試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025屆江蘇省蘇州市高三三模數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)學(xué)生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求：1．本卷共6頁，包含單項(xiàng)選擇題（第1題～第8題）、多項(xiàng)選擇題（第9題～第11題）、填空題（第12題～第14題）、解答題（第15題～第19題）．本卷滿分150分，答題時(shí)間為120分鐘．答題結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回．2．答題剪，請(qǐng)您務(wù)必將自己的姓名、調(diào)研序列號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上按照順序在對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，在其他位置作答一律無效．作答必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆．請(qǐng)注意字體工整，筆跡清楚．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知的展開式中系數(shù)之和為64，則展開式中的系數(shù)為（

）A．10 B．15 C．21 D．243．某射擊運(yùn)動(dòng)員在男子10米氣步槍決賽中，最后10槍成績(jī)分別為10.9,10.7,10.4,10.0，10.5,9.8,10.7,9.9,10.5,10.6，則這10槍成績(jī)的上四分位數(shù)是（

）A．10.5 B．10.6 C．10.65 D．10.74．甲、乙、丙、丁、戊5名學(xué)生站成一排，記“甲、乙相鄰”為事件，“甲不站在兩端”為事件，則（

）A． B． C． D．5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，則（

）A．-3 B．0 C．1 D．46．某廠生產(chǎn)一批圓臺(tái)形燈罩，燈罩的上、下底面都是空的，上、下底面的半徑之比為1:2，高為15cm，母線長(zhǎng)為25cm．現(xiàn)要對(duì)100個(gè)這樣的燈罩的內(nèi)、外表面都涂上一層防潮涂料，若每平方米需要100克涂料，則共需涂料（

）A．克 B．克 C．克 D．克7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，若直線OA,OP,OB的斜率依此成等比數(shù)列，則的斜率為（

）A． B． C．2 D．38．已知數(shù)列滿足，則（

）A． B．C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．記的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若，則（

）A． B．C． D．10．某數(shù)學(xué)興趣小組研究發(fā)現(xiàn)，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，記其焦點(diǎn)分別為、，若為其圖象上任意一點(diǎn)，則（

）A．軸是的一條漸近線 B．點(diǎn)是的一個(gè)焦點(diǎn)C． D．的離心率為11．已知四棱錐中，平面，四棱錐的外接球的球心為．記四棱錐的體積分別為，三棱錐的體積分別為，則下列說法中正確的有（

