2025年高考數(shù)學(xué)立體幾何空間幾何應(yīng)用模擬試卷考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3）到平面α：x+2y+z-6=0的距離為（）A.1B.2C.3D.42.已知直線(xiàn)l：x=1與平面α：x+y+z=1相交于點(diǎn)P，那么點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離為（）A.1B.2C.√2D.√33.若直線(xiàn)l：x+y=1與平面α：x-y+z=2相交于點(diǎn)Q，且點(diǎn)Q到原點(diǎn)的距離為√2，那么直線(xiàn)l與平面α所成的角為（）A.30°B.45°C.60°D.90°4.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3）到直線(xiàn)l：x-1=y-2=z-3的垂線(xiàn)距離為（）A.1B.√2C.√3D.25.已知平面α：x+y+z=1與平面β：2x-y+z=0所成的二面角為θ，那么cosθ的值為（）A.1/3B.1/√3C.2/3D.√2/36.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3）到平面α：x+2y+z=6的距離為（）A.1B.2C.3D.47.已知直線(xiàn)l：x=1與平面α：x+y+z=1相交于點(diǎn)P，那么點(diǎn)P到平面α的距離為（）A.1B.2C.√2D.√38.若直線(xiàn)l：x+y=1與平面α：x-y+z=2相交于點(diǎn)Q，且點(diǎn)Q到原點(diǎn)的距離為√3，那么直線(xiàn)l與平面α所成的角為（）A.30°B.45°C.60°D.90°9.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3）到直線(xiàn)l：x-1=y-2=z-3的垂線(xiàn)距離為（）A.1B.√2C.√3D.210.已知平面α：x+y+z=1與平面β：2x-y+z=0所成的二面角為θ，那么sinθ的值為（）A.1/3B.1/√3C.2/3D.√2/3二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分。請(qǐng)將答案填在答題卡相應(yīng)位置。）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3）到平面α：2x-y+z=4的距離為_(kāi)_______。2.已知直線(xiàn)l：x=1與平面α：x+y+z=1相交于點(diǎn)P，那么點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離為_(kāi)_______。3.若直線(xiàn)l：x+y=1與平面α：x-y+z=2相交于點(diǎn)Q，且點(diǎn)Q到原點(diǎn)的距離為√3，那么直線(xiàn)l與平面α所成的角為_(kāi)_______。4.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3）到直線(xiàn)l：x-1=y-2=z-3的垂線(xiàn)距離為_(kāi)_______。5.已知平面α：x+y+z=1與平面β：2x-y+z=0所成的二面角為θ，那么cosθ的值為_(kāi)_______。（接下來(lái)是第三、第四題）三、解答題（本大題共5小題，每小題10分，共50分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）1.已知空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)。求證四邊形EFGH是平行四邊形。證明：首先，連接對(duì)角線(xiàn)AC和BD，交于點(diǎn)O。由于E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理，EF平行于AC，且EF等于AC的一半；GH平行于AC，且GH等于AC的一半。同理，F(xiàn)G平行于BD，且FG等于BD的一半；EH平行于BD，且EH等于BD的一半。因此，EF平行于GH，且EF等于GH；FG平行于EH，且FG等于EH。根據(jù)平行四邊形的定義，四邊形EFGH是平行四邊形。2.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，2，3），點(diǎn)B（3，2，1），點(diǎn)C（2，1，3）。求平面ABC的方程。解：首先，求向量AB和向量AC。向量AB等于（3-1，2-2，1-3）等于（2，0，-2）；向量AC等于（2-1，1-2，3-3）等于（1，-1，0）。然后，求向量AB和向量AC的叉積，即平面ABC的一個(gè)法向量。向量AB叉積向量AC等于（0，-2，-2）叉積（-1，0，1）等于（-2，4，2）。因此，平面ABC的方程為-2(x-1)+4(y-2)+2(z-3)=0，即x-2y-z=0。3.已知直線(xiàn)l：x-1=y-2=z-3與平面α：x+y+z=1相交于點(diǎn)P。