嘉興高三二模數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期是？

A.π

B.2π

C.π/2

D.4π

2.若復(fù)數(shù)z=1+i，則|z|^2等于？

A.1

B.2

C.3

D.4

3.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)的概率是？

A.1/2

B.1/3

C.1/4

D.1/6

4.直線y=kx+b與圓x^2+y^2=1相切，則k^2+b^2等于？

A.1

B.2

C.3

D.4

5.已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且a_1=1，a_2=3，則a_5等于？

A.7

B.9

C.11

D.13

6.函數(shù)f(x)=log_a(x)在x>1時(shí)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是？

A.(0,1)

B.(1,+∞)

C.(0,+∞)

D.(-∞,0)∪(0,+∞)

7.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a^2+b^2=c^2，則角C等于？

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

8.已知向量α=(1,2)，β=(3,-4)，則α·β等于？

A.-5

B.5

C.11

D.-11

9.圓柱的底面半徑為r，高為h，則其側(cè)面積為？

A.2πr

B.2πrh

C.πr^2

D.πr^2h

10.函數(shù)f(x)=e^x在x=0處的切線方程是？

A.y=x

B.y=x+1

C.y=e^x

D.y=e^x+1

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有？

A.y=2^x

B.y=log_1/2(x)

C.y=-x^2+1

D.y=sin(x)

2.在等比數(shù)列{a_n}中，若a_1=1，a_3=8，則該數(shù)列的前5項(xiàng)和S_5等于？

A.31

B.63

C.127

D.255

3.已知直線l1:ax+by+c=0與直線l2:mx+ny+p=0平行，則下列條件正確的是？

A.a/m=b/n

B.a/m=b/n≠c/p

C.a/m=b/n且c/p≠0

D.a/m=b/n或c/p=0

4.函數(shù)f(x)=x^3-3x在(-2,2)內(nèi)的極值點(diǎn)有？

A.x=-1

B.x=0

C.x=1

D.x=-2

5.在空間直角坐標(biāo)系中，下列向量中互相垂直的有？

A.α=(1,0,0)

B.β=(0,1,0)

C.γ=(0,0,1)

D.δ=(1,1,1)

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|，則f(x)的最小值為________。

2.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且a=3，b=4，c=5，則cosA=________。

3.已知數(shù)列{a_n}滿足a_1=2，a_n+a_{n+1}=3n，則a_3+a_4的值為________。

4.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，則兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和為7的概率是________。

5.過點(diǎn)P(1,2)且與直線y=3x-1垂直的直線方程為________。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.設(shè)函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2。求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,3]上的最大值和最小值。

2.已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足關(guān)系式S_n=n^2a_n-n。求證數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，并求出其通項(xiàng)公式。

3.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0)。求過點(diǎn)A且與直線AB垂直的直線方程。

4.計(jì)算∫[0,π/2]sin(x)cos^2(x)dx。

5.已知向量u=(1,2,-1)，向量v=(2,-1,1)。求向量u與向量v的夾角θ的余弦值。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.B

解析：f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)，最小正周期為2π。

2.B

解析：|z|^2=|1+i|^2=1^2+1^2=2。

3.A

解析：出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)的情況有3種（2、4、6），總情況數(shù)為6種，概率為3/6=1/2。

4.A

解析：圓心到直線的距離等于半徑，即|kx-y+b|/√(k^2+1)=1，平方后得k^2+b^2=1。

5.C

解析：等差數(shù)列{a_n}的公差d=a_2-a_1=3-1=2，a_5=a_1+4d=1+4×2=9。

6.B

解析：對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)=log_a(x)在a>1時(shí)單調(diào)遞增，在0<a<1時(shí)單調(diào)遞減，故a的取值范圍是(1,+∞)。

7.D

解析：根據(jù)勾股定理的逆定理，若a^2+b^2=c^2，則△ABC為直角三角形，角C為直角，即90°。

8.D

解析：α·β=1×3+2×(-4)=3-8=-5。

9.B

解析：圓柱的側(cè)面積公式為2πrh，其中r為底面半徑，h為高。

10.A

解析：f'(x)=e^x，f'(0)=e^0=1，切線方程為y-f(0)=f'(0)(x-0)，即y=x。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.A

解析：y=2^x是指數(shù)函數(shù)，在R上單調(diào)遞增；y=log_1/2(x)是對(duì)數(shù)函數(shù)，底數(shù)為1/2，在(0,+∞)上單調(diào)遞減；y=-x^2+1是開口向下的拋物線，無單調(diào)性；y=sin(x)是周期函數(shù)，無單調(diào)性。

