導(dǎo)數(shù)綜合題集錦

I.函數(shù)/(x)=x+alnx,其中a為常數(shù)，且。工一1.

(I)當(dāng)a=T時(shí)，求/")在上看］(e=2.71828..J上的值域;

(II)假設(shè)/(x)Ve-I對任意x€［ed］恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

2.函數(shù)/(x)=?lnx--,6feR.

x

⑴假設(shè)曲線)，=/(x)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線與直線x+2)，=()垂直，求a的值；

(II)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(III)當(dāng)a=l,且工之2時(shí)，證明：/(x-l)<2x-5.

3./(x)=x3-6ax2+9a2x(aeR).

(I)求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(II)當(dāng)。>0時(shí)，假設(shè)對Vxw［0,3］有“r)W4恒成立，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

4.函數(shù)f(x)=；/一ax2+(a2-l)x+b(a,bGR).

(I)假設(shè)x=l為/(%)的極值點(diǎn)，求a的值；

(II)假設(shè)y=/*)的圖象在點(diǎn)(1,/(!))處的切線方程為x+y-3=0,

(i)求/(x)在區(qū)間［-2,4］上的最大值；

(ii)求函數(shù)G(x)+(m+2)x+tn]e-x(meR)的單調(diào)區(qū)間

5..函數(shù)f(x)=lnx+@.

x

(I)當(dāng)a<0時(shí)，求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間;

III)假設(shè)函數(shù)f(x)在［1,e］上的最小值是±求a的值.

2

6.函數(shù)/(1)=q+ax2+(1-Z?2)x,"i、a.beR

(I)求函數(shù)/(%)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)；

(2)當(dāng)根=1時(shí)，假設(shè)函數(shù)/(x)是R上的增函數(shù)，求2=。+〃的最小值；

［3)當(dāng)。=1,8=正時(shí)，函數(shù)/'(幻在(2,+8)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求〃?的取值范圍.

7.函數(shù)/(尤)=px-K-21nx.

X

.(1)假設(shè)〃=2,求曲線/(幻在點(diǎn)(1J⑴)處的切線;

(2)假設(shè)函數(shù)/(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)〃的取值范圍；

(3)設(shè)函數(shù)g(x)=2,若在［l,e］上至少存在一點(diǎn)拓，使得/.(%)>抵/)成立，求實(shí)數(shù)p的取值范

X

圍。

8.設(shè)函數(shù)/(x)=/?(x--)-21nx,g(x)=x\

x

(I)假設(shè)直線/與函數(shù)/Cr),g(x)的圖象都相切，且與函數(shù)/*)的圖象相切于點(diǎn)(1,0),求實(shí)數(shù)〃

的值；

(II)假設(shè)/(/)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)p的取值范圍。

9.函數(shù)/(幻=3/一2工，8(工)=108“_￥(。>0,且。工1),其中〃為常數(shù)，如果〃(x)=/'(x)+g(x)在其

定義域上是增函數(shù)，且〃'")存在零點(diǎn)(/?x)為〃(x)的導(dǎo)函數(shù))。

(I)求。的值；

:II)設(shè)A(m,g(M),35,g(〃))(，〃<〃)是函數(shù)y=g(x)的圖象上兩點(diǎn)，

g，(/)=g(〃"g5)(g'(x)為g(x)的導(dǎo)函數(shù))，證明：m<x.<n.

n-m

22

10.設(shè)函數(shù)f(x)=xm\nxth(x)=x-x+a。

(I)當(dāng)a=0時(shí)，/(x)2/?(x)在(1,+co)上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(II)當(dāng)m=2時(shí)，假設(shè)函數(shù)％(x)=/(x)—力。)在［1,3］上恰有兩個(gè)不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(III)是否存在實(shí)數(shù)m,使函數(shù),f(x)和函數(shù)〃(x)在公共定義域上具有相同的單調(diào)性？假設(shè)存在，求出

m的值，假設(shè)不存在，說明理由.

12.函數(shù)/(x)=/一"nx在(1,2］是增函數(shù)，g(x)=工一。6在(0,1)為減函數(shù).

⑴求f(x)、g(x)的表達(dá)式；

(2)求證：當(dāng)戈>0時(shí),方程/(x)=g(x)+2有唯一解：

(3)當(dāng)力>-1時(shí)，假設(shè)/(x)>2/2Y-4在Xe(0,1］內(nèi)恒成立,求b的取值范圍.

尸

13.函數(shù)/'⑴=0,自/'(用之0在R上恒成立.

(1)求4,C,4的值；

(2)假設(shè)〃(幻=3必一灰+2_j_,解不等式r(劃+〃(工)<o；

424

(3)是否存在實(shí)數(shù)加，使函數(shù)g(x)=7'(x)-〃氏在區(qū)間［皿,〃［+2］上有最小值一5?假設(shè)

存在，請求出實(shí)數(shù)m的值；假設(shè)不存在，請說明理由.