求點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離。解：首先，將直線(xiàn)l的參數(shù)方程寫(xiě)出來(lái)，即x=1+t，y=2+t，z=3+t。然后，將直線(xiàn)l的參數(shù)方程代入平面α的方程，得到1+t+2+t+3+t=1，即3t=1-6，解得t=-5/3。將t=-5/3代入直線(xiàn)l的參數(shù)方程，得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2/3，1/3，4/3）。接下來(lái)，求點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離。直線(xiàn)l的方向向量為（1，1，1），點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離等于點(diǎn)P到直線(xiàn)l的方向向量的投影的長(zhǎng)度。點(diǎn)P到直線(xiàn)l的方向向量的投影等于向量OP在向量l的方向向量上的投影，即（-2/3，1/3，4/3）在（1，1，1）上的投影。向量OP在向量l的方向向量上的投影等于（-2/3，1/3，4/3）點(diǎn)乘（1，1，1）除以（1，1，1）的模長(zhǎng)，即（-2/3，1/3，4/3）點(diǎn)乘（1，1，1）除以√3，等于（-2/3+1/3+4/3）/√3，等于1/√3。因此，點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離為1/√3。4.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，2，3），點(diǎn)B（3，2，1），點(diǎn)C（2，1，3）。求四面體ABC的體積。解：首先，求向量AB和向量AC。向量AB等于（3-1，2-2，1-3）等于（2，0，-2）；向量AC等于（2-1，1-2，3-3）等于（1，-1，0）。然后，求向量AB和向量AC的叉積，即平面ABC的一個(gè)法向量。向量AB叉積向量AC等于（0，-2，-2）叉積（-1，0，1）等于（-2，4，2）。因此，平面ABC的面積等于向量AB叉積向量AC的模長(zhǎng)的一半，即√((-2)^2+4^2+2^2)/2，等于√24/2，等于√6。接下來(lái)，求點(diǎn)A到平面ABC的距離。點(diǎn)A到平面ABC的距離等于向量AP在平面ABC的法向量上的投影的長(zhǎng)度。向量AP等于（1-1，2-2，3-3）等于（0，0，0），因此點(diǎn)A到平面ABC的距離為0。因此，四面體ABC的體積等于1/3×底面積×高，即1/3×√6×0，等于0。5.已知平面α：x+y+z=1與平面β：2x-y+z=0所成的二面角為θ。求cosθ的值。解：首先，求平面α和平面β的法向量。平面α的法向量為（1，1，1）；平面β的法向量為（2，-1，1）。然后，求平面α和平面β的法向量的夾角余弦值。平面α和平面β的法向量的夾角余弦值等于平面α的法向量和平面β的法向量的點(diǎn)乘除以?xún)蓚€(gè)法向量的模長(zhǎng)的乘積，即（1，1，1）點(diǎn)乘（2，-1，1）除以√(1^2+1^2+1^2)×√(2^2+(-1)^2+1^2)，等于（1×2+1×(-1)+1×1）/√3×√6，等于2/√18，等于√2/3。因此，cosθ的值為√2/3。四、證明題（本大題共1小題，共15分。證明題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）1.已知空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)。求證四邊形EFGH是平行四邊形。證明：首先，連接對(duì)角線(xiàn)AC和BD，交于點(diǎn)O。由于E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理，EF平行于AC，且EF等于AC的一半；GH平行于AC，且GH等于AC的一半。同理，F(xiàn)G平行于BD，且FG等于BD的一半；EH平行于BD，且EH等于BD的一半。因此，EF平行于GH，且EF等于GH；FG平行于EH，且FG等于EH。根據(jù)平行四邊形的定義，四邊形EFGH是平行四邊形。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.答案：C解析：根據(jù)點(diǎn)到平面的距離公式，點(diǎn)A（1，2，3）到平面α：x+2y+z-6=0的距離為d=|1*1+2*2+3*1-6|/√(1^2+2^2+1^2)=|1+4+3-6|/√6=2/√6=√6/3。所以選C。2.答案：A解析：直線(xiàn)l：x=1與平面α：x+y+z=1相交于點(diǎn)P，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0，0）。點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離就是點(diǎn)P到直線(xiàn)x=1的距離，即y軸上的坐標(biāo)的絕對(duì)值，為0。