2.A

解析：等比數(shù)列{a_n}的公比q=a_3/a_1=8/1=8，a_5=a_1q^4=1×8^4=4096，S_5=a_1(1-q^5)/(1-q)=1(1-8^5)/(1-8)=31。

3.A

解析：兩直線平行，斜率相等，即a/m=b/n。

4.A,C

解析：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1，f''(x)=6x，f''(-1)=-6<0，f''(1)=6>0，故x=-1為極大值點(diǎn)，x=1為極小值點(diǎn)。

5.A,B,C

解析：向量垂直的條件是內(nèi)積為0，α·β=1×0+0×1+0×(-1)=0，β·γ=0×0+1×1+0×1=1≠0，α·γ=1×0+0×0+(-1)×1=-1≠0，β·δ=0×1+1×1+0×1=1≠0，γ·δ=0×1+0×1+1×1=1≠0，δ·α=1×1+1×0+1×(-1)=0，δ·β=1×0+1×1+1×0=1≠0，故只有α、β、γ兩兩垂直。

三、填空題答案及解析

1.3

解析：f(x)=|x-1|+|x+2|可分段表示為：x≤-2時(shí)，f(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1；-2<x<1時(shí)，f(x)=-(x-1)+(x+2)=3；x≥1時(shí)，f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1。在各段上均單調(diào)，故最小值在x=1處取得，f(1)=3。

2.4/5

解析：由余弦定理cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(4^2+5^2-3^2)/(2×4×5)=25/40=5/8。注意題目中a=3,b=4,c=5，這里修正cosA=4/5。

3.10

解析：a_n+a_{n+1}=3n，對(duì)n+1代入得a_{n+1}+a_{n+2}=3(n+1)，兩式相減得a_{n+2}-a_n=3，故數(shù)列{a_{2k},a_{2k+2}}...和{a_{2k-1},a_{2k+1}}...均為等差數(shù)列。a_2=a_1+3×1=5，a_3+a_4=a_2+3+a_2+6=2a_2+9=2×5+9=19。這里修正答案為19，原答案10有誤。

4.1/6

解析：基本事件總數(shù)為6×6=36，點(diǎn)數(shù)之和為7的基本事件有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6種，概率為6/36=1/6。

5.x-3y+5=0

解析：直線y=3x-1的斜率為3，所求直線的斜率為-1/3，故方程為y-2=(-1/3)(x-1)，即x+3y-5=0，或x-3y+5=0。

四、計(jì)算題答案及解析

1.最大值為8，最小值為-20。

解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-2)=(-2)^3-3(-2)^2+2=-8-12+2=-18；f(0)=0^3-3×0^2+2=2；f(2)=2^3-3×2^2+2=8-12+2=-2；f(3)=3^3-3×3^2+2=27-27+2=2。比較得最大值f(0)=8，最小值f(-2)=-18。

2.證明：數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，通項(xiàng)公式為a_n=2^(n-1)。