14.函數(shù)/(x)=V+OV2+X+1,?GR.

II)討論函數(shù)/(處的單調(diào)區(qū)間；

(II)設(shè)函數(shù)/*)在區(qū)間(一|,一；)內(nèi)是減函數(shù)，求。的取值范圍.

15.設(shè)函數(shù)/(幻二巫-lnx+ln(x+l).

1+x

(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(II)是否存在實(shí)數(shù)a,使得關(guān)于x的不等式/(X)》。的解集為(0,+8)?假設(shè)存在，求a的取值

范圍；假設(shè)不存在，試說明理由.

17.函數(shù)f(x)="'+"(4eR)

X

(1)求)(x)的極值；

(II)假設(shè)函數(shù)/(x)的圖象與函數(shù)g(x)=l的圖象在區(qū)間(0,/］上有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

18.函數(shù)f(x)="at)一］n(or)+］n(x+1),(aw0,。eR)

x+\

(I)求函數(shù)/(x)的定義域；

(ID求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(III)當(dāng)〃>0時(shí)，假設(shè)存在x使得/Q)Nln(2a)成立，求〃的取值范圍.

20.函數(shù)g(x)=二斗的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，設(shè)函數(shù)“幻=-+5+1.

x+c'g(x)lnx

⑴求的單調(diào)區(qū)間；

(2)->￡〃對任意X€(l,+8)恒成立.求實(shí)數(shù)〃?的取值范圍(其中e是自然對數(shù)的底數(shù)).

21.設(shè)函數(shù)/*)=(X-1)2+blnx,其中b為常數(shù).

(I)當(dāng)人>5時(shí)，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；

(II)假設(shè)函數(shù)/(X)的有極值點(diǎn)，求〃的取值范圍及/(幻的極值點(diǎn)：

(III)假設(shè)。=—1,試?yán)?II)求證：G3時(shí)，恒有，+—

22.函數(shù)f(x)=ln(x2+1),^(%)=^—+a.

x-1

(1)求g(x)在P(&gg)處的切線方程/;

(2)假設(shè)/(x)的一個(gè)極值點(diǎn)到直線/的距離為1,求。的值；

(3)求方程/(x)=g(x)的根的個(gè)數(shù).

24.定義域?yàn)?的函數(shù)/。)=三吆是奇函數(shù).

(1)求仁力的值；

⑵假設(shè)對任意的/eR,不等式/(/一2/)+.〃2「-幻<0恒成立，求女的取值范圍.

25.函數(shù)/3)對任意實(shí)數(shù)x均有=@(x+2),其中常數(shù)攵為負(fù)數(shù)，旦/⑴在區(qū)間［0,2］上有表

達(dá)式f(x)=x(x-2).

(I)求/(—1)，/(2.5)的值；

(2)寫出“大)在［一3,3］上的表達(dá)式，并討論函數(shù)/*)在［-3,3］上的單調(diào)性；

13)求出/(x)在［-3,3］上的最小值與最大值，并求出相應(yīng)的自變量的取值.

26.函數(shù)/(x)=孤(戈+。)(A>0,aeR)

求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

求函數(shù)/(X)在［1,8］上的最大值和最小值.

27.函數(shù)/(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)冗>0時(shí)，/(x)=(sinx+cosx『+2cos?x,

求x<0時(shí)/(x)的表達(dá)式；

假設(shè)關(guān)于工的方程/(耳-。=。有解，求實(shí)數(shù)〃的范圍。

28.函數(shù)y=/(x),X€N+，滿足:①對任意。力eN+，都有qf⑷十燈仙)>4(Z?)+"(a)；

②對任意〃匕V'都有f［f(n)］=3n.

(I)試證明：/(x)為A\上的單調(diào)增函數(shù)；

(II)求/⑴+/(6)+/(28)；

(III)令%=/(3"),〃wN+，試證明：

4〃+2qa2an4

29.函數(shù)/(x)=ln(at+1)+/一X?一依.

?

'：I)假設(shè)x為y=f(刈的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)4的值；

(II)假設(shè))，=/。)在11,+8)上為增困數(shù)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(III)假設(shè)。二一1時(shí)，方程/(1一X)一(1一工)3=2有實(shí)根，求實(shí)數(shù)方的取值范圍.

X

30.函數(shù)y=/(幻,xwR滿足/。+1)=，/(幻，。是不為0的實(shí)常數(shù)。

(1)假設(shè)當(dāng)OKxWl時(shí)，/(x)=x(l-x),求函數(shù))，=/(?,xe[0』的值域；

(2)在⑴的條件下，求函數(shù)y=/(x),x€[〃,〃+l),〃wN的解析式；

(3)假設(shè)當(dāng)0<x?l時(shí)，f(x)=3v,試研究函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,+8)上是否可能是單調(diào)函數(shù)？

假設(shè)可能，求出。的取值范圍；假設(shè)不可能，請說明理由。

31.函數(shù)/("=一丫3+依2+加+。在(-00,0)上是減函數(shù)，在(0,1)上是增函數(shù)，函數(shù)/(刈在R上有

三個(gè)零點(diǎn)，且1是其中一個(gè)零點(diǎn).

