試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁完成時間：月日天氣：作業(yè)線段垂直平分線和角平分線三層必刷：鞏固提升+能力培優(yōu)+創(chuàng)新題型【題型一：線段垂直平分線的判定】1．下列說法中，正確的有（

）①P是線段上的一點，直線l經(jīng)過點P且，則l是線段的垂直平分線；②直線l經(jīng)過線段的中點，則l是線段的垂直平分線；③若，直線l經(jīng)過點P且垂直于線段，則l是線段的垂直平分線；④經(jīng)過線段的中點P且與垂直的直線l是線段的垂直平分線．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．如圖，直線經(jīng)過線段的中點，點在直線上，且，則下列結(jié)論：；；平分；垂直平分線段．其中正確的個數(shù)有（

）A．個 B．個 C．個 D．個3．如圖，在中，，點O是內(nèi)一點，連接，連接并延長交于點D，若，則的長為（

）A．4 B．5 C．2 D．64．如圖，與關(guān)于直線對稱，P為上任一點，下列結(jié)論中錯誤的是（）A．直線、的交點不一定在上 B．是等腰三角形C．與面積相等 D．垂直平分5．如圖，四邊形中，，，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”．求證：．6．如圖，在四邊形中，，點是的中點，連接并延長交的延長線于點，點在線段上，且，連接．求證：(1)；(2)垂直平分．7．如圖，是的角平分線，分別是和的高，連接、交于點O．(1)證明：；(2)證明：垂直平分．8．如圖，在四邊形中，，垂直平分，交于點，點是中點．(1)證明：是線段的垂直平分線；(2)若，求的度數(shù)．【題型二：線段垂直平分線的性質(zhì)】9．如圖，在中，垂直平分．若，則的長是（

）A．12 B．10 C．9 D．810．如圖，把折疊，使點與點重合，展開后得到折痕與交于點，交于點，連接，則下列結(jié)論正確的是（）A．平分 B． C． D．11．如圖，直線，直線分別與，交于點，，分別以點，為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，相交于，兩點，作直線交直線于點，連接，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．12．如圖，在中，的垂直平分線交于點D，邊的垂直平分線交于點E．已知的周長為，則的長為（）

A． B． C． D．13．如圖，將三角形紙片的一角沿的垂直平分線翻折，折痕為，點B與點A重合，已知的周長是20，，則的周長是．14．如圖，在中，，分別以點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧分別交于點，作直線分別交于點，連接．若，則的度數(shù)為°．15．如圖，在中，是的垂直平分線，，，則的長是．16．如圖，是直線外一點，按以下步驟作圖：①以點為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交直線于點，；②分別以點、點為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點；③作直線交于點．若，，則四邊形的面積為．17．如圖，在中，垂直平分，交于點F，交于點E，，垂足為D，且，連接．(1)求證：；(2)若，求的周長．【題型三：線段垂直平分線的作圖及應(yīng)用】18．如圖，在中，進(jìn)行以下操作：①分別以點A，B為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點D，E；②作直線交邊于點O，交于點H；③連接．已知，周長為16，則的周長為（

）A．6 B．8 C．10 D．1219．如圖，在中，分別以點A，C為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，過點M，N作直線，直線與，分別相交于點E，D，連接．若，的周長為，則的長為（

）A． B． C． D．20．如圖，在中，，分別以點A，B為圓心，5為半徑畫弧，兩弧分別交于點M，N，直線交于點D，連接，則的周長為．21．如圖，已知，為射線上一點，請用尺規(guī)作圖法，在內(nèi)部求作一點，使是一個等腰三角形，且．（保留作圖痕跡，不寫作法）22．?dāng)?shù)學(xué)課上，老師布置如下任務(wù)：如圖，在中，平分交于點．(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：作線段的垂直平分線，分別交，，于點，，，連接；（不寫作法，不下結(jié)論，保留清晰的作圖痕跡）(2)求證：，請根據(jù)下列證明思路完成填空：證明：∵，∴．∵是線段的垂直平分線，∴，，∴（）∴在和△BFO中，∴．∴∴．【題型四：角平分線的性質(zhì)】23．如圖，一個加油站恰好位于兩條公路，所夾角的平分線上，若加油站到公路的距離是，則它到公路的距離是（