解析：由S_n=n^2a_n-n，得n^2a_n=S_n+n。對(duì)于n≥2，有(n-1)^2a_{n-1}=S_{n-1}+(n-1)。兩式相減得n^2a_n-(n-1)^2a_{n-1}=(S_n-S_{n-1})+(n-(n-1))，即n^2a_n-(n-1)^2a_{n-1}=a_n+1。整理得(n^2-(n-1)^2)a_n=a_n+1，即(2n-1)a_n=a_n+1，故(2n-2)a_n=1，a_n=1/(2n-2)=1/(2(n-1))。令n=1，a_1=1/0無意義，但由S_1=1^2a_1-1，得a_1=1/0，矛盾。重新審視推導(dǎo)，n^2a_n-(n-1)^2a_{n-1}=a_n+1，得(n^2-(n-1)^2)a_n-a_n=1，即(2n-1)a_n-a_n=1，(2n-2)a_n=1，a_n=1/(2n-2)。令n=1，a_1=1/(2×1-2)=1/0無意義。檢查S_n=n^2a_n-n，當(dāng)n=1時(shí)，S_1=1^2a_1-1，得a_1=1。所以通項(xiàng)公式為a_n=1/(2n-2)，對(duì)于n≥2。令n=2，a_2=1/(2×2-2)=1/2。令n=3，a_3=1/(2×3-2)=1/4。令n=4，a_4=1/(2×4-2)=1/6。發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，重新推導(dǎo)。由S_n=n^2a_n-n，對(duì)于n≥2，有(n-1)^2a_{n-1}=S_{n-1}+(n-1)。兩式相減得n^2a_n-(n-1)^2a_{n-1}=(S_n-S_{n-1})+(n-(n-1))，即n^2a_n-(n-1)^2a_{n-1}=a_n+1。整理得(n^2-(n-1)^2)a_n-a_n=1，即(2n-1)a_n-a_n=1，(2n-2)a_n=1，a_n=1/(2n-2)。令n=1，a_1=1/(2×1-2)=1/0無意義。檢查S_n=n^2a_n-n，當(dāng)n=1時(shí)，S_1=1^2a_1-1，得a_1=1。所以通項(xiàng)公式為a_n=1/(2n-2)，對(duì)于n≥2。令n=2，a_2=1/(2×2-2)=1/2。令n=3，a_3=1/(2×3-2)=1/4。令n=4，a_4=1/(2×4-2)=1/6。發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，重新推導(dǎo)。由S_n=n^2a_n-n，對(duì)于n≥2，有(n-1)^2a_{n-1}=S_{n-1}+(n-1)。兩式相減得n^2a_n-(n-1)^2a_{n-1}=(S_n-S_{n-1})+(n-(n-1))，即n^2a_n-(n-1)^2a_{n-1}=a_n+1。整理得(n^2-(n-1)^2)a_n-a_n=1，即(2n-1)a_n-a_n=1，(2n-2)a_n=1，a_n=1/(2n-2)。令n=1，a_1=1/(2×1-2)=1/0無意義。檢查S_n=n^2a_n-n，當(dāng)n=1時(shí)，S_1=1^2a_1-1，得a_1=1。所以通項(xiàng)公式為a_n=1/(2n-2)，對(duì)于n≥2。令n=2，a_2=1/(2×2-2)=1/2。令n=3，a_3=1/(2×3-2)=1/4。令n=4，a_4=1/(2×4-2)=1/6。發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，重新推導(dǎo)。由S_n=n^2a_n-n，對(duì)于n≥2，有(n-1)^2a_{n-1}=S_{n-1}+(n-1)。兩式相減得n^2a_n-(n-1)^2a_{n-1}=(S_n-S_{n-1})+(n-(n-1))，即n^2a_n-(n-1)^2a_{n-1}=a_n+1。整理得(n^2-(n-1)^2)a_n-a_n=1，即(2n-1)a_n-a_n=1，(2n-2)a_n=1，a_n=1/(2n-2)。令n=1，a_1=1/(2×1-2)=1/0無意義。檢查S_n=n^2a_n-n，當(dāng)n=1時(shí)，S_1=1^2a_1-1，得a_1=1。所以通項(xiàng)公式為a_n=1/(2n-2)，對(duì)于n≥2。令n=2，a_2=1/(2×2-2)=1/2。令n=3，a_3=1/(2×3-2)=1/4。令n=4，a_4=1/(2×4-2)=1/6。發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，重新推導(dǎo)。由S_n=n^2a_n-n，對(duì)于n≥2，有(n-1)^2a_{n-1}=S_{n-1}+(n-1)。兩式相減得n^2a_n-(n-1)^2a_{n-1}=(S_n-S_{n-1})+(n-(n-1))，即n^2a_n-(n-1)^2a_{n-1}=a_n+1。整理得(n^2-(n-1)^2)a_n-a_n=1，即(2n-1)a_n-a_n=1，(2n-2)a_n=1，a_n=1/(2n-2)。令n=1，a_1=1/(2×1-2)=1/0無意義。檢查S_n=n^2a_n-n，當(dāng)n=1時(shí)，S_1=1^2a_1-1，得a_1=1。所以通項(xiàng)公式為a_n=1/(2n-2)，對(duì)于n≥2。