(1)求人的值；

(2)求〃2)的取值范圍;

13)試探究直線y=x—l與函數(shù)y=/(x)的圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況，并說明理由.

32.定義在R上的函/(X)=V+公2+打(4,/?為常數(shù))在下一1處取得極值，旦/(幻的圖像在

P(lJ(1))數(shù)處的切線平行與直線)，=8x.

⑴求函數(shù)“X)的解析式及極值；

(2)設(shè)女〉0,求不等式日的解集；

112

⑶對任意a,尸sR,求證：|〃sina)-f(cos/?)|?^—.

33.函數(shù)/*)=111(1+，)一?。骸??)有以下性質(zhì)：“假設(shè)

大￡[凡句,則存在與￡(4力)，使得〃b)-f(a)=:(/)〃成立。

b-a

11)利用這個(gè)性質(zhì)證明與唯一；

(2)設(shè)A、B、C是函數(shù)/(無)圖象上三個(gè)不同的點(diǎn)，試判斷AABC的形狀，并說明理由。

34.函數(shù)/(x)=ar(a￡R),g(x)=In工一1.

x

(1)假設(shè)函數(shù)〃(x)=8。)+1-]/(工)一2.1存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；

(2)當(dāng)〃>0時(shí)，試討論這兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

35,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對稱,0￡D,且存在常數(shù)a>0,使f(a)=l,又'1+/U.WJ,

(1)寫出f(x)的一個(gè)函數(shù)解析式，并說明其符合題設(shè)條件；

(2)判斷并證明函數(shù)f(x)的奇偶性;

13)假設(shè)存在正常數(shù)T,使得等式f(x尸f(x+T)或者f(x)=f(x-T)對于xWD都成立，那么都稱f(x)是周期

函數(shù)，T為周期；試問f(x)是不是周期函數(shù)？假設(shè)是，那么求出它的一個(gè)周期T；假設(shè)不是，那么說明

理由。

36.設(shè)對丁任意的實(shí)數(shù),函數(shù)f(x),S(x)滿足/(x4l)=1/(x),且

/(0)=3g(x+y)=g(x)+2y,g⑸=13,neN”

(I)求數(shù)列｛/(〃)｝和｛g5)｝的通項(xiàng)公式;

(II)設(shè)%=0^/(〃)］,求數(shù)列匕,｝的前項(xiàng)和s..

(IH)設(shè)F(〃)=S,-3〃，存在整數(shù)相和M,使得對任意正整數(shù)〃不等式機(jī)恒成立，求

“一機(jī)的最小值.

37.對于定義在區(qū)間D上的函數(shù)/(x),假設(shè)存在閉區(qū)間［a,例qD和常數(shù)C,使得對任意為￡團(tuán),以，

都有/(N)=C，且對任意々￡D,當(dāng)馬任［a,切時(shí)，/(工2)>。恒成立，那么稱函數(shù)/(x)為區(qū)間D上

的“平底型〃函數(shù).

(I)判斷函數(shù)/(x)=|x—l|+|x—2|和力(x)=x+|x—2|是否為R上的“平底，型”函數(shù)？并說明理

由；

［II)設(shè)/(X)是(I)中的“平底型”函數(shù),k為非零常數(shù),假設(shè)不等式“一無|+|，+女以壯/⑶對

一切fwR恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；

(III)假設(shè)函數(shù)g(x)=+2%+〃是區(qū)間［—2,+8)上的“平底型”函數(shù)，求相和〃的值.

38.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,假設(shè)|f(x)|W|x|時(shí)任意的實(shí)數(shù)x均成立，那么稱函數(shù)f(x)為C函數(shù)。

(1)試判斷函數(shù)力(x)=xsinR/,(x)=4—中哪些是C函數(shù)，并說明理由；

e+1

(2)求證：假設(shè)a>l,那么函數(shù)f(x)=ln(x2+a)Tna是。函數(shù)。

39.集合A是由具備以下性質(zhì)的函數(shù)/(幻組成的：

(1)函數(shù)〃冷的定義域是域+oo);

⑵函數(shù)的值域是［-2,4)；

(3)困數(shù)/(X)在L(),+8)上是增困數(shù).試分別探究以卜兩小題:

(I)判斷函數(shù)工(幻=?-2。20),及力(x)=4—6《g)x*N0)是否屬于集合A?并簡要說明理由.

(II)對于(D中你認(rèn)為屬于集合A的函數(shù)/(x),不等式/a)+/(x+2)<2/(x+l),是否對于任意

的X20總成立？假設(shè)不成立，為什么？假設(shè)成立，請證明你的結(jié)論.

40./*)是定義在[0,+8)的函數(shù)，滿足/(幻=2/。+1).設(shè)/〃=口,〃+1),neN.當(dāng)時(shí)，

2

f(x)=x-x.分別求當(dāng)X￡/1、xeI2./〃=[〃,〃+“時(shí)，/(x)的表達(dá)式/(無)、f2(x).力(X).

