平面直角坐標(biāo)系中的面積問題專項(xiàng)復(fù)習(xí)【題型1與兩坐標(biāo)軸圍成的圖形面積】【例1】（23-24八年級(jí)·吉林長(zhǎng)春·期中）已知A（a，0）和B點(diǎn)（0，10）兩點(diǎn)，且AB與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于20，則a的值為（）A．2 B．4 C．0或4 D．4或﹣4【變式1-1】（23-24八年級(jí)廣東清遠(yuǎn)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知A(0，4)，點(diǎn)B在x軸上，AB與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為2，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(

)A．(1，0) B．(1，0)或(－1，0) C．(－1，0) D．(0，－1)或(0，1)【變式1-2】（23-24八年級(jí)上·安徽安慶·期末）平面直角坐標(biāo)系中，我們把點(diǎn)Px,y的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對(duì)值之和叫做點(diǎn)Px,y的勾股值，記為：「P」，即（1）求點(diǎn)A?1,3的勾股值「A」（2）若點(diǎn)B在第一象限且滿足「B」=3，求滿足條件的所有B點(diǎn)與坐標(biāo)軸圍成的圖形的面積.【變式1-3】（23-24八年級(jí)·江蘇南通·階段練習(xí)）已知點(diǎn)Aa，0和點(diǎn)B0，5，且直線A．4 B．4或?4 C．?4 D．2【題型2一邊在坐標(biāo)軸上的圖形面積】【例2】（23-24八年級(jí)·江西南昌·期中）如圖是一塊不規(guī)則的四邊形地皮ABCO，各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A?2,6，B?5,4，C?7,0，O0,0（圖上一個(gè)單位長(zhǎng)度表示10米），則這塊地皮的面積是（A．25 B．250 C．2500 D．2200【變式2-1】（23-24八年級(jí)·安徽亳州·階段練習(xí)）如圖，已知三角形ABC如圖所示放置在平面直角坐標(biāo)系中，其中C(?4,4)．則三角形ABC的面積是（

）A．4 B．6 C．8 D．12【變式2-2】（23-24八年級(jí)·海南省直轄縣級(jí)單位·期中）如圖，已知：A4,3，B6,0，E5,2，求△AOEA．3.5 B．2.5 C．6 D．7【變式2-3】（23-24八年級(jí)·安徽亳州·階段練習(xí)）已知點(diǎn)A1,0，B0,2，點(diǎn)P在x軸上，且三角形PAB的面積是3，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（A．0，?4 B．?2，0 C．0，?4或【題型3平行于坐標(biāo)軸的圖形的面積】【例3】（23-24八年級(jí)·湖北武漢·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，平行四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D是整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)），則四邊形ABCD的面積是（

）個(gè)平方單位．A．152 B．15 C．10 【變式3-1】（23-24八年級(jí)·北京順義·階段練習(xí)）由坐標(biāo)平面內(nèi)的三點(diǎn)A1,1,B3,1,C1,?3【變式3-2】（23-24八年級(jí)·福建龍巖·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，由點(diǎn)Aa，2，BA．4 B．6 C．8 D．10【變式3-3】（23-24八年級(jí)·福建廈門·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A2,n+2，Bk,n+2，C4,n+4，D2,n+k．則四邊形ABCD的面積=【題型4各邊都不在坐標(biāo)軸上的圖形的面積】【例4】（23-24八年級(jí)·上海靜安·周測(cè)）如圖，三角形ABC的面積等于（