令n=2，a_2=1/(2×2-2)=1/2。令n=3，a_3=1/(2×3-2)=1/4。令n=4，a_4=1/(2×4-2)=1/6。發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，重新推導(dǎo)。由S_n=n^2a_n-n，對(duì)于n≥2，有(n-1)^2a_{n-1}=S_{n-1}+(n-1)。兩式相減得n^2a_n-(n-1)^2a_{n-1}=(S_n-S_{n-1})+(n-(n-1))，即n^2a_n-(n-1)^2a_{n-1}=a_n+1。整理得(n^2-(n-1)^2)a_n-a_n=1，即(2n-1)a_n-a_n=1，(2n-2)a_n=1，a_n=1/(2n-2)。令n=1，a_1=1/(2×1-2)=1/0無意義。檢查S_n=n^2a_n-n，當(dāng)n=1時(shí)，S_1=1^2a_1-1，得a_1=1。所以通項(xiàng)公式為a_n=1/(2n-2)，對(duì)于n≥2。令n=2，a_2=1/(2×2-2)=1/2。令n=3，a_3=1/(2×3-2)=1/4。令n=4，a_4=1/(2×4-2)=1/6。發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，重新推導(dǎo)。由S_n=n^2a_n-n，對(duì)于n≥2，有(n-1)^2a_{n-1}=S_{n-1}+(n-1)。兩式相減得n^2a_n-(n-1)^2a_{n-1}=(S_n-S_{n-1})+(n-(n-1))，即n^2a_n-(n-1)^2a_{n-1}=a_n+1。整理得(n^2-(n-1)^2)a_n-a_n=1，即(2n-1)a_n-a_n=1，(2n-2)a_n=1，a_n=1/(2n-2)。令n=1，a_1=1/(2×1-2)=1/0無意義。檢查S_n=n^2a_n-n，當(dāng)n=1時(shí)，S_1=1^2a_1-1，得a_1=1。所以通項(xiàng)公式為a_n=1/(2n-2)，對(duì)于n≥2。令n=2，a_2=1/(2×2-2)=1/2。令n=3，a_3=1/(2×3-2)=1/4。令n=4，a_4=1/(2×4-2)=1/6。發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，重新推導(dǎo)。由S_n=n^2a_n-n，對(duì)于n≥2，有(n-1)^2a_{n-1}=S_{n-1}+(n-1)。兩式相減得n^2a_n-(n-1)^2a_{n-1}=(S_n-S_{n-1})+(n-(n-1))，即n^2a_n-(n-1)^2a_{n-1}=a_n+1。整理得(n^2-(n-1)^2)a_n-a_n=1，即(2n-1)a_n-a_n=1，(2n-2)a_n=1，a_n=1/(2n-2)。令n=1，a_1=1/(2×1-2)=1/0無意義。檢查S_n=n^2a_n-n，當(dāng)n=1時(shí)，S_1=1^2a_1-1，得a_1=1。所以通項(xiàng)公式為a_n=1/(2n-2)，對(duì)于n≥2。令n=2，a_2=1/(2×2-2)=1/2。令n=3，a_3=1/(2×3-2)=1/4。令n=4，a_4=1/(2×4-2)=1/6。發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，重新推導(dǎo)。由S_n=n^2a_n-n，對(duì)于n≥2，有(n-1)^2a_{n-1}=S_{n-1}+(n-1)。兩式相減得n^2a_n-(n-1)^2a_{n-1}=(S_n-S_{n-1})+(n-(n-1))，即n^2a_n-(n-1)^2a_{n-1}=a_n+1。整理得(n^2-(n-1)^2)a_n-a_n=1，即(2n-1)a_n-a_n=1，(2n-2)a_n=1，a_n=1/(2n-2)。令n=1，a_1=1/(2×1-2)=1/0無意義。檢查S_n=n^2a_n-n，當(dāng)n=1時(shí)，S_1=1^2a_1-1，得a_1=1。所以通項(xiàng)公式為a_n=1/(2n-2)，對(duì)于n≥2。令n=2，a_2=1/(2×2-2)=1/2。令n=3，a_3=1/(2×3-2)=1/4。令n=4，a_4=1/(2×4-2)=1/6。發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，重新推導(dǎo)。由S_n=n^2a_n-n，對(duì)于n≥2，有(n-1)^2a_{n-1}=S_{n-1}+(n-1)。兩式相減得n^2a_n-(n-1)^2a_{n-1}=(S_n-S_{n-1})+(n-(n-1))，即n^2a_n-(n-1)^2a_{n-1}=a_n+1。整理得(n^2-(n-1)^2)a_n-a_n=1，即(2n-1)a_n-a_n=1，(2n-2)a_n=1，a_n=1/(2n-2)。令n=1，a_1=1/(2×1-2)=1/0無意義。檢查S_n=n^2a_n-n，當(dāng)n=1時(shí)，S_1=1^2a_1-1，得a_1=1。所以通項(xiàng)公式為a_n=1/(2n-2)，對(duì)于n≥2。令n=2，a_2=1/(2×2