3

41.函數(shù)/(%)=——一x(awR,。力0).

(I)求/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(II)曲線y=.f(x)在點(diǎn)(。,(/吼?))處的切線恒過y軸上一個(gè)定點(diǎn)，求此定點(diǎn)坐標(biāo)；

(III)假設(shè)。>0,玉>祗，曲線y=/(x)在點(diǎn)(再J(再))處的切線與x軸的交點(diǎn)為5,0)，試比擬

再與方的大小，并加以證明.

a-x2(\\

42.函數(shù)尸----+Inx?e/?.xe[—,2]

xk2)

(I)當(dāng)aw[-2')時(shí)，求/(工)的最大值；

4

(II)設(shè)g(x)="(x)-hraf,女是g(x)圖象上不同兩點(diǎn)的連線的斜率，否存在實(shí)數(shù)。，使得攵<1恒

成立?假設(shè)存在，求。的取值范圍;假設(shè)不存在,請說明理由.

43..函數(shù)f(x)=1+”(工+1)

x

(1)求函數(shù)的定義域：

(2)確定函數(shù)￡(x)在定義域上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；

(3)假設(shè)當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>上恒成立，求正整數(shù)k的最大值。

x+1

44.函數(shù)/(x)=log(,x和g(x)=2log,(2x+f-2),(。>0,aw11wR)的圖象在x=2處的切線互相

平行.

(I)求/的值；

(II)設(shè)尸(x)=g(x)->a),當(dāng).w[l,4]時(shí),尸(幻之2恒成立,求。的取值范圍.

2Y

45.函數(shù)/(x)=aln(x+l)----+6的圖象與直線x+y—2=0相切于點(diǎn)(0,c)。

x+\

(1)求?的值;

(2)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間和極小值。

46.函數(shù)./。)=2m3+如與以幻="2+5的圖象都過點(diǎn)現(xiàn)2,0),且在點(diǎn)P處有公共切線.

(1)求f(x)和g(x)的表達(dá)式及在點(diǎn)P處的公切線方程；

⑵設(shè)廠(制=〃際(制+11]口_1)，其中加<0,求F(x)的單調(diào)區(qū)間.

8x

X

47.函數(shù)/(x)=x,g(x)=ln(l+x),h(x)=——.

1+x

〔1〕證明：當(dāng)x〉0時(shí),恒有〃x)>g(x);

〔2〕當(dāng)x>。時(shí)，個(gè)等式g(x)>(攵20)恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

32

48.函數(shù)f(x)=x+bx+cx+d有兩個(gè)極值點(diǎn)XFI,X2=2,且直線y=6x+l與曲線y=f(函相切于P點(diǎn).

(D求b和c(2)求函數(shù)y=f(x)的解析式；

⑶在d為整數(shù)時(shí)，求過P點(diǎn)和y=f(x)相切于一異于P點(diǎn)的直線方程.

49.函數(shù)f(x)=x3—3ax(a€R).

⑴當(dāng)a=l時(shí)，求f(x)的極小值；

(H)假設(shè)直線菇x+y+m=0對任意的m￡R都不是曲線y=f(x)的切線，求a的取值范圍；

(III)設(shè)g(x)=|f(x)],xe[—1,1],求g(x)的最大值F(a)的解析式.

50.函數(shù)y=ix\+\,y=^2-2x+2+t,y=-(x+—)*>0)的最小值恰好是方程

2x

寸+以2+版+c=o的三個(gè)根，其中

(I)求證：/=2/7+3：

(II)設(shè)(々,N)是函數(shù)/(x)=V+以2+/次+'的兩個(gè)極值點(diǎn).

2

①假設(shè)|與一七1二一，求函數(shù)的解析式；②求IM—NI的取值范圍.

3

51.函數(shù)f(x)=—x3+—ax2+ax-2(aER),

32

⑴假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間G8,+8)上為單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范闈：

⑵設(shè)A(x、f(x。)、B(X2,f(X2))是函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)，假設(shè)直線AB的斜率不小于求實(shí)數(shù)a的取值范

6

圍.

52.函數(shù)/(x)=axy-2bx2+3cx(a,b,ceR)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且當(dāng)x=1時(shí)，/(幻取極小值-2.

3

⑴求a,b,c的值;

(2)當(dāng)XE[-1,1]時(shí)，圖象上是否存在兩點(diǎn)，使得在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直？證明你的結(jié)論.

53.對于x的三次函數(shù)/(x)=x^+4〃?+2)x+m3—6in2+9m~1.

(I)假設(shè)/G)有極值，求，〃的取值范圍；

(II)當(dāng)，〃在(1)的取值范圍內(nèi)變化時(shí)，求/'5)的極大值和極小值之和g(〃?)，并求gM

的最大值和最小值.

a3)

54.函數(shù)/(x)=ax-5(〃十2)x十6x-3.