）A．B．C．D．若二面角的平面角大小為，則的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．函數(shù)的最小正周期為.13．若在上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．14．已知數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，從中任取四項(xiàng)，則這四項(xiàng)依然構(gòu)成等比數(shù)列的概率為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，．(1)求；(2)求．16．現(xiàn)有甲、乙兩臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)一批零件，甲生產(chǎn)出的零件內(nèi)徑（單位：mm）服從正態(tài)分布，乙生產(chǎn)出的零件內(nèi)徑（單位：mm）服從正態(tài)分布．(1)若甲、乙在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率分別為0.1,0.2，且兩臺(tái)機(jī)器工作狀態(tài)相互獨(dú)立．設(shè)一天內(nèi)發(fā)生故障的機(jī)器臺(tái)數(shù)為，求的分布列；(2)若生產(chǎn)出的零件內(nèi)徑小于8mm，則每件虧損2元；若內(nèi)徑大于10mm，則每件虧損8元；其余尺寸的零件，則每件獲利20元．已知每天每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)出一千件零件，試比較哪一臺(tái)臺(tái)機(jī)器每天生產(chǎn)出的零件的平均利潤(rùn)更大．參考數(shù)據(jù)：若，則．17．如圖，已知四棱錐中，四邊形為直角梯形，，，平面平面.(1)求證：平面平面；(2)求二面角的正弦值的取值范圍．18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，直線過分別交于A,B兩點(diǎn)．當(dāng)?shù)膬A斜角為時(shí)，．(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)為線段AB（不含端點(diǎn)）上任一點(diǎn)，射線OE與交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)．①若，求的最小值；②若為線段AB的中點(diǎn)，判斷并證明與以AB為直徑的圓的位置關(guān)系．19．已知函數(shù)．(1)若，解關(guān)于的不等式；(2)證明：關(guān)于的方程有且僅有一個(gè)實(shí)根；(3)證明：的充要條件是．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，利用復(fù)數(shù)相等列出等式求解即可.【詳解】假設(shè)，則，所以，解得，故，，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限故選：A2．B【分析】利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)結(jié)合二項(xiàng)式定理列式計(jì)算即可.【詳解】令，可得所有系數(shù)和為，由題意，可得，展開式的通項(xiàng)為，令，可得所以的系數(shù)為.故選：B.3．D【分析】由百分位數(shù)的計(jì)算步驟求解即可.【詳解】將這10次成績(jī)從小到大的順序排列如下：9.8，9.9，10.0，10.4，10.5，10.5，10.6，10.7，10.7，10.9，因?yàn)?，所以該組成績(jī)的上四分位數(shù)為排序后的第8個(gè)數(shù)字10.7．故選：D4．D【分析】根據(jù)條件概率公式來求解，需要先分別求出和，再代入公式計(jì)算.【詳解】“甲、乙相鄰”，可將甲、乙看成一個(gè)整體，與丙、丁、戊全排列，同時(shí)甲、乙兩人之間也需要全排列.甲、乙兩人全排列的方法數(shù)為種；將甲、乙整體與丙、丁、戊全排列的方法數(shù)為種.所以事件包含的基本事件數(shù)為種.名學(xué)生全排列的方法數(shù)為種.根據(jù)古典概型概率公式可得.“甲、乙相鄰且甲不站在兩端”，當(dāng)甲、乙相鄰時(shí)，若甲不站在兩端，甲只能站在中間3個(gè)位置上，所以事件AB包含的基本事件數(shù)為種.則.根據(jù)條件概率公式，將，代入可得：.故選：D.5．A【分析】設(shè)點(diǎn)，得到的坐標(biāo)，由，可得，將其代入即可得解.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，，所以，因?yàn)?，所以，整理可得，所以故選：A6．C【分析】設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為cm，由求出，再由圓臺(tái)的側(cè)面積公式求出內(nèi)、外表面面積可得答案.【詳解】設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為cm，則下底面半徑為cm，因?yàn)楦遚m，母線cm，所以由，得cm，可得圓臺(tái)的側(cè)面積為，所以100個(gè)燈罩內(nèi)、外表面面積為，則共需涂料克.故選：C.7．A【分析】設(shè)出的方程，與拋物線方程聯(lián)立，表示出韋達(dá)定理，結(jié)合已知可得的方程，進(jìn)而求解即可.【詳解】設(shè)的方程為，，將直線方程代入拋物線方程得，所以，，所以，因?yàn)椋裕裕裕手本€的斜率為．故選：A.8．C【分析】根據(jù)給定的遞推公式，變形計(jì)算判斷AB；裂項(xiàng)，結(jié)合累加法求通推理判斷CD.【詳解】對(duì)于A，由，得，，則，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，得，當(dāng)時(shí)，，B錯(cuò)誤；對(duì)于CD，由，得，則，即，則當(dāng)時(shí)，，，因此，，，，而，C正確，D錯(cuò)誤.故選：C9．BD【分析】先根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系求出，再利用正弦定理求出與的關(guān)系，進(jìn)而判斷與的關(guān)系，最后根據(jù)余弦定理求出與的關(guān)系，即可判斷各選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，是三角形?nèi)角，則.所以，已知，由正弦定理可得：，又因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，且，那么?若，又，則，這與矛盾，所以，故選項(xiàng)正確，錯(cuò)誤.由余弦定理可得：，即，即，得，則或.因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)正確，錯(cuò)誤.故選：BD.10．ACD【分析】利用反比例函數(shù)的對(duì)稱軸可判斷A選項(xiàng)；分析可知雙曲線為等軸雙曲線，可得出雙曲線的離心率，可判斷D選項(xiàng)；將直線的方程與反比例函數(shù)解析式聯(lián)立，可求出雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，可判斷B選項(xiàng)；求出雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，結(jié)合雙曲線的定義可判斷C選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，反比例函數(shù)的兩條漸近線為軸和軸，A對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，反比例函數(shù)的兩條漸近線垂直，故雙曲線為等軸雙曲線，因此，雙曲線的離心率為，D對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，反比例函數(shù)的圖象分布在第一、三象限，且第一、三象限的角平分線方程為，聯(lián)立解得或，所以，雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)為，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為，故，C對(duì).故選：ACD.11．