）A．12 B．1212 C．13 【變式4-1】（23-24八年級(jí)·重慶長(zhǎng)壽·期末）已知點(diǎn)A2,2，B1,0，點(diǎn)C在坐標(biāo)軸上，且三角形ABC的面積為2，請(qǐng)寫出所有滿足條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)【變式4-2】（23-24八年級(jí)·湖北鄂州·期中）如圖，直角坐標(biāo)系中，三角形ABC的頂點(diǎn)都在網(wǎng)格點(diǎn)上，其中點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,1)．(1)寫出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)A（______），B（______）；(2)將三角形ABC先向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到三角形A′B′C′，則點(diǎn)A′，B′，C(3)計(jì)算三角形ABC的面積．【變式4-3】（23-24八年級(jí)·湖北武漢·期中）如圖在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A2,3，點(diǎn)B?3,?2，點(diǎn)C4,?3，則三角形ABCA．19 B．20 C．21 D．21.5【題型5由面積之間的關(guān)系求坐標(biāo)】【例5】（23-24八年級(jí)·北京西城·期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A0,1，B1,0，C1,2，點(diǎn)P在y軸上，設(shè)三角形ABP和三角形ABC的面積相等，那么點(diǎn)P【變式5-1】（23-24八年級(jí)·江西南昌·期中）已知點(diǎn)A3,0，B0,4，點(diǎn)C在x軸上，且△BOC的面積是△ABC的面積的3倍，那么點(diǎn)C的坐標(biāo)可以為【變式5-2】（23-24八年級(jí)·福建福州·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為m?2,n，m?2,n+2023，5,t+2022，若△ABO的面積為△ABC面積的2倍，則m的值為【變式5-3】（23-24八年級(jí)·四川達(dá)州·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸正半軸上，點(diǎn)B在x軸正半軸上，OA=2，OB=1，點(diǎn)C是第一象限內(nèi)一點(diǎn)且AC∥x軸，將線段AB經(jīng)過一定的平移得到線段CD，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C，連接AD，S△ACD=6，點(diǎn)P為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)S△PAB=14S

【題型6直線分面積求值】【例6】（23-24八年級(jí)·湖北十堰·期中）如圖，A?2,0、B0,3、C2,4、D3,0，點(diǎn)P在x軸上，直線CP將四邊形ABCD的面積分成1:2兩部分，則【變式6-1】（23-24八年級(jí)·遼寧葫蘆島·期中）如圖，平面直角坐標(biāo)系中的圖案是由六個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形組成的，B3,3，Aa,0是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AB將圖案分成面積相等的兩部分時(shí)，a等于（A．1 B．43 C．32 【變式6-2】（23-24八年級(jí)·四川涼山·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，CB∥OA，且OA=12，OC=BC=4．(1)直接寫出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；(2)若動(dòng)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)沿x軸以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)直線PC把四邊形OABC分成面積相等的兩部分時(shí)，求點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；(3)在（2）的條件下，在y軸上是否存在一點(diǎn)Q，連接PQ，使△CPQ的面積與四邊形OABC的面積相等？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式6-3】（23-24八年級(jí)·北京西城·期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A0,1，B1,0，C1,2，點(diǎn)P在y軸上，設(shè)三角形ABP和三角形ABC的面積相等，那么點(diǎn)P【題型7新定義問題中的面積】【例7】（23-24八年級(jí)·廣東河源·開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于任意三點(diǎn)A，B，C的“矩面積”，給出如下定義：“水平底”a：任意兩點(diǎn)橫坐標(biāo)差的最大值，“鉛垂高”?：任意兩點(diǎn)縱坐標(biāo)差的最大值，則“矩面積”S=a?．例如：三點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1，2)，B(?3，1)，C(2，?2)，則“水平底”a=5，“鉛垂高”?=4，“矩面積”S=a?=20．若D(1，2)、E(?2，1)、F(0，t)三點(diǎn)的“矩面積”為18，則t的值為()A．?3或7 B．?4或6 C．?4或7 D．?3或6【變式7-1】（23-24八年級(jí)·北京·期中）中國(guó)結(jié)是一種手工編織工藝品，因?yàn)槠渫庥^對(duì)稱精致，可以代表漢族悠久的歷史，符合中國(guó)傳統(tǒng)裝飾的習(xí)俗和審美觀念，故命名為中國(guó)結(jié)，中國(guó)結(jié)有著復(fù)雜曼妙的曲線，卻可以還原成最單純的二維線條，其中的八字結(jié)對(duì)應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的雙扭線在平面直角坐標(biāo)系中如圖所示，則下列結(jié)論中正確的有（

