杭外分班數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.在集合論中，集合A包含于集合B，記作________。

A.A∩B

B.A∪B

C.A?B

D.A?B

2.函數(shù)f(x)=x3-3x+2的導(dǎo)數(shù)f'(x)為________。

A.3x2-3

B.3x2+2

C.2x3-3

D.3x2-2

3.極限lim(x→2)(x2-4)/(x-2)的值為________。

A.0

B.1

C.2

D.不存在

4.在三角函數(shù)中，sin(π/6)的值為________。

A.1/2

B.1/√3

C.√2/2

D.√3/2

5.已知向量a=(1,2)和向量b=(3,4)，則向量a和向量b的點(diǎn)積為________。

A.1

B.2

C.11

D.14

6.在解析幾何中，圓x2+y2-4x+6y-3=0的圓心坐標(biāo)為________。

A.(2,-3)

B.(-2,3)

C.(2,3)

D.(-2,-3)

7.在概率論中，事件A和事件B互斥，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，則P(A∪B)的值為________。

A.0.3

B.0.4

C.0.7

D.0.1

8.在數(shù)列中，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為________。

A.Sn=n(a?+an)/2

B.Sn=n(a?+a?)/2

C.Sn=na?

D.Sn=na?

9.在線性代數(shù)中，矩陣A=[12;34]的轉(zhuǎn)置矩陣A?為________。

A.[13;24]

B.[24;13]

C.[12;34]

D.[42;31]

10.在復(fù)數(shù)中，復(fù)數(shù)z=3+4i的模長|z|為________。

A.3

B.4

C.5

D.7

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(-∞,+∞)上單調(diào)遞增的有________。

A.y=x2

B.y=e^x

C.y=log?(x)

D.y=-x

2.在三角函數(shù)中，下列等式成立的有________。

A.sin(α+β)=sinα+sinβ

B.cos(α-β)=cosα-cosβ

C.sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

D.cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

3.已知向量a=(1,1,1)和向量b=(1,0,-1)，則下列說法正確的有________。

A.向量a和向量b平行

B.向量a和向量b垂直

C.向量a和向量b的向量積為(1,-2,1)

D.向量a和向量b的向量積為(-1,1,1)

4.在概率論中，袋中有5個(gè)紅球和3個(gè)白球，從中隨機(jī)取出3個(gè)球，則取出2個(gè)紅球和1個(gè)白球的事件發(fā)生的概率為________。

A.5/28

B.15/28

C.3/8

D.5/14

5.在數(shù)列中，下列數(shù)列為等比數(shù)列的有________。

A.2,4,8,16,...

B.1,-1,1,-1,...

C.1,3,5,7,...

D.1,1/2,1/4,1/8,...

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖像開口向上，則a________0。

2.拋物線y=2x2-4x+1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為________。

3.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(3,-4)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為________。

4.已知事件A的概率P(A)=0.6，事件B的概率P(B)=0.7，且P(A∩B)=0.3，則事件A和事件B獨(dú)立的概率為________。

5.已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為2，公比為3，則該數(shù)列的前4項(xiàng)和為________。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算不定積分∫(x2+2x+3)dx。

2.解微分方程dy/dx=x/y，初始條件為y(1)=1。

3.計(jì)算二重積分?_D(x+y)dA，其中D是由直線y=x，y=2x和y=2所圍成的區(qū)域。

4.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2，求f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

5.計(jì)算向量場(chǎng)F(x,y,z)=(x2yz,y2xz,z2xy)的散度??F。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.C.A?B

解析：集合論中，A包含于B表示集合A中的所有元素都屬于集合B，記作A?B。

2.A.3x2-3

解析：利用求導(dǎo)法則，對(duì)x3-3x+2逐項(xiàng)求導(dǎo)，得到3x2-3。

3.C.2

解析：極限lim(x→2)(x2-4)/(x-2)可以通過因式分解x2-4為(x-2)(x+2)，約去(x-2)得到lim(x→2)(x+2)=4。

4.A.1/2

解析：特殊角三角函數(shù)值，sin(π/6)=1/2。

5.C.11

解析：向量點(diǎn)積公式a?b=a?b?+a?b?，計(jì)算得到1*3+2*4=11。

6.C.(2,3)

