甘肅省白銀市多校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期7月期末檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)，，，則（

）A．3 B． C．4 D．2．（

）A． B． C． D．3．對(duì)于隨機(jī)事件，，若，，，則（

）A． B． C． D．4．已知，，若，則（

）A． B． C． D．5．已知向量，，且，則（

）A． B．2 C． D．36．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，，則（

）A． B． C． D．7．已知向量為單位向量，，且，則在方向上的投影向量的模為（

）A． B． C． D．8．現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)盒子，甲盒裝有2個(gè)白球、3個(gè)黑球，乙盒裝有3個(gè)白球、4個(gè)黑球，從甲、乙兩盒各拿出1個(gè)球，則這2個(gè)球顏色不同的概率為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知，，則（

）A． B．C．是銳角 D．10．某人拋擲一顆均勻的骰子兩次，事件表示“第一次擲出的點(diǎn)數(shù)是3”，事件表示“第二次擲出的點(diǎn)數(shù)是4”，事件表示“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是9”，事件表示“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是7"，則（

）A．事件與相互獨(dú)立 B．事件與相互獨(dú)立C．事件與相互獨(dú)立 D．事件與相互獨(dú)立11．在四棱錐中，平面，，，，，，則（

）A．四邊形外接圓的半徑為B．四邊形外接圓的半徑為C．四棱錐外接球的體積為D．四棱錐外接球的體積為三、填空題12．已知，則．13．已知復(fù)數(shù)，則.14．如圖，在中，，點(diǎn)，分別在邊，上，線段和的長(zhǎng)均不超過(guò)9，點(diǎn)在線段上，且平分，，則長(zhǎng)度的取值范圍是.四、解答題15．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，，為銳角，的面積為.(1)求；(2)求的周長(zhǎng).16．已知，.(1)求的值；(2)求的值.17．在梯形中，已知，，與交于點(diǎn).(1)用，表示，；(2)若，，，求與所成角的余弦值.18．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正四面體中，是的重心，是的中點(diǎn).延長(zhǎng)到，使得.(1)證明：平面.(2)證明：.(3)求直線與平面所成角的正弦值.19．甲、乙兩支籃球隊(duì)進(jìn)入某次決賽，比賽采用“主客場(chǎng)比賽制”，具體賽制如下：若某隊(duì)兩場(chǎng)比賽均獲勝或一勝一平，則獲得冠軍；若某隊(duì)兩場(chǎng)比賽均平局或一勝一負(fù)，則通過(guò)加時(shí)賽決出冠軍.現(xiàn)假定甲隊(duì)在主場(chǎng)獲勝的概率為，平局的概率為，其中；甲隊(duì)在客場(chǎng)獲勝和平局的概率均為；加時(shí)賽甲隊(duì)獲勝的概率為.不同對(duì)陣的結(jié)果相互獨(dú)立，假設(shè)甲隊(duì)先主場(chǎng)后客場(chǎng).(1)已知.（i）求甲隊(duì)通過(guò)加時(shí)賽獲得冠軍的概率；（ii）求甲隊(duì)獲得冠軍的概率.(2)除“主客場(chǎng)比賽制”外，也經(jīng)常采用在第三方場(chǎng)地的“單場(chǎng)比賽制”：若某隊(duì)比賽獲勝則獲得冠軍；若為平局，則通過(guò)加時(shí)賽決出冠軍.假定甲隊(duì)在第三方場(chǎng)地獲勝的概率為，平局的概率為，加時(shí)賽甲隊(duì)獲勝的概率為.問(wèn)哪種賽制更有利于甲隊(duì)奪冠？