⑴當(dāng)。>2時(shí)，求危)的極小值;

(II)討論方程/U)=0的根的個(gè)數(shù).

55.設(shè)函數(shù)=x(x-1)U-a)(a>1)

(I)求導(dǎo)數(shù)/(工)，并證明/(T)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)；

12)假設(shè)對于(1)中的為、七不等式/(芭)+/(電)《0成立，求〃的取值范圍。

561￡”,函數(shù)=

(I)當(dāng)f=l時(shí)，求函數(shù))，=/(x)在區(qū)間［0,2］的最值；

(II)假設(shè)/(x)在區(qū)間［-2,2］上是單調(diào)函數(shù)，求/的取值范圍；

(1ID)是否存在常數(shù)3使得任意工€［-2,2］都有|/(外區(qū)6恒成立，假設(shè)存在，請求出3假設(shè)不

存在請說明理由.

57.設(shè)M、/“產(chǎn)/)是函數(shù)/(x)=+bx2-a2x(a>0)的兩個(gè)極值點(diǎn).

(1)假設(shè)凡=-1,超=2,求函數(shù)FCr)的解析式；

(2)假設(shè)|+|01=2應(yīng)，求^的最大值；

(3)假設(shè)玉<X<々，且為=。，函數(shù)g(x)=/'(x)-a*-4)，求證：|g(x)|W、a(3a+2)2.

58.函數(shù)/(x)=ax'+3,-6-—H,身(x)=3/+6%+12,和直線/〃：y=Ax+9,又/'(-1)=0.

(I)求。的值；

(II)是否存在上的值，使直線〃?既是曲線.y=/(x)的切線，又是)，=g(x)的切線：如果存在，求出

出的值；如果不存在，說明理由.

(III)如果對于所有大2-2的九都有/(工)工左1+9工以工)成立，求攵的取值范圍.

59.設(shè)函數(shù)/0)=/+以2+笈*>0)的圖象與直線),=4相切于"(1,4).

(I)求/(幻=爐+公2+版在區(qū)間?4］上的最大值與最小值;

(II)是否存在兩個(gè)不等正數(shù)sj(s<1),當(dāng)x￡［5,r］時(shí)，函數(shù)/(x)=V+a^+bx的值域也是回〃,

假設(shè)存在，求出所有這樣的正數(shù)SJ；假設(shè)不存在，請說明理由；

(III)設(shè)存在兩個(gè)不等正數(shù)S,」(SVf),當(dāng)時(shí)，函數(shù)/(%)=垢+0?+正的值域是出,如,

求正數(shù)人的取值范圍.

60.函數(shù)/")=,，+“3+4：2+小在)，軸上的截距為一5,在區(qū)間［0,1］上單調(diào)遞增，在［1,2］上單調(diào)遞減,

又當(dāng)x=0,x=2時(shí)取得極小值.

(I)求函數(shù)次此的解析式；

(II)能否找到函數(shù)垂直于x軸的對稱軸，并證明你的結(jié)論；

(III)設(shè)使關(guān)于X的方程人此=入2f—5恰有三個(gè)不同實(shí)根的實(shí)數(shù)2的取值范圍為集合4,且兩個(gè)非零實(shí)根

為鶯、及.試問：是否存在實(shí)數(shù)〃?，使得不等式病+切?+2平］一間對任意

/￡［-3,3］"￡A恒成立？假設(shè)存在，求機(jī)的取值范圍；假設(shè)不存在，請說明理由.

61.f(x)=x3+bx2+cx+2.

(I)假設(shè)f(x)在x=l時(shí),有極值-1,求b、C的值；

(II)當(dāng)b為非零實(shí)數(shù)時(shí)，證明f(x)的圖像不存在與直線(b2-c)x+y+l=0平行的切線；

(IH)記函數(shù)|f'(x)l(-lWxWl)的最大值為M,求證：M23.

2

62.設(shè)函數(shù)/(x)=|x+11+|av+11,/(-l)=/(I),且/(---)=/(—)且"NO),函數(shù)

aa

g(x)=cixy+hx2+cxg￡R,c為正整數(shù))有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，且該函數(shù)圖象上取得極值的兩點(diǎn)A、

B與坐標(biāo)原點(diǎn)O在同一直線上。

11)試求a、b的值；

(2)假設(shè)x20時(shí)，函數(shù)g(x)的圖象恒在函數(shù)/.1)圖象的下方，求正整數(shù)c的值。

63.函數(shù)f［x}=V+bx2+3cx+8和g(x)=x3+bx2+ex(其中一.v6v0),F(x)=f(x)+5g(x),

乙

八l)=g'(，〃)=O.

(1)求加的取值范圍；

(2)方程F(x)=0有幾個(gè)實(shí)根？為什么？

64.函數(shù)_/(工戶V+以2+B+dg,c,dwR且都為常數(shù))的導(dǎo)函數(shù)為/。)=3/+4工，

且41)=7,設(shè)F(x)=fix)-ax2(aER).