）①雙扭線圍成的面積小于6；②雙扭線內(nèi)部（包含邊界）包含11個(gè)整數(shù)點(diǎn)（橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)）；③雙扭線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不超過3；④假設(shè)點(diǎn)P為雙扭線上的一個(gè)點(diǎn)，A，B為雙扭線與x軸的交點(diǎn)，則滿足三角形PAB的面積等于3的P點(diǎn)有4個(gè)．A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②③④【變式7-2】（23-24八年級(jí)·福建廈門·期末）在平面直角標(biāo)系中，將橫、縱坐標(biāo)之和為6的點(diǎn)稱為“吉祥點(diǎn)”，現(xiàn)有以下結(jié)論：①第一象限內(nèi)有無數(shù)個(gè)“吉祥點(diǎn)”；②第三象限內(nèi)不存在“吉祥點(diǎn)”；③已知點(diǎn)A(?2,1)，B(?2,?3)，若點(diǎn)P是“吉祥點(diǎn)”且在坐標(biāo)軸上，則點(diǎn)P到直線AB的距離為8；④已知點(diǎn)C(?1,?1)，D(3,?1)，若點(diǎn)Q是第一象限內(nèi)的“吉祥點(diǎn)”三角形QCD的面積記為S，則2<S<14．其中正確的是（

）A．①② B．①②③ C．③④ D．①②④【變式7-3】（23-24八年級(jí)·黑龍江牡丹江·期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于任意兩點(diǎn)Px1,y1，Qx2,y2，定義兩點(diǎn)的“分解距離”為：若x1?x2≥y1?y2，則x1?x根據(jù)以上材料，解決下列問題：(1)已知點(diǎn)A2,1，則d分解A,O(2)若點(diǎn)Bx,4?x在第一象限，且d分解B,O(3)若點(diǎn)Cx,y（x≥0，y≥0），且d和C,O【題型8面積中的規(guī)律問題】【例8】（23-24八年級(jí)·遼寧撫順·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一動(dòng)點(diǎn)按照?qǐng)D中箭頭所示的方向運(yùn)動(dòng)，第1次從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P1,?1，第2次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A12,0，第3次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A23,2，第4次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A34,0

【變式8-1】（23-24八年級(jí)·浙江寧波·期末）如圖，在一單位長(zhǎng)度為1cm的方格紙上，依如所示的規(guī)律，設(shè)定點(diǎn)A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、?An，連接點(diǎn)O、A1、A2組成三角形，記為Δ1，連接O、A2、A3組成三角形，記為Δ2?，連O、An、An+1組成三角形，記為Δn

A．1275 B．2500 C．1225 D．1250【變式8-2】（23-24八年級(jí)·湖南邵陽(yáng)·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)智能機(jī)器人接到如下指令：從原點(diǎn)O出發(fā)，按向右、向上、向右、向下的方向依次不斷移動(dòng)，每次移動(dòng)1m，其行走路線如圖所示，第1次移動(dòng)到點(diǎn)A1，第2次移動(dòng)到點(diǎn)A2……第n次移動(dòng)到點(diǎn)An，則△O

A．505m2 B．10112m2 C．506m2 【變式8-3】（23-24八年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，第一次將三角形OAB變換成三角形OA1B1，第二次將三角形OA1B1變換成三角形OA2B2，第三次將三角形OA2B2變換成三角形OA3B3，已知A（1，2），A1（2，2），A2（4，2），A3（8，2）；B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．（1）觀察每次變換前后的三角形有何變化？找出規(guī)律，按此規(guī)律再將三角形OA3B3變換成三角形OA4B4，則A4的坐標(biāo)是________，B4的坐標(biāo)是________；（2）若按（1）中找到的規(guī)律將三角形OAB進(jìn)行n次變換，得到三角形OAnBn，推測(cè)An的坐標(biāo)是________，Bn的坐標(biāo)是________．（3）求出△OAnBn的面積．