）A． B． C． D．24．如圖，在中，是它的角平分線，是它的中線，，，，則長為（

）A． B． C． D．25．如圖，已知中，，平分，且．若，則點到邊的距離為（

）A．2 B．3 C．6 D．926．如圖，在中，，，平分，于，，則的面積為（

）A． B． C． D．27．如圖，在中，，平分交于，于，點在上，點在上，，平分，下列結(jié)論中正確的個數(shù)（）；平分；；．A．個 B．個 C．個 D．個28．如圖，的外角和的平分線相交于點，點到的距離為．若，，則四邊形的面積為．29．如圖，在中，，且，，為的角平分線，交于點E，交于點F，若的面積為7，則圖中陰影部分四邊形的面積為．30．如圖，在中，是邊上的高，平分，交于點E，已知，，，則的面積等于．31．如圖1是一個平分角的儀器，其中，．(1)如圖2，將儀器放置在上，使點O與頂點A重合，D，E分別在邊，上，沿畫一條射線，交于點P．試證明儀器畫出的是的平分線．(2)如圖3，在（1）的條件下，過點P作于點Q，若，，的面積是18，求的長．32．如圖，直線，平分，過點作交于點；動點、同時從點出發(fā)，其中動點以的速度沿射線方向運動，動點以的速度沿直線上運動；已知，設(shè)動點，的運動時間為．(1)若，試求動點的運動時間的值；(2)試問當(dāng)動點，在運動過程中，是否存在某個時間，使得與全等？若存在，請求出時間的值；若不存在，請說出理由．33．中，，射線交射線于，過作垂直射線于點E，點在射線上，．(1)如圖1，若是的角平分線，求證：；(2)如圖2，若射線平分的外角，且點在射線上，則線段、和的數(shù)量關(guān)系是______；(3)如圖3，在（2）的條件下，把沿翻折至處，若，，，直接寫出的面積．【題型五：角平分線的尺規(guī)作圖及應(yīng)用】34．圖中可以看出小明用尺規(guī)作的平分線的作圖痕跡，已知小明的作圖是正確的，下列推斷不一定成立的是（

）A．B．C．D．若連接，則35．如圖，在中，，以點A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫圓弧，分別交于點M、N，再分別以點M、N為圓心，大于的長為半徑畫圓弧，兩弧交于點P，作射線交邊于點D，點E在邊上，連結(jié)，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．B．連結(jié)，根據(jù)可判定C．D．的最小值是的長36．如圖，在中，以點為圓心，適當(dāng)長度為半徑作弧，與交于點，，分別以點為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點，作射線交于點．以點為圓心，長為半徑作弧，與交于點，連結(jié)，交于點，若，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．37．已知，求作：的平分線，甲、乙、丙三位同學(xué)的方案如圖所示，則正確的方案是（

）甲①利用直尺和三角板畫；②在上截取；③作射線，即為所求．乙①利用圓規(guī)截取，；②連接，，相交于點；③作射線，即為所求．丙①在上取點，利用圓規(guī)截取；②過，作；③作射線，即為所求．A．只有甲、乙正確 B．只有甲、丙正確C．只有乙、丙正確 D．甲、乙、丙都正確38．如圖，直線，點在直線上，以點為圓心畫弧，交直線于、兩點，交于點，再分別以、兩點為圓心，相同長為半徑畫弧，兩弧交于點，延長交于點，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．39．如圖，在中，，以點為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交于點M，點，再分別以為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，射線與交于點D，，垂足為．若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．440．如圖，在中，，按以下步驟作圖：①以點為圓心，以小于長為半徑作弧，分別交，于點，；②分別以，為圓心，以大于的長為半徑作弧，在內(nèi)兩弧交于點；③作射線，交于點．若的長為2，則點到的最短距離為．41．如圖，在垂線上求作一點P，使點P到射線和的距離相等．（要求用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不必寫作法和證明過程）42．如圖，是的角平分線，E是上一點，且(1)用無刻度的直尺和圓規(guī)作的平分線；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)若（1）中所作的角平分線交于F，當(dāng)時，求證：【題型六：最短路徑問題】43．昆明市打算在某條街道新建一所中學(xué)，為了方便居民區(qū)A、B的學(xué)生上學(xué)，要使A、B兩小區(qū)到學(xué)校的距離之和最小，則學(xué)校C的位置應(yīng)該在（

）A． B．C． D．44．如圖，和兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋（假定河的兩岸是平行直線，橋要與河岸垂直），使從點到的路徑最短的是（

）A． B．C． D．45．如圖，在中，已知，，的垂直平分線交于點，交于點，為直線上一點，連結(jié)，則的周長最小值是．46．如圖，等腰三角形的底邊長為10，面積是60，腰的垂直平分線分別交，邊于E，F(xiàn)點．若點為邊的中點，點為線段上一動點，則周長的最小值為．47．“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩人李顧《古從軍行》里的一句詩，由此卻引申出一系列非常有趣的數(shù)學(xué)問題，通常稱為“將軍飲馬”問題．(1)如圖．直線是一條輸氣管道，，是管道同側(cè)的兩個村莊，現(xiàn)計劃在直線上修建一個供生站，向兩村莊供應(yīng)天然氣．在下面四種方案中，鋪設(shè)管道最短的是（）A.B.C.

