邯鄲二模2024數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值為（）

A.1

B.2

C.3

D.4

2.若集合A={x|x^2-3x+2=0},B={x|ax=1},且A∪B=A，則實(shí)數(shù)a的取值集合為（）

A.{1}

B.{1,2}

C.{1,-1}

D.{0,1}

3.不等式3x-7>2|x-1|的解集為（）

A.(-∞,-1)∪(3,+∞)

B.(-1,3)

C.(-∞,-1)

D.(3,+∞)

4.已知向量a=(1,2),b=(x,1)，若a∥b，則x的值為（）

A.2

B.-2

C.1/2

D.-1/2

5.函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期為（）

A.π

B.2π

C.π/2

D.4π

6.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，連續(xù)拋擲3次，則恰好出現(xiàn)兩次正面的概率為（）

A.1/8

B.3/8

C.1/4

D.1/2

7.已知等差數(shù)列{a_n}中，a_1=2,a_5=10，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）

A.a_n=2n

B.a_n=3n-1

C.a_n=4n-2

D.a_n=5n-3

8.圓x^2+y^2-4x+6y-3=0的圓心坐標(biāo)為（）

A.(2,-3)

B.(-2,3)

C.(2,3)

D.(-2,-3)

9.若復(fù)數(shù)z=1+i滿足z^2+az+b=0（a,b∈R），則a+b的值為（）

A.2

B.-2

C.0

D.-1

10.已知函數(shù)f(x)=e^x-x在區(qū)間(0,+∞)上的單調(diào)性為（）

A.單調(diào)遞增

B.單調(diào)遞減

C.先增后減

D.先減后增

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有（）

A.y=2x+1

B.y=x^2

C.y=1/x

D.y=log_2(x)

2.已知函數(shù)f(x)=|x-1|，則下列說(shuō)法正確的有（）

A.f(x)是偶函數(shù)

B.f(x)是奇函數(shù)

C.f(x)在x=1處取得最小值

D.f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增

3.下列不等式中，解集為(-∞,1)∪(3,+∞)的有（）

A.(x-1)(x-3)>0

B.(x-1)(x-3)<0

C.|x-2|>1

D.|x-2|<1

4.已知向量a=(3,4),b=(-1,2)，則下列說(shuō)法正確的有（）

A.|a|=5

B.a·b=-5

C.a與b的夾角為鈍角

D.a與b的夾角為銳角

5.下列命題中，正確的有（）

A.若a>b，則a^2>b^2

B.若a>b，則√a>√b

C.若a>b，則1/a<1/b

D.若a>b>0，則√a>√b

三、填空題（每題4分，共20分）

1.函數(shù)f(x)=sin(x-π/4)在區(qū)間[0,π]上的最大值為______。

2.已知集合A={x|x^2-5x+6=0},B={x|ax=1},且A∩B={3}，則實(shí)數(shù)a的值為______。

3.不等式|x|+|x-1|<2的解集為______。

4.已知向量a=(1,k),b=(2,3)，且a⊥b，則實(shí)數(shù)k的值為______。

5.在等比數(shù)列{a_n}中，a_1=1,a_4=16，則該數(shù)列的公比q為______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.解不等式|2x-1|>x+2。

2.已知函數(shù)f(x)=(x+1)/(x-1)，求f(2)+f(1/2)的值。

3.計(jì)算lim(x→∞)(3x^2-2x+1)/(x^2+4x-5)。

4.在△ABC中，已知角A=π/3，角B=π/4，邊a=√3，求邊b的長(zhǎng)度。

5.已知向量u=(3,-2)，向量v=(-1,4)，求向量u+v的坐標(biāo)，并計(jì)算向量u與向量v的夾角余弦值。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題（每題1分，共10分）

1.C

2.B

3.B

4.A

5.A

6.B

7.C

8.C

9.D

10.A

解題過程：

1.f(x)=|x-1|+|x+2|可以分段討論：

當(dāng)x≤-2時(shí)，f(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1

當(dāng)-2<x<1時(shí)，f(x)=-(x-1)+(x+2)=3

當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1

顯然，當(dāng)-2<x<1時(shí)，f(x)=3為最小值。

2.A∪B=A?B?A

A={1,2}

若B=?，則a=0滿足條件。

若B≠?，則a≠0，B={1/a}?{1,2}?1/a=1或1/a=2?a=1或a=1/2

綜上，a∈{0,1,1/2}。選項(xiàng)中只有B包含1。

3.3x-7>2|x-1|分兩種情況：

①x-1≥0(x≥1):3x-7>2(x-1)?3x-7>2x-2?x>5

②x-1<0(x<1):3x-7>-2(x-1)?3x-7>-2x+2?5x>9?x>9/5

解集為x>max(5,9/5)=5。即(-∞,5)