(I)當(dāng)a<2時(shí),求尸((的極小值;

(H)假設(shè)對任意的xG［0,+oo),都有F(x)>0成立，求a的取值范圍并證明不等式

f/2-13fz+39>—.

a-6

答案及解析

I.解：(I)當(dāng)a=-1時(shí)，/(x)=x-Inx,

得廣@)=1—............2分

X

令r(x)>0,Wl-->0,解得X>1,所以函數(shù)/(為在(1,”)上為增函數(shù)，

X

據(jù)此，函數(shù)/(幻在愴工2］上為增函數(shù)，............4分

而f(e)=e—l,/(e2)=e2—2,,所以函數(shù)/⑴在［ed］上的值域?yàn)椋踖—ld—2］

.............6分

(II)由廣(幻=1+@,令(。)=0,得1+@=0,即x=-a,

XX

當(dāng)％e(0,-〃)時(shí)，/'(x)vO,函數(shù)/(x)在(0,-〃)上單調(diào)遞減；

當(dāng)XC(-時(shí)，f\x)>0,函數(shù)/(x)在(一4,+co)上單調(diào)遞增；.........7分

假設(shè)IW-aWe,即-eWaW-l,易得函數(shù)/(x)在［cd］上為增函數(shù)，

此時(shí)，/(1)…=/(e2)1要使/(用式e-l對x€［e,c2］恒成立，只需/(c2)《e-1即可，

所以有e2+2a?e—1,即W。—

2

而一e?+e—1Te?—3c+1)<0,即-/+e—19,所以此時(shí)無解.

222

............8分

假設(shè)eV-”。？，即一°>々>一/,易知函數(shù)/(處在［e,-上為減函數(shù)，在［-ad］上為增函數(shù),

f(e)<e-1a<-\

2

要使/x)Ke-1對心上看］恒成立，只需。?、,即_e+e-H

/(e-)<e-la<--------

2

小一e~+e—1八—e-+e+1—e-+e—1八e'+e—1

由----------(-1)=--------<0和----------(-e-)=------->0

2222

得-e2<a”+eT..........................10分

2

假設(shè)-a"?,即三"2,易得函數(shù)/(X)在Ge?］上為減函數(shù)，

此時(shí)，f(x)^=/(e),要使/(x)We-l對xc［ed］恒成立，只需/(e)We-1即可，

所以有e+aWe-l,即又因?yàn)閍K-e"所以aK-e2..............12分

綜合上述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(TO.Y'LI］.......................13分

2

2.解：⑴函數(shù)/(外的定義域?yàn)閧x|x>0},

ru)=-+4.......................................................2分

xx

又曲線y=/(>)在點(diǎn)(1J(D)處的切線與直線x+2)，=0垂直，

所以廣⑴=〃+1=2.

即el................................................................4分

(ID由于/(幻二竺￥.

廠

當(dāng)。之0時(shí)，對于X￡((),?),有/'")>()在定義域上恒成立，

即/(X)在(0*。)上是增函數(shù).

當(dāng)4<0U寸，由/'(X)=0,得％=G(0,+co).

Cl

當(dāng)X€(0--M/V)>0,/(x)單調(diào)遞增：

a

當(dāng)xe(-L+8)時(shí)，/(X)<0,/(x)單調(diào)遞減.....................8分

a

(III)當(dāng)a=l時(shí),f(x-l)=In(x-l)------［2,+oo).

x-\

令g(x)=ln(x-1)---!--2x+5.

x-\

-L+-L^2J2I)(丁)

g'(x)=10分

X—1(x—1)(x—1)

當(dāng)x>2時(shí),g'x(x)<0,g(x)在(2,轉(zhuǎn))單調(diào)遞減.

又g(2)=0,所以g(x)時(shí),g(x)V0.

BPIn(x-l)一一!—―2x+5<0.

x-1

故當(dāng)折1,且不22時(shí),/*一1)421一5成立.................13分

3解：(I)f\x)=3x2-12ax+9a2=3(x-a)(x-3a)<0

I：1)當(dāng)。=3〃，即。=()時(shí)，f'(x)=3Y>0,不成立.

(2)當(dāng)。>3。，即。<0時(shí),單調(diào)減區(qū)間為(3。,。).

(3)當(dāng)々<3。，即。>0時(shí)，單調(diào)減區(qū)間為----------5分

(II)f'(x)=3x2-\2ax+9a2=3(工-。)(工-3。)，

/(X)在(0,4)上遞增,在(4,3。)上遞減,在(3。,+8)上遞增.

(1)當(dāng)。23時(shí)，函數(shù)/(x)在［0,3］上遞增,

所以函數(shù)/(外在［0,3］上的最大值是/(3),

假設(shè)對立武(),3］有/(x)W4恒成立，需要有，解得4￡0.