D.(2)如圖，草地邊緣與小河河岸在點處形成夾角，牧馬人從地出發(fā)，先讓馬到草地吃草，然后再去河邊飲水，最后回到地．請在圖中設(shè)計一條路線，使其所走的路徑最短，并說明理由．48．如圖，已知的三個頂點的坐標(biāo)分別為，，．(1)若關(guān)于O點中心對稱，試作出對稱后的，并寫出點的坐標(biāo)_____；(2)在y軸上找一點M，使最小，在圖中標(biāo)出點M；(3)計算四邊形的面積．49．【提出問題】唐朝詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——將軍飲馬．如圖1，將軍從山腳下的點出發(fā)，到達(dá)河岸點飲馬后再回到點宿營，他時常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？【解決問題】（1）標(biāo)出【提出問題】中點的位置（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）如圖2，為了說明點的位置即為所求，某學(xué)習(xí)小組經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)，在直線上另外取點，連接，說明即可；【類比探究】（3）如圖2，將軍牽馬從軍營處出發(fā)，到河流飲馬，再到草地吃草，最后回到處，試分別在邊和上各找一點、，使得走過的路程最短．（保留畫圖痕跡，輔助線用虛線，最短路徑用實線）50．教材呈現(xiàn)：以下是華師版八年級上冊數(shù)學(xué)教材第94頁的部分內(nèi)容．線段垂直平分線我們已經(jīng)知道線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是線段的對稱軸，如圖1，直線是線段的垂直平分線，P是上任一點，連結(jié)．將線段沿直線對折，我們發(fā)現(xiàn)與完全重合．由此即有：線段垂直平分線的性質(zhì)定理線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等．已知：如圖1，，垂足為點C、，點P是直線上的任意一點．求證：．圖中有兩個直角三角形和，只要證明這兩個三角形全等，便可證得．請根據(jù)所給教材內(nèi)容，結(jié)合圖①，寫出“線段垂直平分線的性質(zhì)定理”完整的證明過程．定理應(yīng)用：（1）如圖②，在中，的垂直平分線分別交于點D、E，垂足分別為M，N，，直接寫出的周長為__________．（2）如圖③，在中，，，E、P分別是上任意一點，若，的面積為30，直接寫出的最小值是__________．51．在如圖所示的四個圖形中，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，能判斷射線平分的是（

）A．①② B．①③ C．①④ D．①③④52．如圖，在中，的平分線交于點于D，如果，且三角形的面積，那么的長為（

）A． B． C． D．無法確定53．如圖，在中，，面積是12，的垂直平分線分別交邊于點E，F(xiàn)．若點D為中點，點P為線段上一動點，則周長的最小值（

）A．8 B．3 C．6 D．454．如圖，在中，，于點D，點E在上，連接交于點F，若，過A作，交的延長線于點G，交的延長線于點H．若的面積為14，且，則的值為．55．如圖，在面積為12的中，，，于點，直線垂直平分交于點，交于點，為直線上一動點，則周長的最小值為．56．如圖，在中，為的中點，交的平分線于，于，交延長線于.(1)求證：.(2)猜想、、的數(shù)量有什么關(guān)系？并證明你的猜想；(3)若，，則________.57．已知是的平分線，P是射線上一點，點C，D分別在射線上，連接．(1)如圖①，當(dāng)，時，與的數(shù)量關(guān)系是______；(2)如圖②，點C，D分別在射線上運動，且．當(dāng)時，與在（1）問中的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？請說明理由．58．下面是小明設(shè)計的“過直線外一點作這條直線平行線”的尺規(guī)作圖過程：已知：如圖1，直線及直線外一點．求作：直線，使得．作法：如圖2，①在直線上取一點，連接．②作的平分線．③以點為圓心長為半徑畫弧，交射線于點．④作直線．直線就是所求作的直線．上述的方法是通過判定得到的，其中判定的依據(jù)是（）A．同位角相等，兩直線平行 B．兩直線平行，同位角相等C．內(nèi)錯角相等，兩直線平行 D．兩直線平行，內(nèi)錯角相等59．如圖，直線，點A在直線上，以點A為圓心，適當(dāng)長度為半徑畫弧，分別交直線、于B、C兩點，以點C為圓心，長為半徑畫弧，與前弧交于點D（不與點B重合），連接，其中交于點E．若；則①；②；③；④；⑤沿折疊，與重合．其中正確的有（）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個60．校園的一角如圖所示，其中線段，，表示圍墻，圍墻內(nèi)是學(xué)生的一個活動區(qū)域，小明想在圖中的活動區(qū)域內(nèi)找到一點P，使得點P到三面圍墻的距離都相等，那么這個點P的位置是（）A．線段、的交點B．、角平分線的交點C．線段、垂直平分線的交點D．線段、垂直平分線的交點61．快遞員小明每天從快遞點P騎電動三輪車到A，B，C三個小區(qū)投送快遞．每個小區(qū)經(jīng)過且只經(jīng)過一次，最后返回快遞點P．P，A，B，C之間的距離（單位：km）如圖所示．（1）若小明按照P→B→A→C→P的路線騎行，則小明騎行的距離為km；（2）小明騎行的最短距離為km．62．學(xué)習(xí)角平分線性質(zhì)的過程中，首先要探究角平分線的作圖方法，請閱讀下列材料，回答問題：已知：，求作：的平分線．作法：Ⅰ以點O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交于點M，交于點Ⅱ分別以點M，N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點Ⅲ畫射線，則射線即為所求．(1)如圖1，射線就是的角平分線的依據(jù)是______．A．SAS

B．ASA

C．SSS

D．(2)下面是小明同學(xué)給出的方法：如圖2，以點O為圓心，以任意長為半徑畫弧與分別交于點C，D，再以任意長為半徑畫弧與分別交于點E，F(xiàn)，連結(jié)交于點P，畫射線，則平分你認(rèn)為小明的這種作角平分線的方法______．A．正確