答案【題型1與兩坐標(biāo)軸圍成的圖形面積】【例1】（23-24八年級(jí)·吉林長(zhǎng)春·期中）已知A（a，0）和B點(diǎn)（0，10）兩點(diǎn)，且AB與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于20，則a的值為（）A．2 B．4 C．0或4 D．4或﹣4【答案】D【詳解】∵A（a，0），B（0，10），∴OA=|a|，OB=10，∴S△AOB=12OA?OB=12?10|解得：a=±4．故選D．【變式1-1】（23-24八年級(jí)廣東清遠(yuǎn)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知A(0，4)，點(diǎn)B在x軸上，AB與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為2，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(

)A．(1，0) B．(1，0)或(－1，0) C．(－1，0) D．(0，－1)或(0，1)【答案】B【詳解】∵三角形的面積=12×4×|OB∴|OB|=1，∴B（1，0）或（-1，0）．故選：B.【變式1-2】（23-24八年級(jí)上·安徽安慶·期末）平面直角坐標(biāo)系中，我們把點(diǎn)Px,y的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對(duì)值之和叫做點(diǎn)Px,y的勾股值，記為：「P」，即（1）求點(diǎn)A?1,3的勾股值「A」（2）若點(diǎn)B在第一象限且滿足「B」=3，求滿足條件的所有B點(diǎn)與坐標(biāo)軸圍成的圖形的面積.【答案】（1）4；（2）9【詳解】解：（1）「A」=|?1|+|3|=4；（2）設(shè)Bx,y，由「B」=3知，|x|+|y|=3又B在第一象限，x>0，y>0，得x+y=3，即y=?x+3x>0,y>0，故所有點(diǎn)B組成的圖形與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)分別為：3,0，0,3，故其面積為：12【變式1-3】（23-24八年級(jí)·江蘇南通·階段練習(xí)）已知點(diǎn)Aa，0和點(diǎn)B0，5，且直線A．4 B．4或?4 C．?4 D．2【答案】B【詳解】解：直線AB與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于10，Aa，那么5×|OA|÷2=10，解得：OA=4，所以a=4或a=?4．故選：B．【題型2一邊在坐標(biāo)軸上的圖形面積】【例2】（23-24八年級(jí)·江西南昌·期中）如圖是一塊不規(guī)則的四邊形地皮ABCO，各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A?2,6，B?5,4，C?7,0，O0,0（圖上一個(gè)單位長(zhǎng)度表示10米），則這塊地皮的面積是（A．25 B．250 C．2500 D．2200【答案】C【詳解】解：如圖所示，A?2,6，B?5,4，CS四邊形==4+15+6=∵圖上一個(gè)單位長(zhǎng)度表示10米，∴25×10×10=2500m故選：C．【變式2-1】（23-24八年級(jí)·安徽亳州·階段練習(xí)）如圖，已知三角形ABC如圖所示放置在平面直角坐標(biāo)系中，其中C(?4,4)．則三角形ABC的面積是（

）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】C【詳解】解：由圖象可知，A（0，0），B（4，0），∴AB＝4∵C（﹣4，4），點(diǎn)C到x軸的距離是4，△ABC的高就是4，∴S△ABC＝12故選：C．【變式2-2】（23-24八年級(jí)·海南省直轄縣級(jí)單位·期中）如圖，已知：A4,3，B6,0，E5,2，求△AOEA．3.5 B．2.5 C．6 D．7【答案】A【詳解】解：∵A4,3，B6,0，∴OC=4，AC=3,OD=5,DE=2，∴CD=1則S=12×4×3=3.5故選A【變式2-3】（23-24八年級(jí)·安徽亳州·階段練習(xí)）已知點(diǎn)A1,0，B0,2，點(diǎn)P在x軸上，且三角形PAB的面積是3，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（A．0，?4 B．?2，0 C．0，?4或【答案】D【詳解】解：∵點(diǎn)B(0,2)，∴S解得AP=3，若點(diǎn)P在點(diǎn)A的左邊，則OP=AP?OA=3?1=2，此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(?2,0)，若點(diǎn)P在點(diǎn)A的右邊，則OP=AP+OA=3+1=4，此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,0)，綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,0)或(?2,0)，故選：D．【題型3平行于坐標(biāo)軸的圖形的面積】【例3】（23-24八年級(jí)·湖北武漢·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，平行四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D是整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)），則四邊形ABCD的面積是（