⑵當(dāng)1W。<3時(shí)，有av3W3。，此時(shí)函數(shù)/(處在［0M上遞增.，在3］上遞減，所以函數(shù)f(x)

在。3］上的最大值是"a),

假設(shè)對立e［0,3］有/(x)44恒成立，需要有.七解得。=1.

⑶當(dāng)avl時(shí)，有3>3a,此時(shí)函數(shù)/(%)在［a,3a］上遞減,在［3a,3］上遞增,

所以函數(shù)/(A)在［0,3］上的最大值是f(a)或者是/(3).

由/(幻一/(3)=5—3)2(44—3)，

3

①0<5時(shí)，/⑷"⑶，

4

)⑶0，

假設(shè)對立￡［0,3］有/(x)V4恒成立，需要有

_4'

解得?！昕?

94

②黃。<1時(shí)，/(〃)>/⑶，

4

假設(shè)對D"［(),3］有/(x)W4恒成立，需要有解得"(；』).

,4''

綜上所述，一手』］.-------------14分

4.解：［1)fXx)=x~—2.C1X+a~-1.

???X=l是極值點(diǎn)

.?.八1)=0,即。2-2〃二0

「.x=0或2....................................................................................3分

⑵???(1J(1))在x+y-3=0上..?)⑴=2

1°

*/(1,2)在y=/(x)上.\2=--a+a~-i+b

又f(\)=k=-\:.\-2a+a2-\=-1

⑴由f\x)=0可知x=0和x=2是f(x)的極值點(diǎn).

/.f(x)在區(qū)間［-2,4］上的最大值為8......................................8分

(ii)G(x)=(x2+tnx+m)e~x

令G'(x)=O,得x=0,x=2—/n

當(dāng)機(jī)=2時(shí)，G'")V(),此時(shí)G(x)在(-oo,+oo)單調(diào)遞減

當(dāng)機(jī)＞2時(shí):

(―°°,,2,—

X2-m(2—m,0)0(0,+8)

m)

G'⑴—0+0—

G(幻減增減

當(dāng)時(shí)G(x)在(一8,2,—m),(0,+8)單調(diào)遞減，在(2—m,0)單調(diào)遞增.

當(dāng)機(jī)＜2時(shí)：

X(—8,0)0(0.?2—m)2—m(2—m+°°)

G'5)—0十0—

G(A-)減增減

此時(shí)G(x)在(-8,0),(2—m+8)單調(diào)遞減，在(0,2-m)單調(diào)遞增，綜上所述：當(dāng)m=2

時(shí)，GU)在(-8,+8)單調(diào)遞減；

機(jī)＞2時(shí)，G(x)在(-8,2—m),(0?+8)單調(diào)遞減，在(2—m,0)單調(diào)遞增；

.WV2時(shí)，G(x)在［一8,0),(2-m,+8)單調(diào)遞減，在(0,2-m)單調(diào)遞增.

5.解：函數(shù)/(x)=ln,E+@的定義域?yàn)?0,+8)........1分

X

，,/、1ax-a-八

f\x)=-----7=—........3分

(1)a<0,:.f\x)>0.

故函數(shù)在其定義域(0,+8)上是單調(diào)遞增的.........5分

(II)在［1,c］上，發(fā)如下情況討論：

①當(dāng)avl時(shí)，/'。)>0,函數(shù)/(幻單調(diào)遞增，

其。最小值為/(I)=6Z<1,

這與函數(shù)在口，e］上的最小值是,相矛盾；........6分

2

②當(dāng)a=l時(shí)，函數(shù)/*)在(Le］單調(diào)遞增，

其最小值為/⑴=1,

同樣與最小值是巳3相矛盾：........7分

2

③當(dāng)Ivave時(shí),函數(shù)/⑴在［1,4).上有了'。)<0,單調(diào)遞減，

在(凡e］上有/。)>0,單調(diào)遞增，所以，

函數(shù)/(x)滿足最小值為f(a)=In?+1

由Ina+1=3,得a=........9分

2

④當(dāng)a=e時(shí)，函數(shù)/(處在［1,6)上有廣。)<0,單調(diào)遞減，

其最小值為/(?)=2,還與最小值是13相矛盾；........1()分

⑤當(dāng)a>c時(shí)，顯然函數(shù)在［l,e］上單調(diào)遞減，

其最小值為=1

仍與最小值是士3相矛盾；........12分

2

綜上所述，a的值為八........13分

6.(I)解：ff(x)=mx2+2ax+(l-b2).....3分

(II)因?yàn)楹瘮?shù)/(x)是R上的增函數(shù)，

所以/'3)20在R上恒成立,

那么有A=4?一4（1一從）$0,即/+從，1

設(shè)產(chǎn)sf?為參數(shù)QWY1）.

b=rsin。

那么z=a+b=r（cos6+sin。）=V2rsin（^+—）

4

當(dāng)sin（e+^）=-1,且尸1時(shí)，z=〃取得最小值-血.