B．不正確(3)在不限于尺規(guī)作圖的條件下，小穎同學(xué)用三角板按下面方法畫角平分線：如圖3，在已知的邊上分別取，再分別過點C，D作的垂線，兩垂線相交于點P，畫射線，則平分請你幫這位同學(xué)證明：平分63．【綜合實踐】根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)：小江和小南在做物理實驗時發(fā)現(xiàn)：當(dāng)光發(fā)生反射時，反射光線與平面鏡的夾角總是等于入射光線與平面鏡的夾角．于是，他們想進(jìn)一步探究轉(zhuǎn)動的平面鏡對光線反射的影響．如圖1，點O為水平放置的平面鏡上一點，將一塊三角板的直角頂點擺放在O處，滿足斜邊，．現(xiàn)有一束光線經(jīng)平面鏡反射后沿射出，當(dāng)光發(fā)生反射時，總是等于．若使光線從與重合處開始繞著點O以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t秒．【探究1】當(dāng)時，請用無刻度的直尺和圓規(guī)在圖2中畫出此時入射光線和反射光線所在位置；【探究2】當(dāng)，且時，求出滿足條件的t的值；【探究3】若在光線開始轉(zhuǎn)動的同時，平面鏡也繞點O以每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時，請直接寫出和之間的數(shù)量關(guān)系．64．如圖1是光的反射示意圖，點處有一個光源，入射光線經(jīng)過鏡面反射后，恰好經(jīng)過點，點叫入射點，已知反射角等于入射角，法線．(1)若，則______．(2)如圖2，在空心圓柱口放置一面平面鏡，與水平線的夾角，入射光線經(jīng)平面鏡反射后反射光線為（點，，，，，，在同一豎直平面內(nèi)），若要使反射光線恰好垂直于圓柱底面射出，則入射光線與水平線的夾角的度數(shù)為______．(3)如圖3，點處有一個光源，入射光線經(jīng)過鏡面反射后，恰好經(jīng)過點，請用無刻度直尺和圓規(guī)作出入射點，并畫出光線（不寫作法，保留作圖痕跡，用鉛筆加黑加粗）(4)某臺球桌為如圖4所示的長方形，，小球從沿角擊出，恰好經(jīng)過5次碰撞后到達(dá)處．則______．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案1．B【分析】本題主要考查了線段的垂直平分線的定義和判定定理，根據(jù)線段的垂直平分線的定義和判定定理：到線段的兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上，即可判斷．【詳解】解：①不是的中點，則不平分線段，故錯誤；②直線經(jīng)過線段的中點，且垂直于則是線段的垂直平分線，故錯誤；③若，直線l經(jīng)過點P且垂直于線段，則l是線段的垂直平分線，故正確；④經(jīng)過線段的中點P且與垂直的直線l是線段的垂直平分線，故正確．故選：B．2．C【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，熟練掌握以上知識點是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定等知識點進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：直線經(jīng)過線段的中點，點在直線上，且，，平分，垂直平分線段，故正確，條件不足，無法求出的度數(shù)，故錯誤；故選：C．3．A【分析】本題考查線段垂直平分線的判定，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用線段垂直平分線的判定定理解答問題．根據(jù)，可知直線是線段的垂直平分線，由與交于點，從而可以得到的長，本題得以解決．【詳解】解：∵，∴點，點在線段的垂直平分線上，∴直線是線段的垂直平分線，∵與交于點，∴，∵，∴，故選：A．4．A【分析】本題考查軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握圖形軸對稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由軸對稱的性質(zhì)可知，即可求解．【詳解】解：∵與關(guān)于直線對稱，，∵由軸對稱的性質(zhì)，可知直線的交點一定在上，∴A選項符合題意；P為上任一點，，∴是等腰三角形，∴B選項不符合題意；，∴與面積相等，∴C選項不符合題意；，∴垂直平分，∴D選項不符合題意；故選：A．5．見解析【分析】本題考查線段垂直平分線的判定，掌握該知識點是解題的關(guān)鍵．由“到線段兩端點距離相等的點在該線段垂直平分線上”，可判斷是的垂直平分線，即可解得．【詳解】證明：∵，，∴點A、C在的垂直平分線上，∴是的垂直平分線，∴．6．(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握三角形全等的判定定理是解題關(guān)鍵．（1）由平行線的性質(zhì)可得出，再根據(jù)點E是的中點，即得出，由對頂角相等得出，即證明，得出；（2）由，得出．根據(jù)題意又易證，結(jié)合，可證，即得出，即，從而可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵，即，∴．∵點E是的中點，∴．又∵，∴，∴；（2）證明：∵，∴．∵，∴，∴．又∵，∴，∴，即．∴垂直平分．7．(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法．（1）用證明即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出，，說明點、在線段的垂直平分線上，即可證明結(jié)論．【詳解】（1）證明：是的角平分線，，，分別是和的高，，在和中，，；（2）證明：，，，點、在線段的垂直平分線上，垂直平分．8．(1)證明過程見詳解(2)【分析】本題主要考查垂直平分線的判定和性質(zhì)，三線合一等知識，掌握以上知識是關(guān)鍵．（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，結(jié)合題意得到，即是等腰三角形，由“三線合一”得到，由此即可求解；（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，則，所以有，由此即可求解．【詳解】（1）證明：∵垂直平分，∴，∴，即是等腰三角形，∵點是中點，∴，∴是線段的垂直平分線；（2）解：∵垂直平分，是線段的垂直平分線，∴，∵，∴，∴．9．C【分析】該題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出，即可求解．【詳解】解：∵垂直平分，∴，∴，故選：C．