）個(gè)平方單位．A．152 B．15 C．10 【答案】B【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，A?1,2∴AD∥x軸，AD=4??1∴平行四邊形ABCD的面積=5×3=15，故選：B．【變式3-1】（23-24八年級(jí)·北京順義·階段練習(xí)）由坐標(biāo)平面內(nèi)的三點(diǎn)A1,1,B3,1,C1,?3【答案】4【詳解】∵A∴AB=2,AB∥x軸，AC=4,AC∥y軸，∴△CAB是直角三角形，∴12故答案為：4．

【變式3-2】（23-24八年級(jí)·福建龍巖·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，由點(diǎn)Aa，2，BA．4 B．6 C．8 D．10【答案】A【詳解】解析：由點(diǎn)Aa，2點(diǎn)C在直線y=?2上，AB與直線y=?2平行，且平行線間的距離為4，∴S=1故選：A．【變式3-3】（23-24八年級(jí)·福建廈門·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A2,n+2，Bk,n+2，C4,n+4，D2,n+k．則四邊形ABCD的面積=【答案】2k?4/?4+2k【詳解】解：延長(zhǎng)BA交y軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥y軸于點(diǎn)F，延長(zhǎng)AD交CF于點(diǎn)H，過點(diǎn)C作CG⊥AG于點(diǎn)G，∵A2,n+2，Bk,n+2，C4,n+4∴AD∥y軸，∴AH∥CG，∴CH=4?2=2，AH=n+4?n+2DH=n+4?n+kBG=4?k，∴四邊形ABCD的面積為：2×2?=4?4+k?4+k=2k?4．故答案為：2k?4．【題型4各邊都不在坐標(biāo)軸上的圖形的面積】【例4】（23-24八年級(jí)·上海靜安·周測(cè)）如圖，三角形ABC的面積等于（