ABD【分析】利用線面垂直的性質(zhì)判定推理判斷A；利用錐體的體積推理判斷BC；利用二面角的意義，列出錐體的體積關(guān)系，再利用基本不等式求出最大值判斷D.【詳解】對(duì)于A，由四棱錐有外接球，得四邊形有外接圓，由，得，由平面，平面，得，而，平面，則平面，又平面，因此，A正確；對(duì)于B，由平面，得球心到平面的距離等于，因此，B正確；對(duì)于C，均在以線段為直徑的圓上，但面積無任何關(guān)系，不能確定，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得是二面角的平面角，即，則令，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，因此的最大值為，D正確.故選：ABD12．##【分析】由函數(shù)周期性與誘導(dǎo)公式求解，【詳解】由誘導(dǎo)公式可知，，當(dāng)時(shí)，與不恒相等，故的最小正周期為，故答案為：13．【分析】由題意可得存在，使得，求解即可.【詳解】由，可得，所以在上不單調(diào)，所以在上有解，即在有解，即存在，使得，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.14．【分析】根據(jù)題意，先求得從20項(xiàng)中任取4項(xiàng)的總數(shù)，假設(shè)任取的4項(xiàng)為，得到構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)公差為，結(jié)合，一一列舉，結(jié)合古典摡型的概率計(jì)算公式，即可求解.【詳解】從20項(xiàng)中任取4項(xiàng)，共有種情況，假設(shè)任取的4項(xiàng)為，若這四項(xiàng)依然構(gòu)成等比數(shù)列，則構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)公差為，則滿足，對(duì)公差進(jìn)行一一列舉：當(dāng)時(shí)，的范圍是，共有17種；當(dāng)時(shí)，的范圍是，共有14種；當(dāng)時(shí)，的范圍是，共有11種；當(dāng)時(shí)，的范圍是，共有8種；當(dāng)時(shí)，的范圍是，共有5種；當(dāng)時(shí)，的范圍是，共有2種，所以共有種情況，所以這四項(xiàng)依然構(gòu)成等比數(shù)列的概率為.故答案為：.15．(1)，(2)【分析】（1）將和及的值分別代入，計(jì)算即可求出；（2）利用與的關(guān)系得到，再按照等差數(shù)列的定義證明是以為首項(xiàng)，18為公差的等差數(shù)列，再求即可.【詳解】（1）因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，因?yàn)椋越獾?；?dāng)時(shí)，，，解得.（2）因?yàn)棰伲寓?，所以②—①可得，時(shí)，上式也成立，所以用代換可得，所以，這說明數(shù)列是以為首項(xiàng)，18為公差的等差數(shù)列.所以.16．(1)分布列見解析(2)甲臺(tái)機(jī)器每天生產(chǎn)出的零件的平均利潤(rùn)更大【分析】（1）需要根據(jù)獨(dú)立事件概率公式計(jì)算不同故障臺(tái)數(shù)的概率；（2）比較甲、乙兩臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)零件的平均利潤(rùn)，要先根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求出不同內(nèi)徑范圍的概率，再計(jì)算平均利潤(rùn).【詳解】（1）表示一天內(nèi)發(fā)生故障的機(jī)器臺(tái)數(shù)，的可能取值為，，.：表示甲、乙兩臺(tái)機(jī)器都不發(fā)生故障，因?yàn)榧?、乙兩臺(tái)機(jī)器工作狀態(tài)相互獨(dú)立，根據(jù)獨(dú)立事件概率公式，可得.：表示甲發(fā)生故障乙不發(fā)生故障或者甲不發(fā)生故障乙發(fā)生故障，可得.：表示甲、乙兩臺(tái)機(jī)器都發(fā)生故障，根據(jù)獨(dú)立事件概率公式，可得.所以的分布列為：0.720.260.02（2）甲機(jī)器：已知甲生產(chǎn)出的零件內(nèi)徑，則，.；；.每臺(tái)機(jī)器每天生產(chǎn)1000件零件，則甲機(jī)器每天生產(chǎn)出的零件的平均利潤(rùn)為：（元）.乙機(jī)器：已知乙生產(chǎn)出的零件內(nèi)徑，則，.；；.則乙機(jī)器每天生產(chǎn)出的零件的平均利潤(rùn)為：（元）.因?yàn)?，所以甲機(jī)器每天生產(chǎn)出的零件的平均利潤(rùn)更大.17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)可得出平面，可得出，再結(jié)合以及線面垂直、面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）分別取、的中點(diǎn)、，連接、、，推導(dǎo)出二面角的平面角為，證明出平面平面，可知二面角的正弦值等于，求出的取值范圍，可得出的取值范圍，即可得出的取值范圍，即為所求.【詳解】（1）在直角梯形中，，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)?，，、平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）分別取、的中點(diǎn)、，連接、、，如下圖所示：因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，所以，在直角梯形中，，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，故，，所以四邊形為矩形，故，因?yàn)槠矫妫云矫?，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)椤⑵矫?，，所以平?因?yàn)槠矫妫?，所以二面角的平面角為，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平面，所以二面角是二面角的余角，因此二面角的正弦值等于，因?yàn)?，因?yàn)?，故，所以，綜上所述，二面角正弦值的取值范圍是.18．(1)(2)①；②點(diǎn)在以為直徑的圓外，證明見詳解【分析】（1）根據(jù)左右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，及弦長(zhǎng)可列出方程求解，；（2）①聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到，，進(jìn)而可求弦長(zhǎng)，同理可求，結(jié)合基本不等式即可求解最小值；②判斷與0的關(guān)系即可判斷與以AB為直徑的圓的位置關(guān)系.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，由題得，聯(lián)立，解得，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）①當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，不合題意.當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)，的方程為，由得，所以所以，所以，因?yàn)?，所以直線的方程為，代入的標(biāo)準(zhǔn)方程中得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)的最小值為．因?yàn)椋缘淖钚≈禐?②當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，重合，不合題意。當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，直線的方程設(shè)為，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，又，所以，所以，所以直線方程為，令，得，由①可知，所以，所以為銳角，所以點(diǎn)在以為直徑的圓外．19．(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）令，判斷的單調(diào)性，由，則，等價(jià)于，由的單調(diào)性即可求解的取值范圍；（2）令．利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)