1}(x^2+1)dx=(\frac{1}{3}x^3+x)\big|_{0}^{1}=(\frac{1}{3}×1^3+1)-(\frac{1}{3}×0^3+0)=\frac{4}{3}\)。3.求函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)的定義域和漸近線。答案：定義域為\(x\neq1\)。漸近線：\(x=1\)是垂直漸近線，\(y=0\)是水平漸近線。4.簡述函數(shù)極值的判定方法。答案：先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為0得駐點。再通過判斷駐點左右導(dǎo)數(shù)符號，左正右負(fù)為極大值點，左負(fù)右正為極小值點。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=x^2-4x+3\)的單調(diào)性與極值。答案：求導(dǎo)得\(y^\prime=2x-4\)，令\(y^\prime=0\)，得\(x=2\)。當(dāng)\(x\lt2\)時，\(y^\prime\lt0\)，函數(shù)遞減；當(dāng)\(x\gt2\)時，\(y^\prime\gt0\)，函數(shù)遞增。\(x=2\)為極小值點，極小值為\(2^2-4×2+3=-1\)。2.討論極限\(\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+2x+1}{x^2+1}\)的存在性及值。答案：分子分母同時除以\(x^2\)，得\(\lim_{x\to\infty}\frac{3+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x^2}}\)，當(dāng)\(x\to\infty\)時，\(\frac{2}{x}\to0\)，\(\frac{1}{x^2}\to0\)，所以極限值為3，極限存在。3.討論不定積分與定積分的聯(lián)系與區(qū)別。答案：聯(lián)系：定積分可通過不定積分計算，牛頓-萊布尼茨公式建立了兩者聯(lián)系。區(qū)別：不定積分是原函數(shù)的集合，結(jié)果帶常數(shù)\(C\)；定積分是一個數(shù)值，與積分區(qū)間有關(guān)。4.討論函數(shù)\(y=\sinx\)在\([0,2\pi]\)上的最值情況。答案：\(y^\prime=\cosx\)，令\(y^\prime=0\)，在\([0,2\pi]\)上\(x=\frac{\pi}{2}\)，\(x=\frac{3\pi}{2}\)。\(y(0)=0\)，\(y(\frac{\pi}{2})=1\)，\(y(\frac{3\pi}{2})=-1\)，\(y(2\pi)=0\)，所以最大值為1，最小值為-1。答案一、單項