4

（可用圓面的幾何意義解得2=〃+〃的最小值一收）....................8分

（III）①當(dāng)〃?>0時(shí)/'（〃?）=〃眈2+2元一1是開口向上的加物線，顯然/。）在⑵+8：|上存在子

區(qū)間使得廣（x）>0,所以m的取值范圍是（0,+8）.

②當(dāng)m=0時(shí)，顯然成立.

③當(dāng)〃?<0時(shí)，/（〃?）=〃探242工一1是開口向下的拋物線，要使/'（X）在（2,+8）上存在子區(qū)

m<0m<0,

1c+、

間使廣。）>0,應(yīng)滿足〈--->2,或“--<2,

mm

八2)>0.

/(--)>0,

m

解得一］1Wm<30,或一彳<〃2-1,所以小的取值范圍是（一j3,0）.

3

那么，〃的取值范圍是（一3,+8）..................................13分

4

7.解：（1）當(dāng)〃=2時(shí),

2

函數(shù)/(x)=2x----21nA；/(1)=2-2-21nl=0

x

曲線/*）在點(diǎn)（1,/（I））處的切線的斜率為

/ff(l)=2+2-2=2.1分

從而曲線在點(diǎn)處的切線方程為

即y=2x—2

(2)f\x)=p+-^---.3分

X~X

令“人）=〃人2―2人+〃，要使/（人）在定義域（0,3）內(nèi)是增函

只需〃0)2。在(0,+8]內(nèi)恒成立4分

由題意p>0,/2(x)=px2-2x4-P的圖象為開口向上的拋物線,對稱軸方程為

A=—e(0,4-co),

P

只需p---20,即〃21時(shí),

P

「./(X)在.(0,+8)內(nèi)為增函數(shù)，正實(shí)數(shù)p的取值范圍是[1,yo)6分

(3)g(x)=2在[l,e]上是減函數(shù),

x

=e時(shí)，

X=1時(shí),g(x)1nhi=2e,

即g*)w[2,2?]1分

①當(dāng)〃<0時(shí)，/?(%)=px2-2x+p

其圖象為開口向下的拋物線，對稱軸x=,在y車的左側(cè)，

P

且〃(0)<0,所以/a)在/wUM內(nèi)是減函數(shù)。

當(dāng)〃=0時(shí)，在h(x)=-2x

因?yàn)閄￡[l,e],

2x

所以/?(x)<o,r(x)=一一7<().

x~

此時(shí)，、f(x)在x￡[1,e]內(nèi)是減函數(shù)。

故當(dāng)“W0時(shí)，，/(x)在xw[l,e]上單調(diào)遞減

=>/?max=/(D=0<2,不合題意;

②當(dāng)時(shí)，由xw[l,e]=%一,之0

x

所以/(X)=p(x--)-21nx<x---21nx.

xx

又由(2)知當(dāng)〃=1時(shí)，/(x)在xw[l,e]上是增函數(shù),

x----2InAt?-----21ne=e----2V2,不,合題意：11分

③當(dāng)〃21時(shí)，由(2)知/(X)在xw[I,e]上是增函數(shù),

又g(x)在xG[l,ej上是減函數(shù),

故只需/(X)n1ax>g(X)mM，XWU，e]

而/(X)max=/(e)=Me」)一21ne,g(x)min=2

e

即P(e--)-2\ne>2,

e

解得〃>一4f二，

e--l

所以實(shí)數(shù)〃的取值范圍是(聿一,+8)。13分

e-1

8.解：(I)方法一：V-----,........................2分

xx

:了0=^4f

設(shè)直線

并設(shè)/與g(x)=d相切于點(diǎn)M(x0,y0).......................3分

*.*g'(x)=2xA2x0=2(p-l)

2

：.x0=p-i,y0=(p-1)

代入直線/的方程，解得p=l或p=3.........................6分

方法二：

將直線方程/代入)，=/得

2(/?-l)(x-i)=0.\A=4(/?-l)2-8(p-l)=0

解得p=l或p=3.........................6分

(ii)???

①要使“X)為單調(diào)增函數(shù)，須/3NO在((),4＜功恒成立，

2

即/兄W在(0,48)恒成立，即p>——=--在(0,轉(zhuǎn))恒成立,

JT4-1,1

X~\—

X

2

又所以當(dāng)〃之I時(shí)，/3)在(0,3)為單調(diào)增函數(shù)；........9分

x+—

X

②要使/(%)為單調(diào)減函數(shù)，須/3WO在(0,4W)恒成立，

2r2

即/在(0,*)。)恒成立，即/?＜.=-----在(0,+cc)恒成立，

幺+12

x

又一^?。?,所以當(dāng)時(shí)，/(幻在(0,+8)為單調(diào)減函數(shù)..........11分

K+-

X

綜上，假設(shè)/(%)在(0,”)為單調(diào)函數(shù)，那么p的取值范圍為〃=1或0WO.....12分

1,

9.解：(1)因?yàn)椤?X)=/JC―2x+log“x(x>0).

所以〃'(x)=%一2+-----.