10．C【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段垂直平分線的任一點到線段兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．由題中折疊可知，為線段的垂直平分線，可得到，即可求解．【詳解】解：由題中折疊可知，為線段的垂直平分線，，故C正確，符合題意，其余選項均不能證明，不符合題意，故選：C．11．B【分析】本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵．也考查了平行線的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)．利用基本作圖得到垂直平分，則根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得到，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得到．【詳解】解：由作法得垂直平分，，，∵，∴，∵，．故選：B．12．D【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，結(jié)合的周長，得出，即可得解．【詳解】解：∵是的垂直平分線，，∵是的垂直平分線，，∵的周長，，，，故選：D．13．32【分析】本題考查了垂直平分線性質(zhì)，根據(jù)垂直平分線性質(zhì)得到，再結(jié)合求解，即可解題．【詳解】解：為的垂直平分線，，，，則；故答案為：．14．30【分析】本題考查作圖－基本作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊對等角等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．利用三角形內(nèi)角和定理求出，再求出，可得結(jié)論．【詳解】解：根據(jù)題意可知，垂直平分線的，，，，，，故答案為：30．15．4【分析】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)．線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等．由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，根據(jù)求出的長即可．【詳解】解：∵是邊的垂直平分線，∴，∵，，∴，∴．故答案為：4．16．12【分析】本題考查線段垂直平分線的尺規(guī)作圖性質(zhì)以及對角線垂直的四邊形面積計算，解題關(guān)鍵是依據(jù)作圖步驟明確線段關(guān)系，運用對應(yīng)面積公式求解．先依據(jù)作圖步驟得出，垂直平分，進(jìn)而得到的長度，再推導(dǎo)出對角線垂直的四邊形面積公式對角線之積，計算出結(jié)果．【詳解】解：由作圖步驟可知：步驟①中，以點為圓心作弧交直線于、，∴．步驟②中，分別以、為圓心，大于長為半徑作弧相交于，∴直線是線段的垂直平分線，∴，．∴．∵四邊形的對角線與互相垂直，．故答案為：12．17．(1)見解析(2)32【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)與判定，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)，且，可得垂直平分，則，根據(jù)垂直平分，可得，據(jù)此可證明；（2）根據(jù)線段垂直平分線的定義得到，根據(jù)，得到，再根據(jù)三角形周長計算公式和線段之間的關(guān)系可得的周長．【詳解】（1）證明：∵，垂足為D，且，∴垂直平分，∴，∵垂直平分，交于點F，交于點E，∴，∴；（2）解：∵垂直平分，交于點F，交于點E，∴．∵，∴．由（1）得，∴的周長．18．D【分析】本題考查了線段垂直平分線的作法和性質(zhì)，先根據(jù)作圖得出垂直平分，然后根據(jù)線段平分線的性質(zhì)得出，，結(jié)合周長為16可求出，然后結(jié)合即可求解．【詳解】解：由作圖知：垂直平分，∴，，∵周長為16，∴，即，∴，又，∴的周長為，故選D．19．B【分析】本題考查了基本作圖—作線段垂直平分線，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由作圖可得：垂直平分，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出，根據(jù)的周長為，，求出，即可由求解．【詳解】解：由作圖可得：垂直平分，∴，∵的周長為，即，∵，∴，∴．故選：B．20．14【分析】本題考查基本作圖-作線段垂直平分線，線段的垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息．利用線段的垂直平分線的性質(zhì)證明，可得結(jié)論．【詳解】解：由作圖可知垂直平分線段，∴，∴的周長．故答案為：14．21．作圖見解析【分析】本題考查基本尺規(guī)作圖-作中垂線、作角平分線等，根據(jù)是一個等腰三角形，且，得到，從而確定先作的角平分線，保證，再作線段垂直平分線交于的角平分線，即可得到答案，讀懂題意，掌握基本尺規(guī)作圖-作中垂線、作角平分線是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖所示：點即為所求．（作法不唯一）22．(1)見解析(2)平分；；；平角的定義【分析】本題考查了基本作圖——作垂直平分線，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟記全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)線段垂直平分線的作法作圖即可；（2）證明得出，進(jìn)而即可得到結(jié)論【詳解】（1）解：所求圖形，如圖所示：（2）證明：∵平分，∴．∵是線段的垂直平分線，∴，，∴（平角的定義）∴在和中，∴．∴∴．23．C【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)的應(yīng)用，能夠熟練運用角平分線上的點到角的兩邊距離相等是解題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵加油站恰好位于兩條公路，所夾角的平分線上，且加油站到公路的距離是，∴加油站到公路和公路的距離是相等的，即它到公路的距離是．故選：C．24．C【分析】本題主要考查角平分線的性質(zhì)定理，掌握角平分線的性質(zhì)定理，等高的三角形面積的計算方法是關(guān)鍵．如圖，過點作于，于，，，，由中點得到，根據(jù)即可求解．【詳解】解：如圖，過點作于，于，平分，，，，，，，，是的中線，，，∴，故選：C．