題號(hào)12345678910答案BABCDCADACDABD題號(hào)11答案AC1．B根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算和復(fù)數(shù)相等的概念即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，解得，則.故選：B.2．A根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及二倍角公式求值.【詳解】因?yàn)?故選：A3．B根據(jù)概率加法公式代入求解即可.【詳解】已知，，，根據(jù)概率加法公式.故選：B.4．C根據(jù)向量的減法表示，進(jìn)而得到，再根據(jù)向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，解?故選：C5．D利用向量的坐標(biāo)進(jìn)行線性運(yùn)算和共線向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解參數(shù).【詳解】因?yàn)?，，所以，由，得，解?故選：D6．C根據(jù)二倍角公式和誘導(dǎo)公式得到，解得，由同角三角函數(shù)關(guān)系得到，由正弦定理得到方程，求出答案.【詳解】因?yàn)椋?因?yàn)?，所以，可得，解?因?yàn)?，，所?由正弦定理得，故，解得.故選：C7．A將向量等式兩邊平方后代入條件求得，再利用投影向量的定義計(jì)算即得.【詳解】由兩邊取平方，可得，因，，則，代入解得，故在方向上的投影向量的模為.故選：A.8．D從甲、乙兩個(gè)盒子各取一個(gè)球相互獨(dú)立，利用獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式即可求解.【詳解】從甲、乙兩盒各拿出1個(gè)球?qū)儆谙嗷オ?dú)立事件，所以這2個(gè)球顏色不同的概率為故選：D.9．ACD根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系判斷A的真假；利用二倍角的余弦公式求的值，判斷B的真假，根據(jù)的符號(hào)判斷C的真假；利用兩角和與差的正弦公式求判斷D的真假.【詳解】因?yàn)?，，所以，A正確.，所以為銳角，所以B錯(cuò)誤，C正確.，D正確.故選：ACD10．ABD根據(jù)給定條件，求出各事件的概率，再利用相互獨(dú)立事件的定義逐項(xiàng)判斷.【詳解】依題意，，事件包含，共4種情況；事件包含，共6種情況，對(duì)于A，，事件與相互獨(dú)立，A正確.對(duì)于B，，，事件與相互獨(dú)立，B正確；對(duì)于C，，，事件與不相互獨(dú)立，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，事件與相互獨(dú)立，D正確.故選：ABD11．AC連接，，設(shè)的中點(diǎn)為，過(guò)作直線平面，可得是四邊形的外接圓圓心，球心一定在直線上，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，可得，進(jìn)而利用余弦定理求得，利用正弦定理可求得四邊形外接圓的半徑，利用勾股定理求得外接球的半徑即可.【詳解】連接，，設(shè)的中點(diǎn)為，過(guò)作直線平面，因?yàn)?，所以是和的公共斜邊，即是四邊形的外接圓圓心，所以直線上的點(diǎn)到點(diǎn)，，，的距離相等，故球心一定在直線上，即平面，現(xiàn)在只要保證即可，即球心也在的垂直平分線上.設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則.因?yàn)?，所以，所以，則（為四邊形外接圓的半徑），即，故A正確，B錯(cuò)誤.因?yàn)槠矫妫矫?，所?又，所以四邊形為矩形，，所以該四棱錐外接球的半徑，故四棱錐外接球的體積，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC.12．【詳解】，.故答案為：.13．5利用向量點(diǎn)的四則運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，再求其模長(zhǎng)即可.【詳解】由可得，則，故.故答案為：5.14．由可得，從而化簡(jiǎn)可得到，令，利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)，，，由題意可得，且，因?yàn)?，所以，可得?因?yàn)?，，所以解得，所?令，因?yàn)楹瘮?shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，則.由余弦定理可得，故，即長(zhǎng)度的取值范圍是.故答案為：.15．(1)(2)8（1）利用三角形面積公式求得.（2）利用余弦定理求得即可得三角形周長(zhǎng).【詳解】（1）由，得，解得.（2）由（1）知，為銳角，得，又，，由余弦定理得，解得，所以的周長(zhǎng)為8.16．(1)(2)（1）根據(jù)兩角和差的正余弦公式，化簡(jiǎn)題目條件，根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系中的商數(shù)關(guān)系，求出結(jié)果；（2）根據(jù)二倍角的正弦公式，由弦化切，求出結(jié)果即可.【詳解】（1）因?yàn)?，，所?因?yàn)?，所?得.（2）由（1）知，因?yàn)?，所?17．(1)，(2)（1）利用向量的線性運(yùn)算，結(jié)合三點(diǎn)共線向量性質(zhì)，即可求解各向量；（2）利用向量積的運(yùn)算來(lái)求模長(zhǎng)和數(shù)量積，從而可求向量夾角的余弦值.【詳解】（1）因?yàn)樵谔菪沃?，已知，，則.由，得，由共線，得，所以得,所以.（2）因?yàn)?，，又，，，所?，.設(shè)與所成的角為，則.18．(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)（1）根據(jù)給定條件，利用線面平行的判定、面面平行的判定性質(zhì)推理得證.（2）利用全等三角形性質(zhì)推理得證.（3）求出PO長(zhǎng)，并利用（2）的結(jié)論，結(jié)合線面角的定義求解.【詳解】（1）連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，，由是的重心，得是的中點(diǎn)，而是的中點(diǎn)，則，由平面，平面，得平面，又是的中點(diǎn)，則，由平面，平面，得平面，而平面，，則平面平面，又平面，所以平面.（2）在正四面體中，，，則，而，因此，所以.（3）連接，，由是正三角形的重心，得平面，則直線與平面所成的角為，由正四面體的每條棱長(zhǎng)為2，得，則，又，，于是，由（2）知，在中，，，所以直線與平面所成角的正弦值為.19．(1)（i）；（ii）(2)“主客場(chǎng)比賽制”比第三方場(chǎng)地的“單場(chǎng)比賽制”更加有利于甲隊(duì)奪冠（1）（i）先分析出事件即甲隊(duì)通過(guò)加時(shí)賽獲得冠軍，包含甲隊(duì)主勝客負(fù)，主負(fù)客勝，主平客平三種情況，然后加時(shí)賽獲勝，得到的表達(dá)式，將代入計(jì)算即可；（ii）先分析出事件即甲隊(duì)獲得冠軍包含甲隊(duì)加時(shí)賽勝，主勝客勝，主勝客平，主平客勝四種情況，得到的表達(dá)式，將代入計(jì)算即可；（2）先分析出事件即在第三方場(chǎng)地的“單場(chǎng)比賽制”下甲隊(duì)獲勝包含甲隊(duì)勝，甲隊(duì)平且加時(shí)賽勝兩種情況，得到的表達(dá)式，分析出的取值范圍，借助的取值范圍得到，的大小關(guān)系即可知哪種賽制更有利于甲隊(duì)奪冠.【詳解】（1）（i）設(shè)甲隊(duì)通過(guò)加時(shí)賽獲得冠軍為事件，則事件包含甲隊(duì)主勝客負(fù)，