所以選A。3.答案：B解析：直線(xiàn)l：x+y=1與平面α：x-y+z=2相交于點(diǎn)Q，點(diǎn)Q的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組x+y=1，x-y+z=2。解得z=2-2x。點(diǎn)Q到原點(diǎn)的距離為√(x^2+y^2+z^2)=√(x^2+(1-x)^2+(2-2x)^2)=√(6x^2-6x+5)。由題意，√(6x^2-6x+5)=√2，解得x=1/2或x=1/2。代入z=2-2x，得z=1或z=0。所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1/2,1/2,1)或(1/2,1/2,0)。直線(xiàn)l與平面α所成的角即為直線(xiàn)l與點(diǎn)Q到平面α的垂線(xiàn)所成的角。點(diǎn)Q到平面α的垂線(xiàn)方向向量為平面α的法向量(1,-1,1)，直線(xiàn)l的方向向量為(-1,1,0)。兩向量的夾角余弦值為(-1)*1+1*(-1)+0*1/√((-1)^2+1^2+0^2)×√(1^2+(-1)^2+1^2)=-2/√3×√3=-2。所以?shī)A角為arccos(-2)，但角度必須在0到90度之間，所以實(shí)際夾角為90-arccos(2/√3)=45度。所以選B。4.答案：C解析：點(diǎn)A（1，2，3）到直線(xiàn)l：x-1=y-2=z-3的垂線(xiàn)距離，即點(diǎn)A到直線(xiàn)l的距離。直線(xiàn)l的方向向量為(1，1，1)，點(diǎn)A到直線(xiàn)l的距離等于向量AP在直線(xiàn)l的方向向量上的投影的長(zhǎng)度。向量AP等于(1-1，2-2，3-3)等于(0，0，0)，因此點(diǎn)A到直線(xiàn)l的距離為0。所以選C。5.答案：D解析：平面α：x+y+z=1與平面β：2x-y+z=0所成的二面角θ的余弦值等于兩平面法向量的夾角余弦值。平面α的法向量為(1，1，1)，平面β的法向量為(2，-1，1)。兩法向量的點(diǎn)乘為1*2+1*(-1)+1*1=2-1+1=2。兩法向量的模長(zhǎng)分別為√(1^2+1^2+1^2)=√3和√(2^2+(-1)^2+1^2)=√6。所以cosθ=2/(√3×√6)=2/√18=√2/3。所以選D。6.答案：B解析：根據(jù)點(diǎn)到平面的距離公式，點(diǎn)A（1，2，3）到平面α：x+2y+z=6的距離為d=|1*1+2*2+3*1-6|/√(1^2+2^2+1^2)=|1+4+3-6|/√6=2/√6=√6/3。所以選B。7.答案：A解析：直線(xiàn)l：x=1與平面α：x+y+z=1相交于點(diǎn)P，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0，0）。點(diǎn)P到平面α的距離就是點(diǎn)P到平面x+y+z=1的距離，即1+0+0-1=0。所以選A。8.答案：C解析：直線(xiàn)l：x+y=1與平面α：x-y+z=2相交于點(diǎn)Q，點(diǎn)Q的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組x+y=1，x-y+z=2。解得z=2-2x。點(diǎn)Q到原點(diǎn)的距離為√(x^2+y^2+z^2)=√(x^2+(1-x)^2+(2-2x)^2)=√(6x^2-6x+5)。由題意，√(6x^2-6x+5)=√3，解得x=1/2或x=1/2。代入z=2-2x，得z=1或z=0。所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1/2,1/2,1)或(1/2,1/2,0)。直線(xiàn)l與平面α所成的角即為直線(xiàn)l與點(diǎn)Q到平面α的垂線(xiàn)所成的角。點(diǎn)Q到平面α的垂線(xiàn)方向向量為平面α的法向量(1,-1,1)，直線(xiàn)l的方向向量為(1,1,0)。兩向量的夾角余弦值為1*1+1*(-1)+0*1/√(1^2+1^2+0^2)×√(1^2+(-1)^2+1^2)=0/√2×√3=0。所以?shī)A角為90度。所以選C。9.答案：C解析：點(diǎn)A（1，2，3）到直線(xiàn)l：x-1=y-2=z-3的垂線(xiàn)距離，即點(diǎn)A到直線(xiàn)l的距離。直線(xiàn)l的方向向量為(1，1，1)，點(diǎn)A到直線(xiàn)l的距離等于向量AP在直線(xiàn)l的方向向量上的投影的長(zhǎng)度。向量AP等于(1-1，2-2，3-3)等于(0，0，0)，因此點(diǎn)A到直線(xiàn)l的距離為0。所以選C。10.答案：D解析：平面α：x+y+z=1與平面β：2x-y+z=0所成的二面角θ的正弦值等于兩平面法向量的夾角正弦值。平面α的法向量為(1，1，1)，平面β的法向量為(2，-1，1)。兩法向量的點(diǎn)乘為1*2+1*(-1)+1*1=2-1+1=2。兩法向量的模長(zhǎng)分別為√(1^2+1^2+1^2)=√3和√(2^2+(-1)^2+1^2)=√6。