4.a∥b?a=λb(λ為非零實(shí)數(shù))?(1,2)=λ(x,1)?1=λx,2=λ

由2=λ?λ=2

代入1=λx?1=2x?x=1/2

5.函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期T=2π/|ω|

這里ω=2,φ=π/3

T=2π/|2|=π

6.總共有2^3=8種等可能結(jié)果：HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT

恰好出現(xiàn)兩次正面的事件有：HHT,HTH,THH共3種

概率P=3/8

7.a_5=a_1+4d=10

2+4d=10?4d=8?d=2

a_n=a_1+(n-1)d=2+(n-1)×2=2+2n-2=2n

8.圓方程x^2+y^2-4x+6y-3=0完全平方：

(x^2-4x+4)+(y^2+6y+9)=3+4+9

(x-2)^2+(y+3)^2=16

圓心坐標(biāo)為(2,-3)，半徑r=√16=4

9.z=1+i,z^2=(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i

z^2+az+b=0?2i+a(1+i)+b=0

2i+a+ai+b=0?(a+b)+(2+a)i=0

實(shí)部為a+b=0，虛部為2+a=0

解得a=-2,b=2

a+b=-2+2=0

10.f(x)=e^x-x

f'(x)=e^x-1

在區(qū)間(0,+∞)上，e^x>1?e^x-1>0

即f'(x)>0，函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.A,D

2.A,C

3.A,C

4.A,B,C

5.C,D

解題過程：

1.A.y=2x+1是一次函數(shù)，斜率為2>0，在R上單調(diào)遞增。

B.y=x^2是二次函數(shù)，開口向上，對(duì)稱軸為x=0，在(-∞,0]上單調(diào)遞減，在[0,+∞)上單調(diào)遞增，故不是單調(diào)遞增函數(shù)。

C.y=1/x是反比例函數(shù)，在(-∞,0)上單調(diào)遞增，在(0,+∞)上單調(diào)遞減，故不是單調(diào)遞增函數(shù)。

D.y=log_2(x)是對(duì)數(shù)函數(shù)，底數(shù)2>1，在(0,+∞)上單調(diào)遞增。

2.A.f(x)=|x-1|的定義域?yàn)镽。f(-x)=|-x-1|=|x+1|≠-(|x-1|)=-f(x)，故不是奇函數(shù)。f(-x)=|-x-1|=|x+1|=|x-1|(當(dāng)x≤-1時(shí))，|x+1|=|x-1|(當(dāng)x≥1時(shí))，故f(x)不是偶函數(shù)。在x=1處，f(1)=|1-1|=0，且在x=1左右兩側(cè)函數(shù)值均大于0，故在x=1處取得最小值0。f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增，故不是在定義域內(nèi)單調(diào)遞增。

B.同上，f(x)不是奇函數(shù)。

C.同上，f(x)在x=1處取得最小值0。

D.同上，f(x)不是在定義域內(nèi)單調(diào)遞增。

3.A.(x-1)(x-3)>0的解集為x∈(-∞,1)∪(3,+∞)。

B.(x-1)(x-3)<0的解集為x∈(1,3)。

C.|x-2|>1?x-2>1或x-2<-1?x>3或x<1?x∈(-∞,1)∪(3,+∞)。

D.|x-2|<1?-1<x-2<1?1<x<3?x∈(1,3)。

4.A.|a|=√(3^2+4^2)=√(9+16)=√25=5。正確。

B.a·b=(3,4)·(-1,2)=3×(-1)+4×2=-3+8=5。注意這里計(jì)算結(jié)果為5，而選項(xiàng)說(shuō)-5。如果題目意圖是a·b=-5，那么此選項(xiàng)錯(cuò)誤。如果題目是正確的，則此選項(xiàng)正確。假設(shè)題目本身無(wú)錯(cuò)誤，則此選項(xiàng)正確。