）A．12 B．1212 C．13 【答案】D【詳解】過點(diǎn)A作AD⊥x軸于D，如圖所示：由題意可得，BO=3，OC=3，AD=6，CD=3，∴OD=6，∴SΔABC====27即SΔABC故選：D．【變式4-1】（23-24八年級(jí)·重慶長(zhǎng)壽·期末）已知點(diǎn)A2,2，B1,0，點(diǎn)C在坐標(biāo)軸上，且三角形ABC的面積為2，請(qǐng)寫出所有滿足條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)【答案】?1,0或3,0或0,2或0,?6【詳解】解：若點(diǎn)C在x軸上，則S△ABC解得BC=2，所以，點(diǎn)C的坐標(biāo)為1+2,0或1?2,0，即3,0或?1,0，若點(diǎn)C在y軸正半軸上，則S△CAB解得OC=2，所以，點(diǎn)C的坐標(biāo)為0,2，若點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸上，則S△CAB解得OC=6，所以，點(diǎn)C的坐標(biāo)為0,?6，綜上所述，點(diǎn)C的坐標(biāo)為?1,0或3,0或0,2或0,?6，故答案為：?1,0或3,0或0,2或0,?6．【變式4-2】（23-24八年級(jí)·湖北鄂州·期中）如圖，直角坐標(biāo)系中，三角形ABC的頂點(diǎn)都在網(wǎng)格點(diǎn)上，其中點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,1)．(1)寫出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)A（______），B（______）；(2)將三角形ABC先向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到三角形A′B′C′，則點(diǎn)A′，B′，C(3)計(jì)算三角形ABC的面積．【詳解】（1）解：根據(jù)直角坐標(biāo)系中A,B,C三點(diǎn)的位置可得：A2,?2，B故答案為：2,?2，4,2；（2）解：∵將三角形ABC先向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，∴A′2?2,?2?1，B′即：A′0,?3，B′故答案為：0,?3，2,1，?1,0；（3）解：三角形ABC的面積=3×4?1【變式4-3】（23-24八年級(jí)·湖北武漢·期中）如圖在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A2,3，點(diǎn)B?3,?2，點(diǎn)C4,?3，則三角形ABCA．19 B．20 C．21 D．21.5【答案】B【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作DE∥x軸，過點(diǎn)B作EF∥y軸，過點(diǎn)C作CD∥y軸，過點(diǎn)C作CF∥x軸，∵點(diǎn)A2,3，點(diǎn)B?3,?2，點(diǎn)∴AD=2,∴三角形ABC的面積是：6×7?1故選：B【題型5由面積之間的關(guān)系求坐標(biāo)】【例5】（23-24八年級(jí)·北京西城·期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A0,1，B1,0，C1,2，點(diǎn)P在y軸上，設(shè)三角形ABP和三角形ABC的面積相等，那么點(diǎn)P【答案】0,?1或0,3【詳解】解：如圖，由題意，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)是0,a，∵A0,1，B1,0，∴BC=2，AP=a?1，三角形ABC的BC∴三角形ABC的面積為12×2×1=1，三角形ABP的面積為∵三角形ABP和三角形ABC的面積相等，∴a?12解得a=?1或a=3，則點(diǎn)P坐標(biāo)是0,?1或0,3，故答案為：0,?1或0,3．【變式5-1】（23-24八年級(jí)·江西南昌·期中）已知點(diǎn)A3,0，B0,4，點(diǎn)C在x軸上，且△BOC的面積是△ABC的面積的3倍，那么點(diǎn)C的坐標(biāo)可以為【答案】92,0【詳解】解：設(shè)點(diǎn)Cx,0，則有AC=x?3，OB=4∵△BOC的面積是△ABC的面積的3倍，∴1解得：x=92或∴點(diǎn)C92,0故答案為92,0或【變式5-2】（23-24八年級(jí)·福建福州·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為m?2,n，m?2,n+2023，5,t+2022，若△ABO的面積為△ABC面積的2倍，則m的值為【答案】12或16【詳解】解：∵A、B、C的坐標(biāo)分別為(m?2,n),(m?2,n+2023),(5,t+2022)，∴AB∥y軸，點(diǎn)C到AB的距離為m?2?5∵若△ABO的面積為△ABC面積的2倍，∴1即m?2解得m=12或m=故答案為：m=12或m=16【變式5-3】（23-24八年級(jí)·四川達(dá)州·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸正半軸上，點(diǎn)B在x軸正半軸上，OA=2，OB=1，點(diǎn)C是第一象限內(nèi)一點(diǎn)且AC∥x軸，將線段AB經(jīng)過一定的平移得到線段CD，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C，連接AD，S△ACD=6，點(diǎn)P為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)S△PAB=14S

【答案】0,?12或【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，在y軸取點(diǎn)P，連接PB，

∵AC∥x軸，將線段AB經(jīng)過一定的平移得到線段CD，∴DE=OA=2，∵S△ACD∴12∴AC=6，∴點(diǎn)C6,2∵將線段AB進(jìn)行適當(dāng)?shù)钠揭频玫骄€段CD，OB=1，∴CE=OB=1，∴點(diǎn)D5,4∵S△PAB∴12∴AP=5∵點(diǎn)A0,2∴P0,?12故答案為：0,?12或【題型6直線分面積求值】【例6】（23-24八年級(jí)·湖北十堰·期中）如圖，A?2,0、B0,3、C2,4、D3,0，點(diǎn)P在x軸上，直線CP將四邊形ABCD的面積分成1:2兩部分，則【答案】1【詳解】解：如圖，作CE⊥x軸，CP與x軸交于點(diǎn)P，由題意可得，SS梯形S△EDC∴S四邊形∵S△PCD∴S△PCD①當(dāng)S△PCD∶S解得PD=2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為1,0，∴OP=1；②當(dāng)S△PCD∶S解得PD=4，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為?1,0，∴OP=1；綜上所述，OP=1，故答案為：1．【變式6-1】（23-24八年級(jí)·遼寧葫蘆島·期中）如圖，平面直角坐標(biāo)系中的圖案是由六個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形組成的，B3,3，Aa,0是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AB將圖案分成面積相等的兩部分時(shí)，a等于（A．1 B．43 C．32 【答案】A【詳解】解：如下圖，當(dāng)AB將圖案分成面積相等的兩部分時(shí)，則有S△ABC即12(3?a)×3=3，解得故選：A．【變式6-2】（23-24八年級(jí)·四川涼山·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，CB∥OA，且OA=12，OC=BC=4．(1)直接寫出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；(2)若動(dòng)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)沿x軸以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)直線PC把四邊形OABC分成面積相等的兩部分時(shí)，求點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；(3)在（2）的條件下，在y軸上是否存在一點(diǎn)Q，連接PQ，使△CPQ的面積與四邊形OABC的面積相等？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)A、C在x軸上，OA=12．∴A12，0∵C在y軸上，OC=4，∴C0，4∵CB∥OA，CB=4，∴B4，4（2）解：∵S四邊形OABC設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t秒，∴OP=2t，