25．C【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，線段的和差．先根據(jù)題意求出，再利用角平分線上的點到兩邊的距離相等，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，設(shè)，則，∴，∵，∴，∴，∴，過點D作于E，∵平分，，∴，∴點D到邊的距離是．故選：C．26．A【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等，熟練掌握該知識點是解答本題的關(guān)鍵．過點作于，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，然后利用三角形面積公式，利用進(jìn)行計算即可．【詳解】解：如圖，過點作于，平分，，，，，，．故選：A．27．D【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)逐一判斷即可，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，∵平分交于，，∴，故正確；如圖，過作于點，∵平分，，∴，∵，∴，∴點在角平分線上，∴平分，故正確；∵平分，平分，∴，，∵，∴，，∴，，∴，∵，∴，故正確；由上得，，∴，，∴，∴，故正確，綜上可知，正確，共個正確，故選：．28．【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)及三角形面積公式，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．如圖，過點作于，于，于，連接，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，根據(jù)，結(jié)合三角形面積公式即可得答案．【詳解】解：如圖，過點作于，于，于，連接，∵的外角和的平分線相交于點，點到的距離為，∴，，∴，∴，∵，，∴．故答案為：29．【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，三角形面積計算，設(shè)，則有，，過點E作于點G，即可得到，然后根據(jù)可得，然后可得，則，根據(jù)，得到；同理可得，可證明，則，即可得到．【詳解】解：設(shè)，則，∴，∵，∴，過點E作于點G，過點F分別作的垂線，垂足分別為M、N，∵平分，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴；同理可得，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：．30．8【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．過點作于點，先根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得，再根據(jù)三角形的面積公式計算即可得．【詳解】解：如圖，過點作于點，∵在中，是邊上的高，∴，又∵平分，，，∴，∵，∴的面積等于，故答案為：8．31．(1)見解析(2)【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)證明，得出，即可得證；（2）過點P作于點G，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，然后根據(jù)等面積法求解即可．【詳解】（1）證明：在和中，，．，即，平分．（2）解：如圖，過點P作于點G．平分，，．且，，，，．32．(1)動點的運動時間或；(2)或時，與全等．【分析】本題是三角形綜合題，考查等腰直角三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)建方程解決問題．（1）作，則，根據(jù)可得的值，分別用表示，即可求得的值，即可解題；（2）當(dāng)點在點上方時，易得時，，分別用表示，即可求得的值；當(dāng)點在點下方時，進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：作，，則，，，當(dāng)點在點左側(cè)時，∴,即，解得：；當(dāng)點在點右側(cè)時，，∴，解得，綜上動點的運動時間或；（2）當(dāng)點在點上方時，，，∴當(dāng)時，，即或，解得：或（舍去），當(dāng)點在點下方時，，∴，，∴；答：或時，與全等．33．(1)見解析(2)(3)18【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，折疊的性質(zhì)，角平分線的定義，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵。（1）由角平分線的定義得到，證明得到，再證明，從而有，則可得結(jié)論成立；（2）由角平分線的定義得到，證明，得到，再證明，從而有，則可得；（3）由全等三角形的性質(zhì)得到，，，設(shè)，則，根據(jù)建立方程求出，由折疊的性質(zhì)可得，則.【詳解】（1）證明：∵是的角平分線，∴，∵，∴，又∵，∴，∴在與中，，∴，∴，∴；即；（2）解：∵是的角平分線，∴，∵，∴，又∵，∴，∴在與中，，∴，∴，∴；即；（3）解：∵，∴，，∵，∴，設(shè)，則，∵，∴，∴，解得，∴，由折疊的性質(zhì)可得，∴.34．C【分析】本題考查了作角平分線，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握基本作圖是解題的關(guān)鍵．根據(jù)基本作圖可知，，根據(jù)證明，即可得出，從而判斷A、B、D不符合題意，C符合題意．【詳解】解：根據(jù)作圖可得，，故A，B不符合題意；∵，，，∴，∴，故D不符合題意；而不一定成立，故C符合題意．故選：C．35．B【分析】本題考查作圖—基本作圖、全等三角形的判定、角平分線的性質(zhì)，由作圖過程可得，，可得，即可判斷A，B選項；由作圖過程可知，射線為的平分線，可得，即可判斷C選項；由題意知，當(dāng)時，取得最小值，此時結(jié)合角平分線的性質(zhì)可得，即的最小值是的長，即可判斷D選項．【詳解】解：連接，，由作圖過程可得，，∵，∴，∴根據(jù)可判定，故A選項正確，不符合題意，B選項不正確，符合題意；由作圖過程可知，射線為的平分線，∴，故C選項正確，不符合題意；由題意知，當(dāng)時，取得最小值，∵為的平分線，，∴此時，即的最小值是的長，故D選項正確，不符合題意．故選：B．36．B【分析】本題主要考查了角平分線的作法和性質(zhì)，等線段的作法和性質(zhì)，等邊對等角，三角形的內(nèi)角和定理等內(nèi)容，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上性質(zhì)和作法．