1.3函數(shù)的基本性質(zhì)1.3.1單調(diào)性與最大(小)值第1課時(shí)函數(shù)的單調(diào)性1.函數(shù)單調(diào)性的定義函數(shù)的定義域?yàn)镮,如果對于定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D上任意兩個(gè)自變量的值x1,x2必備知識(shí)·自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思1.增函數(shù)是什么?減函數(shù)是什么?2.如何表示函數(shù)的單調(diào)區(qū)間?3.函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間有什么關(guān)系?函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)圖示

條件x1<x2都有___________都有___________結(jié)論f(x)在D上是增函數(shù)f(x)在D上是減函數(shù)f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)【思考】在函數(shù)單調(diào)性的定義中,能否去掉“任意”?提示:不能,不能用特殊代替一般.2.函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù),則函數(shù)在區(qū)間D上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,區(qū)間D叫函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【思考】區(qū)間D一定是函數(shù)的定義域嗎?提示:不一定,可能是定義域的一個(gè)子區(qū)間,單調(diào)性是局部概念,不是整體概念.【基礎(chǔ)小測】1.辨析記憶(對的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)函數(shù)f(x)=2x2,若f(-1)<f(2),則函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù). (

)(2)函數(shù)f(x)=在(-∞,0)∪(0,+∞)上是減函數(shù). (

)(3)任何函數(shù)f(x)一定有嚴(yán)格的單調(diào)性.

(

)提示:(1)×.函數(shù)f(x)=2x2在(0,+∞)上是增函數(shù).(2)×.函數(shù)f(x)=的減區(qū)間為(-∞,0),(0,+∞),不能用“∪”表示.(3)×.常數(shù)函數(shù)不具有嚴(yán)格的單調(diào)性.2.(教材二次開發(fā):例題改編)函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,其增區(qū)間是(

)

A.[-4,4] B.[-4,-3]∪[1,4]C.[-3,1] D.[-3,4]【解析】選C.觀察函數(shù)的圖象,自左向右,函數(shù)圖象上升的區(qū)間為[-3,1],即增區(qū)間為[-3,1].3.若f(x)在R上是增函數(shù),且f(x1)>f(x2),則x1,x2的大小關(guān)系為________.

【解析】因?yàn)閒(x)在R上是增函數(shù),且f(x1)>f(x2),所以x1>x2.答案:x1>x2關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象)【題組訓(xùn)練】1.如圖是函數(shù)y=f(x)的圖象,則此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間的個(gè)數(shù)是 (

)

A.1 B.2 C.3 D.42.下列函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上不是增函數(shù)的是 (

)A.y=2x+1 B.y=x2+1C.y=3-x D.y=x2+2x+13.如圖是定義在區(qū)間[-2,2]上的函數(shù)y=f(x),則f(x)的減區(qū)間是________.

4.函數(shù)f(x)=x|x|-2x的單調(diào)增區(qū)間為________.

【解析】1.選B.由圖象,可知函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間有2個(gè).故選B.2.選C.結(jié)合函數(shù)的圖象(略)函數(shù)y=2x+1在區(qū)間(0,+∞)上為增函數(shù);函數(shù)y=x2+1在區(qū)間(0,+∞)上為增函數(shù);函數(shù)y=3-x在區(qū)間(0,+∞)上為減函數(shù);函數(shù)y=x2+2x+1在區(qū)間(0,+∞)上為增函數(shù).所以選C.3.由圖象可以看出f(x)的減區(qū)間是[-1,1].答案:[-1,1]4.當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2-2x,對稱軸為x=1,開口向上,根據(jù)圖象(畫圖略)知在(1,+∞)上遞增,當(dāng)x<0時(shí),f(x)=-x2-2x,對稱軸為x=-1,開口向下,根據(jù)圖象(畫圖略)知在(-∞,-1)上遞增,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,-1)和(1,+∞).答案:(-∞,-1)和(1,+∞)【解題策略】圖象法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟(1)作圖:作出函數(shù)的圖象.(2)結(jié)論:上升圖象對應(yīng)單調(diào)遞增區(qū)間,下降圖象對應(yīng)單調(diào)遞減區(qū)間.【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.函數(shù)f(x)=-x2+2x+3的單調(diào)減區(qū)間是(

)A.(-∞,1) B.(1,+∞)C.(-∞,2) D.(2,+∞)【解析】選B.易知函數(shù)f(x)=-x2+2x+3是圖象開口向下的二次函數(shù),其對稱軸為x=1,所以其單調(diào)減區(qū)間是(1,+∞).2.函數(shù)f(x)=|x+2|的單調(diào)遞增區(qū)間是________.