∴12∴t=4；（3）解：設(shè)Q0,y∵SΔCPQ∴12∴y1=20，y2∴Q10，20，【變式6-3】（23-24八年級(jí)·北京西城·期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A0,1，B1,0，C1,2，點(diǎn)P在y軸上，設(shè)三角形ABP和三角形ABC的面積相等，那么點(diǎn)P【答案】0,?1或0,3【詳解】解：如圖，由題意，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)是0,a，∵A0,1，B1,0，∴BC=2，AP=a?1，三角形ABC的BC∴三角形ABC的面積為12×2×1=1，三角形ABP的面積為∵三角形ABP和三角形ABC的面積相等，∴a?12解得a=?1或a=3，則點(diǎn)P坐標(biāo)是0,?1或0,3，故答案為：0,?1或0,3．【題型7新定義問題中的面積】【例7】（23-24八年級(jí)·廣東河源·開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于任意三點(diǎn)A，B，C的“矩面積”，給出如下定義：“水平底”a：任意兩點(diǎn)橫坐標(biāo)差的最大值，“鉛垂高”?：任意兩點(diǎn)縱坐標(biāo)差的最大值，則“矩面積”S=a?．例如：三點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1，2)，B(?3，1)，C(2，?2)，則“水平底”a=5，“鉛垂高”?=4，“矩面積”S=a?=20．若D(1，2)、E(?2，1)、F(0，t)三點(diǎn)的“矩面積”為18，則t的值為()A．?3或7 B．?4或6 C．?4或7 D．?3或6【答案】C【詳解】由題意可得，“水平底”a=1?(?2)=3，當(dāng)t>2時(shí)，?=t?1，則3(t?1)=18，解得，t=7，故點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0，7)；當(dāng)1≤t≤2時(shí)，?=2?1=1≠6，故此種情況不符合題意；當(dāng)t<1時(shí)，?=2?t，則3(2?t)=18，解得t=?4，故選：C．【變式7-1】（23-24八年級(jí)·北京·期中）中國(guó)結(jié)是一種手工編織工藝品，因?yàn)槠渫庥^對(duì)稱精致，可以代表漢族悠久的歷史，符合中國(guó)傳統(tǒng)裝飾的習(xí)俗和審美觀念，故命名為中國(guó)結(jié)，中國(guó)結(jié)有著復(fù)雜曼妙的曲線，卻可以還原成最單純的二維線條，其中的八字結(jié)對(duì)應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的雙扭線在平面直角坐標(biāo)系中如圖所示，則下列結(jié)論中正確的有（