解析：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-h)2+(y-k)2=r2，通過配方得到圓心為(2,3)。

7.C.0.7

解析：互斥事件概率加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)，計(jì)算得到0.3+0.4=0.7。

8.A.Sn=n(a?+an)/2

解析：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式為Sn=n(a?+an)/2。

9.A.[13;24]

解析：矩陣轉(zhuǎn)置即將行變列，列變行，得到轉(zhuǎn)置矩陣A?=[13;24]。

10.C.5

解析：復(fù)數(shù)模長公式|z|=√(a2+b2)，計(jì)算得到|3+4i|=√(32+42)=5。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.B.y=e^x,D.y=-x

解析：y=e^x在整個(gè)實(shí)數(shù)域上單調(diào)遞增，y=-x在整個(gè)實(shí)數(shù)域上單調(diào)遞減。

2.C.sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ,D.cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

解析：三角函數(shù)的和差公式正確。

3.C.向量a和向量b的向量積為(1,-2,1)

解析：向量積公式a×b=(a?b?-a?b?,a?b?-a?b?,a?b?-a?b?)，計(jì)算得到(1,-2,1)。

4.B.15/28,C.3/8

解析：組合數(shù)計(jì)算C(5,2)*C(3,1)/C(8,3)=15/28，概率為15/28，也可以直接計(jì)算3/8。

5.A.2,4,8,...,B.1,-1,1,-,...,D.1,1/2,1/4,1/8,...

解析：等比數(shù)列特征是相鄰項(xiàng)比值相等。

三、填空題答案及解析

1.>

解析：二次函數(shù)開口方向由a決定，a>0時(shí)開口向上。

2.(1/2,1/2)

解析：拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)公式為((p/2,p/2))，p=1/2。

3.(-3,4)

解析：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y)變?yōu)?-x,-y)。

4.0.42

解析：事件獨(dú)立條件P(A∩B)=P(A)P(B)，計(jì)算0.6*0.7=0.42。

5.26

解析：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn=a(1-r^n)/(1-r)，計(jì)算得到2*(1-3^4)/(1-3)=26。

四、計(jì)算題答案及解析

1.∫(x2+2x+3)dx=(1/3)x3+x2+3x+C

解析：逐項(xiàng)積分，x2積分得到x3/3，2x積分得到x2，3積分得到3x，最后加常數(shù)C。

2.y=√(x2+1)

解析：分離變量dy/y=dx/x，兩邊積分得到ln|y|=ln|x|+C，解得y=k√(x2+1)，由y(1)=1得到k=1。

3.?_D(x+y)dA=4

解析：將區(qū)域D分成三角形和梯形，分別積分計(jì)算。

4.最大值f(0)=2，最小值f(-1)=-4

解析：求導(dǎo)f'(x)=3x2-6x，解得駐點(diǎn)x=0,2，比較端點(diǎn)和駐點(diǎn)函數(shù)值。

5.??F=3xyz2

解析：散度公式?(x2yz)/?x+?(y2xz)/?y+?(z2xy)/?z，計(jì)算得到3xyz2。

知識(shí)點(diǎn)分類和總結(jié)

1.函數(shù)與極限：包括函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)、極限計(jì)算、連續(xù)性等。

2.解析幾何：包括圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系、向量運(yùn)算等。

3.概率論：包括事件的關(guān)系運(yùn)算、概率計(jì)算、獨(dú)立性等。

4.數(shù)列：包括等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等。

5.線性代數(shù)：包括矩陣的運(yùn)算、向量積、線性方程組等。

各題型所考察學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)詳解及示例

1.選