【解析】f(x)=|x+2|=根據(jù)f(x)的圖象(畫圖象略)知,當(dāng)x≥-2時(shí),f(x)=x+2單調(diào)遞增,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[-2,+∞).答案:[-2,+∞)3.(2020·桂林高一檢測)畫出函數(shù)y=-x2+2|x|+1的圖象并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【解析】y=

即y=

函數(shù)的大致圖象如圖所示,單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1],[0,1],單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,0),(1,+∞).類型二利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)【典例】請用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)f(x)=x-在(0,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù).四步內(nèi)容理解題意用單調(diào)性的定義,證明函數(shù)f(x)=x-在(0,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù).思路探求在(0,+∞)上任取兩個(gè)不同的變量,然后再判斷它們相應(yīng)函數(shù)值的大小,進(jìn)而得出結(jié)論.四步內(nèi)容書寫表達(dá)在(0,+∞)內(nèi)任取x1,x2,令x1<x2,f(x1)-f(x2)==(x1-x2),①因?yàn)閤1<x2,所以x1-x2<0,因?yàn)閤1,x2∈(0,+∞),所以x1x2>0,所以1+>0,②所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)在(0,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù).四步內(nèi)容題后反思證明某區(qū)間上的增函數(shù)或減函數(shù),關(guān)鍵在于作差、變形以及判斷符號.【解題策略】1.利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟2.單調(diào)性的等價(jià)形式對于定義域內(nèi)的區(qū)間D上任意的x1,x2,且x1≠x2,若>0或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,則函數(shù)是增函數(shù);若<0或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,則函數(shù)是減函數(shù).【跟蹤訓(xùn)練】求證:函數(shù)f(x)=在(0,+∞)上是減函數(shù),在(-∞,0)上是增函數(shù).【證明】對于任意的x1,x2∈(-∞,0),且x1<x2,有f(x1)-f(x2)=

因?yàn)閤1<x2<0,所以x2-x1>0,x1+x2<0,>0.所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).所以函數(shù)f(x)=在(-∞,0)上是增函數(shù).對于任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,有f(x1)-f(x2)=.因?yàn)?<x1<x2,所以x2-x1>0,x2+x1>0,>0.所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).所以函數(shù)f(x)=在(0,+∞)上是減函數(shù).類型三函數(shù)單調(diào)性的簡單應(yīng)用(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)角度1利用單調(diào)性解不等式

【典例】已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-2,2],且f(x)在區(qū)間[-2,2]上是增函數(shù),f(1-m)<f(m),則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________.

【思路導(dǎo)引】從定義域,單調(diào)性兩個(gè)方面列不等式求范圍.【解析】因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)閇-2,2],所以-2≤1-m≤2,且-2≤m≤2,所以-1≤m≤2,因?yàn)閒(x)在區(qū)間[-2,2]上是增函數(shù),所以1-m<m,解得m>0.5,所以0.5<m≤2.答案:0.5<m≤2【變式探究】本例的條件若改為“減函數(shù)”,試求m的取值范圍.【解析】因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)閇-2,2],所以-2≤1-m≤2,且-2≤m≤2,所以-1≤m≤2,因?yàn)閒(x)在區(qū)間[-2,2]上是減函數(shù),所以1-m>m,解得m<0.5,所以-1≤m<0.5.角度2分段函數(shù)的單調(diào)性

【典例】若函數(shù)f(x)=在R上為增函數(shù),則實(shí)數(shù)b的取值范圍為 (

)A.[1,2] B.C.(1,2] D.【思路導(dǎo)引】利用x>0,x≤0時(shí)的函數(shù)解析式,分段求解b的范圍并注意分界點(diǎn)處.【解析】選A.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=在R上為增函數(shù),所以解得1≤b≤2.【解題策略】1.由函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍的類型及處理方法(1)由函數(shù)解析式求參數(shù).(2)利用抽象函數(shù)單調(diào)性求范圍.①依據(jù):定義在上的單調(diào)增(減)函數(shù)中函數(shù)值與自變量的關(guān)系?

②方法:依據(jù)函數(shù)單調(diào)性去掉符號“f”,轉(zhuǎn)化為不等式問題求解.2.分段函數(shù)的單調(diào)性首先分析每段上的單調(diào)性,其次是分界點(diǎn)處函數(shù)值的大小,如果是增函數(shù),則界點(diǎn)左側(cè)值小于等于右側(cè)值,如果是減函數(shù),則界點(diǎn)左側(cè)值大于等于右側(cè)值.【題組訓(xùn)練】1.函數(shù)f(x)=kx2+(3k-2)x-5在[1,+∞)上單調(diào)遞增,則k的取值范圍是(

)A.(0,+∞)

B.C.

D.2.若函數(shù)f(x)=在R上為增函數(shù),則實(shí)數(shù)k的取值范圍為 (

)A.

B.[0,4]

C.[4,+∞)

D.[1,8]3.若f(x)在R上是減函數(shù),則f(-1)________f(a2+1)(填“>”或“<”或“≥”或“≤”).

【解析】1.選D.當(dāng)k=0時(shí),f(x)=-2x-5在R上單調(diào)遞減,不符合題意,當(dāng)k≠0時(shí),因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=kx2+(3k-2)x-5在[1,+∞)上單調(diào)遞增,所以解得k≥,綜上所述:k的取值范圍是.2.選C.當(dāng)x≤3時(shí),f(x)=-x2+(2+k)x在(-∞,3]上為增函數(shù),所以≥3,即k≥4,當(dāng)x>3時(shí),f(x)=(2k-1)x+k在(3,+∞)上為增函數(shù),所以2k-1>0,即k>,又-32+(2+k)×3≤(2k-1)×3+k,所以k≥0,綜上可知:k≥4.3.因?yàn)閒(x)在R上是減函數(shù),所以對任意x1,x2,若x1<x2均有f(x1)>f(x2).又因?yàn)?1<a2+1,所以f(-1)>f(a2+1).答案:>【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.函數(shù)y=f(x)在R上為增函數(shù),且f(2m)>f(-m+9),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(

)A.(-∞,-3) B.(0,+∞)C.(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(3,+∞)【解析】選C.因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)在R上為增函數(shù),且f(2m)>f(-m