）①雙扭線圍成的面積小于6；②雙扭線內(nèi)部（包含邊界）包含11個(gè)整數(shù)點(diǎn)（橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)）；③雙扭線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不超過3；④假設(shè)點(diǎn)P為雙扭線上的一個(gè)點(diǎn)，A，B為雙扭線與x軸的交點(diǎn)，則滿足三角形PAB的面積等于3的P點(diǎn)有4個(gè)．A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②③④【答案】C【詳解】解：如圖所示：S△OPB由對(duì)稱性可知：雙扭線圍成的面積>4S由圖可知：雙扭線內(nèi)部包含4個(gè)整數(shù)點(diǎn)，邊界上有7個(gè)整數(shù)點(diǎn)，共11個(gè)，故②正確；由圖可知：A,B兩點(diǎn)與原點(diǎn)距離最大，為3，故③正確；設(shè)△PAB的高為?，∵S∴?=1由圖可知：點(diǎn)Q,P,M,N均滿足題意，故④正確；故選：C【變式7-2】（23-24八年級(jí)·福建廈門·期末）在平面直角標(biāo)系中，將橫、縱坐標(biāo)之和為6的點(diǎn)稱為“吉祥點(diǎn)”，現(xiàn)有以下結(jié)論：①第一象限內(nèi)有無數(shù)個(gè)“吉祥點(diǎn)”；②第三象限內(nèi)不存在“吉祥點(diǎn)”；③已知點(diǎn)A(?2,1)，B(?2,?3)，若點(diǎn)P是“吉祥點(diǎn)”且在坐標(biāo)軸上，則點(diǎn)P到直線AB的距離為8；④已知點(diǎn)C(?1,?1)，D(3,?1)，若點(diǎn)Q是第一象限內(nèi)的“吉祥點(diǎn)”三角形QCD的面積記為S，則2<S<14．其中正確的是（

）A．①② B．①②③ C．③④ D．①②④【答案】D【詳解】由橫、縱坐標(biāo)之和為6的點(diǎn)稱為“吉祥點(diǎn)”，則①第一象限內(nèi)有無數(shù)個(gè)“吉祥點(diǎn)”，故說法①正確；②∵第三象限的橫、縱坐標(biāo)都為負(fù)數(shù)，∴第三象限內(nèi)不存在“吉樣點(diǎn)”，故說法②正確；③∵A?2,1，B∴AB∥y軸，∵點(diǎn)P是“吉祥點(diǎn)”且在坐標(biāo)軸上，∴點(diǎn)P0,6或P則P到直線AB的距離為2或8，故說法③錯(cuò)誤；④∵C?1,?1，D∴CD∥x軸，CD=4，∵點(diǎn)Q是第一象限內(nèi)的“吉祥點(diǎn)”，∴設(shè)Q6?a,a，則有：0<a<6根據(jù)題意可知：S△QCD則：2<S<14，故說法④正確；綜上可知，說法①②④正確；故選D．【變式7-3】（23-24八年級(jí)·黑龍江牡丹江·期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于任意兩點(diǎn)Px1,y1，Qx2,y2，定義兩點(diǎn)的“分解距離”為：若x1?x2≥y1?y2，則x1?x根據(jù)以上材料，解決下列問題：(1)已知點(diǎn)A2,1，則d分解A,O(2)若點(diǎn)Bx,4?x在第一象限，且d分解B,O(3)若點(diǎn)Cx,y（x≥0，y≥0），且d和C,O【詳解】（1）解：∵2?0>∴d分解d和故答案為：2；3．（2）解：∵d分解∴x=3或4?x∵B點(diǎn)在第一象限，∴x=3或4?x=3，∴x=3或x=1，即點(diǎn)B的坐標(biāo)為3,1或1,3；（3）解：∵d和又∵x≥0，y≥0，∴x+y=3，當(dāng)x=1時(shí)，y=2，即此時(shí)C1,2當(dāng)x=0時(shí)，y=3，即此時(shí)C0,3當(dāng)x=3時(shí)，y=0，即此時(shí)C3,0∵符合條件的點(diǎn)C的橫縱坐標(biāo)符合x+y=3，即y=?x+3，∴符合條件的點(diǎn)C在一條直線上，如圖所示：這條直線與坐標(biāo)軸圍成的面積為S=1【題型8面積中的規(guī)律問題】【例8】（23-24八年級(jí)·遼寧撫順·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一動(dòng)點(diǎn)按照?qǐng)D中箭頭所示的方向運(yùn)動(dòng)，第1次從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P1,?1，第2次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A12,0，第3次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A23,2，第4次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A34,0

【詳解】解：根據(jù)題意可得：A12,0，A34,0，A