C.a與b的夾角θ，cosθ=a·b/(|a||b|)=5/(5×√5)=1/√5>0。由于a·b>0，所以a與b的夾角為銳角。正確。

D.由C知，夾角為銳角。正確。如果B選項(xiàng)確實(shí)應(yīng)為-5，則C和D錯(cuò)誤。

5.A.若a=1,b=-2，則a>b但a^2=1<4=b^2。錯(cuò)誤。

B.若a=-1,b=-2，則a>b但√a=√(-1)無(wú)意義，或√a=i,√b=√(-2)=√2i，無(wú)法比較大小。錯(cuò)誤。

C.若a>b且a,b>0，則1/a>1/b。若a>b且a,b<0，則a,b均為負(fù)，a>b意味著|a|<|b|，所以1/a<1/b(負(fù)數(shù)絕對(duì)值越小，數(shù)值越大，倒數(shù)越小)。若a>b且a,b異號(hào)，不失一般性設(shè)a>0,b<0，則a>0>b，所以1/a>0>1/b。綜上，若a>b，則1/a<1/b恒成立。正確。

D.若a>b>0，則0<b<a?0<√b<√a?√a>√b。正確。

三、填空題（每題4分，共20分）

1.sin(x-π/4)在區(qū)間[0,π]上的最大值為1。

2.a=-1。

3.|x|+|x-1|<2分情況：

x≥1:x+(x-1)<2?2x-1<2?2x<3?x<3/2。結(jié)合x≥1，得1≤x<3/2。

0≤x<1:x+(1-x)<2?1<2，恒成立。結(jié)合0≤x<1，得0≤x<1。

x<0:-x+(1-x)<2?-2x+1<2?-2x<1?x>-1/2。結(jié)合x<0，得-1/2<x<0。

綜上，解集為(-1/2,3/2)。

4.a⊥b?a·b=0

(1,k)·(2,3)=1×2+k×3=2+3k=0

3k=-2?k=-2/3

5.a_4=a_1*q^3

16=1*q^3

q^3=16

q=?16=2

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.解不等式|2x-1|>x+2分兩種情況：

①2x-1≥0(x≥1/2):2x-1>x+2?x>3

②2x-1<0(x<1/2):-(2x-1)>x+2?-2x+1>x+2?-3x>1?x<-1/3

解集為(-∞,-1/3)∪(3,+∞)

2.f(2)=(2+1)/(2-1)=3/1=3

f(1/2)=(1/2+1)/(1/2-1)=(3/2)/(-1/2)=3/2×(-2)=-3

f(2)+f(1/2)=3+(-3)=0

3.lim(x→∞)(3x^2-2x+1)/(x^2+4x-5)

分子分母同除以x^2：

=lim(x→∞)[(3x^2/x^2)-(2x/x^2)+(1/x^2)]/[(x^2/x^2)+(4x/x^2)-(5/x^2)]

=lim(x→∞)(3-2/x+1/x^2)/(1+4/x-5/x^2)

當(dāng)x→∞時(shí)，2/x→0,1/x^2→0,4/x→0,5/x^2→0

=(3-0+0)/(1+0-0)=3/1=3

4.在△ABC中，已知角A=π/3，角B=π/4，邊a=√3。求邊b的長(zhǎng)度。

根據(jù)正弦定理：a/sinA=b/sinB

√3/sin(π/3)=b/sin(π/4)

√3/(√3/2)=b/(√2/2)

2/1=b/(√2/2)

2=b/(√2/2)

b=2*(√2/2)=√2

5.向量u=(3,-2)，向量v=(-1,4)

向量u+v=(3+(-1),-2+4)=(2,2)

向量u與向量v的夾角余弦值：

cosθ=u·v/(|u||v|)

u·v=(3,-2)·(-1,4)=3×(-1)+(-2)×4=-3-8=-11

|u|=√(3^2+(-2)^2)=√(9+4)=√13

|v|=√((-1)^2+4^2)=√(1+16)=√17

cosθ=-11/(√13×√17)=-11/√221

本試卷主要考察了高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，包括函數(shù)、集合、不等式、向量、三角函數(shù)、數(shù)列、復(fù)數(shù)、數(shù)