根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的性質(zhì)得出，，最后利用三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：由尺規(guī)作圖可知平分，，，，，故選：B．37．A【分析】本題考查了尺規(guī)作角平分線，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵．甲：根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)等邊對等角得到，則，由此即可求解；乙：根據(jù)題意可證，得，證明，得，再證明，得，即可求解；丙：條件不足，不能證明，得不到是的平分線，即可求解．【詳解】解：甲：∵，∴，∵，∴，∴，∴是的平分線，故甲的方案正確；乙：∵，，∴，∴，∴，即，又，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴是的平分線，故乙的方案正確；丙：∵，∴，∵，∴，不能證明，得不到是的平分線，故丙的方案不正確；綜上所述，只有甲、乙正確，故選：A．38．B【分析】本題考查了形的性質(zhì)（等邊對等角）以及平行線的性質(zhì)（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．解題的關(guān)鍵在于通過作圖條件挖掘出線段相等關(guān)系，進(jìn)而得到角的關(guān)系，再結(jié)合平行線性質(zhì)逐步求出所求角的度數(shù)．本題主要涉及平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．通過作圖條件得出相關(guān)線段相等，進(jìn)而得到角的關(guān)系，再結(jié)合平行線的性質(zhì)求出所求角的度數(shù)．【詳解】解：∴作圖可知，BE平分∠BOC，OA=OB，∴．∠OAB=∠OBA，∵，∴∵∴．∠BOC=∠ABO=44°∴∴答案是B．39．B【分析】本題考查了作角的平分線，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．由作圖可得是的角平分線，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：由作圖可得，是的角平分線，∵，，∴，∵，∴．故選B．40．2【分析】本題考查了作角平分線，角平分線的性質(zhì)，垂線段最短，熟練掌握基本作圖以及角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．過點作于點，可知點到的最短距離為，根據(jù)作圖可得為的角平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：過點作于點，點到的最短距離為，根據(jù)作圖可知為的角平分線，∵∴，故答案為：2．41．見解析【分析】本題考查尺規(guī)作圖：作角的平分線；角平分線的性質(zhì)；理解角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．作的平分線，交直線于點P，即為所求．【詳解】解：如圖，點P即為所求．42．(1)見解析(2)見解析【分析】（1）利用基本作圖作的平分線即可；（2）根據(jù)角平分線的定義得到，再由，可得，由等腰三角形的性質(zhì)可得，最后根據(jù)平行線的判定可得結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖，射線即為所作；（2）證明：分別平分，，，，，，，．【點睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：作角平發(fā)線，角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)及平行線的判定，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的作法，角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)及平行線的判定．43．C【分析】本題考查了最短路徑，先作點A關(guān)于街道的對稱點，再連接，與街道的所在直線的交點即為點，此時，滿足A、B兩小區(qū)到學(xué)校的距離之和最小，即可作答．【詳解】解：∵要使A、B兩小區(qū)到學(xué)校的距離之和最小，∴先作點A關(guān)于街道的對稱點，再連接，與街道的所在直線的交點即為點，學(xué)校C的位置如圖所示：∴此時，故選：C．44．D【分析】本題考查了兩點之間線段最短，掌握最短路徑的計算方法是解題的關(guān)鍵．求的最小值，因為是定值，則當(dāng)?shù)闹底钚r即可，將線段沿著方向，平移得到，當(dāng)點重合時，點三點共線，此時的值最小，由此即可求解．【詳解】解：從點到的路徑為的值，∵是定值，∴當(dāng)?shù)闹底钚r，從點到的路徑最短，如圖所示，將線段沿著方向，平移得到，點與點重合，當(dāng)時，點三點共線，，∴由兩點之間線段最短得，的值最小，故選：D．45．13【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、軸對稱、最短路線問題等知識，將周長的最小值轉(zhuǎn)化為是解題的關(guān)鍵．連接，由是的垂直平分線，得，則，由兩點之間線段最短可知的最小值為，即可得出答案．【詳解】解：連接，是的垂直平分線，，，點、、三點在一條直線上時，的最小，最小值為，最小值為，此時點與點重合，周長的最小值為，故答案為：13．46．17【分析】本題考查的是軸對稱一最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．連接，，由于是等腰三角形，點是邊的中點，故，再根據(jù)三角形的面積公式求出的長，再再根據(jù)是線段的垂直平分線可知，點B關(guān)于直線的對稱點為點，故的長為的最小值，由此即可得出結(jié)論．【詳解】連接，，∵是等腰三角形，點是邊的中點，∴，解得∵是線段的垂直平分線，∴點B關(guān)于直線EF的對稱點為點，∴的長為的最小值，∴的周長最短．故答案為：17．47．(1)(2)最短路徑如圖，理由見詳解【分析】本題主要考查了軸對稱的最短路線問題，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．（1）作點關(guān)于直線的對稱點，連接，根據(jù)軸對稱和垂直平分線的性質(zhì)可得正確選項．（2）作點關(guān)于直線和的對稱點和，連接和，連接，分別交直線和于點和，連接和，根據(jù)軸對稱和垂直平分線的性質(zhì)可得最短路徑．