所以sinθ=√(1-cos^2θ)=√(1-(2/(√3×√6))^2)=√(1-(2/√18)^2)=√(1-(2/√18)^2)=√(1-(1/9))=√(8/9)=2√2/3。所以選D。二、填空題答案及解析1.答案：√6/3解析：根據(jù)點(diǎn)到平面的距離公式，點(diǎn)A（1，2，3）到平面α：2x-y+z=4的距離為d=|2*1-1*2+1*3-4|/√(2^2+(-1)^2+1^2)=|2-2+3-4|/√6=|-1|/√6=1/√6=√6/6。所以填√6/6。2.答案：0解析：直線(xiàn)l：x=1與平面α：x+y+z=1相交于點(diǎn)P，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0，0）。點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離就是點(diǎn)P到直線(xiàn)x=1的距離，即y軸上的坐標(biāo)的絕對(duì)值，為0。所以填0。3.答案：45°解析：直線(xiàn)l：x+y=1與平面α：x-y+z=2相交于點(diǎn)Q，點(diǎn)Q的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組x+y=1，x-y+z=2。解得z=2-2x。點(diǎn)Q到原點(diǎn)的距離為√(x^2+y^2+z^2)=√(x^2+(1-x)^2+(2-2x)^2)=√(6x^2-6x+5)。由題意，√(6x^2-6x+5)=√3，解得x=1/2或x=1/2。代入z=2-2x，得z=1或z=0。所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1/2,1/2,1)或(1/2,1/2,0)。直線(xiàn)l與平面α所成的角即為直線(xiàn)l與點(diǎn)Q到平面α的垂線(xiàn)所成的角。點(diǎn)Q到平面α的垂線(xiàn)方向向量為平面α的法向量(1,-1,1)，直線(xiàn)l的方向向量為(1,1,0)。兩向量的夾角余弦值為1*1+1*(-1)+0*1/√(1^2+1^2+0^2)×√(1^2+(-1)^2+1^2)=0/√2×√3=0。所以?shī)A角為90度。所以填45°。4.答案：√6/3解析：點(diǎn)A（1，2，3）到直線(xiàn)l：x-1=y-2=z-3的垂線(xiàn)距離，即點(diǎn)A到直線(xiàn)l的距離。直線(xiàn)l的方向向量為(1，1，1)，點(diǎn)A到直線(xiàn)l的距離等于向量AP在直線(xiàn)l的方向向量上的投影的長(zhǎng)度。向量AP等于(1-1，2-2，3-3)等于(0，0，0)，因此點(diǎn)A到直線(xiàn)l的距離為0。所以填√6/3。5.答案：√2/3解析：平面α：x+y+z=1與平面β：2x-y+z=0所成的二面角θ的余弦值等于兩平面法向量的夾角余弦值。平面α的法向量為(1，1，1)，平面β的法向量為(2，-1，1)。兩法向量的點(diǎn)乘為1*2+1*(-1)+1*1=2-1+1=2。兩法向量的模長(zhǎng)分別為√(1^2+1^2+1^2)=√3和√(2^2+(-1)^2+1^2)=√6。所以cosθ=2/(√3×√6)=2/√18=√2/3。所以填√2/3。三、解答題答案及解析1.證明：首先，連接對(duì)角線(xiàn)AC和BD，交于點(diǎn)O。由于E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理，EF平行于AC，且EF等于AC的一半；GH平行于AC，且GH等于AC的一半。同理，F(xiàn)G平行于BD，且FG等于BD的一半；EH平行于BD，且EH等于BD的一半。因此，EF平行于GH，且EF等于GH；FG平行于EH，且FG等于EH。根據(jù)平行四邊形的定義，四邊形EFGH是平行四邊形。2.解：首先，求向量AB和向量AC。向量AB等于（3-1，2-2，1-3）等于（2，0，-2）；向量AC等于（2-1，1-2，3-3）等于（1，-1，0）。然后，求向量AB和向量AC的叉積，即平面ABC的一個(gè)法向量。向量AB叉積向量AC等于（0，-2，-2）叉積（-1，0，1）等于（-2，4，2）。因此，平面ABC的方程為-2(x-1)+4(y-2)+2(z-3)=0，即x-2y-z=0。3.解：首先，將直線(xiàn)l的參數(shù)方程寫(xiě)出來(lái)，即x=1+t，y=2+t，z=3+t。然后，將直線(xiàn)l的參數(shù)方程代入平面α的方程，得到1+t+2+t+3+t=1，即3t=1-6，解得t=-5/3。將t=-5/3代入直線(xiàn)l的參數(shù)方程，得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2/3，1/3，4/3）。接下來(lái)，求點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離。直線(xiàn)l的方向向量為（1，1，1），點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離等于點(diǎn)P到直線(xiàn)l的