【詳解】（1）解：∵作點關(guān)于直線的對稱點，連接，故直線是的垂直平分線，∴，∴，∴鋪設(shè)管道最短的是選項，故選：．（2）解：作點關(guān)于直線和的對稱點和，連接和，連接，分別交直線和于點和，連接和，如圖：根據(jù)對稱的性質(zhì)可得直線和分別是和的垂直平分線，∴，∴，根據(jù)兩點之間線段最短，即可得出路徑最短為．48．(1)詳見解析，(2)詳見解析(3)【分析】（1）分別作出A，B，C的對應(yīng)點，，即可．（2）作點A關(guān)于y軸的對稱點，連接交y軸于M，從而解決問題．（3）利用分割法求解即可．本題主要考查了作圖-軸對稱變換，軸對稱-最短路線問題，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）如圖所示，為所求．（2）如圖，點M即為所作，（3）如圖，49．（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析．【分析】本題主要考查了軸對稱最短路徑問題，正確畫出圖形是解題關(guān)鍵．（1）作點關(guān)于直線的對稱點連接交于點，點即為所求；（2）先由軸對稱的性質(zhì)得到，，則，再由兩點之間線段最短即可證明結(jié)論；（3）分別作點關(guān)于，的對稱點、，連接分別交，于、，則路線即為所求.【詳解】解：（1）如圖所示，點C即為所求，；（2）直線是點、的對稱軸，點、在上，，，，在中，，；（3）如圖所示，，，則，根據(jù)兩點之間線段最短可得路線即為所求．50．教材呈現(xiàn)：證明見解析；定理應(yīng)用：（1）30；（2）．【分析】教材呈現(xiàn)：證明即可得證；（1）利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出，，然后根據(jù)三角形的周長和線段的和差關(guān)系即可求解；（2）在上取點F，使，過點B作于H，證明得出，證明得出，則，故當(dāng)B、P、F三點共線，且時，最小，最小值為，然后根據(jù)三角形面積求出即可．【詳解】證明：在和中，∴，∴；定理應(yīng)用：（1）解：∵、的垂直平分線分別交于點、，∴，∴，∵，∴，即的周長為20．故答案為：30；（2）解：在上取點F，使，過點B作于H，在和中，∴，∴，，在和中，∴，∴，∴，當(dāng)B、P、F三點共線，且時，最小，最小值為，∵，的面積為30，∴，∴，∴的最小值為．故答案為：．51．D【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，解決問題的關(guān)鍵是理解作法、掌握角平分線的定義．利用基本作圖對四個圖形的作法進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：②的痕跡是作的垂直平分線交于點D，連接，不能得到是的角平分線；①的痕跡是作的平分線；③④均可通過證三角形全等得是的平分線．故選D．52．B【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，三角形面積計算，作交于點E，作交于點F，連接，證明，再利用即可求出的長度．【詳解】解：作交于點E，作交于點F，連接，∵平分，平分，∴，∵，即，∴．故選：B．53．A【分析】本題考查了軸對稱—最短路線問題，等腰三角形的性質(zhì)，連接，，由，點是邊的中點，則，再根據(jù)三角形的面積公式求出的長，再再根據(jù)是線段的垂直平分線可知，點關(guān)于直線的對稱點為點，當(dāng)三點共線時，即的長為的最小值，由此即可得出結(jié)論，熟練掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接，，∵，點是邊的中點，∴，∴，∴，∵是線段的垂直平分線，∴點關(guān)于直線的對稱點為點，∴當(dāng)三點共線時，即的長為的最小值，∴的周長最短，故選：．54．【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊對等角等等，先證明，再由等邊對等角得到，則由三角形外角的性質(zhì)可推出，據(jù)此證明得到，根據(jù)三角形面積計算公式推出，據(jù)此利用完全平方公式的變形求解即可．【詳解】解：，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，又∵∴，∴，∵的面積為14，∴，即，∴，∵，∴，∵，∴，故答案為：．55．8【分析】本題主要考查軸對稱-最短問題、線段的垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識點，正確作出輔助線、靈活運用相關(guān)知識成為解答本題的關(guān)鍵．如圖，連接．利用三角形的面積公式求出，由垂直平分，推出，推出，推出，即可得解．【詳解】解：如圖，連接，，，∵的面積為12，，，∵垂直平分，，∵為直線上一動點，，，，∴周長的最小值為8．故答案為：8．56．(1)見解析(2)，見解析(3)2【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)．（1）連接、，先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)的性質(zhì)得，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得，然后根據(jù)證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）證明得，再結(jié)合（1）的結(jié)論，得；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論得，再根據(jù)可得答案.【詳解】（1）證明：如圖，連接、，∵，D為中點，∴，∵，，且平分，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：，證明如下：在和中，，∴，∴，由（1）知，∴．即；（3）解：由（2）知，∵，，∴，∴，∴，故答案為：2．57．(1)(2)成立，理由見解析【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理即可作出判斷；（2）過點P作于E，于F，如圖，可得，根據(jù)補角的性質(zhì)得出，證明，進(jìn)而得到結(jié)論．【詳解】（1）解：是的平分線，；故答案為：；（2）解：成立，理由如下：如圖，過點P作于E，于F，，∵是的平分線，，，，，在和中，．58．C【分析】本題考查了尺規(guī)作角平分線，尺規(guī)作已知直線的平行線，平行線的性質(zhì)，等邊對等角的知識，掌握以上知識，數(shù)形結(jié)合分析是關(guān)鍵．