第一章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5CAdvancedmathematics函數(shù)、極限與連續(xù)高等數(shù)學(xué)上海財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院

編e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)一、函數(shù)連續(xù)的概念目錄/Contents第七節(jié)函數(shù)的連續(xù)性三、函數(shù)的間斷點(diǎn)四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目錄/Contents一、函數(shù)連續(xù)的概念1.函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的定義2.函數(shù)在區(qū)間連續(xù)的定義定義1.231.函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的定義設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)

的某鄰域內(nèi)有定義，則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)

處連續(xù).從定義可知，函數(shù)

在點(diǎn)

連續(xù)必須滿(mǎn)足下列三個(gè)條件：（1）

在點(diǎn)

有定義，（2）極限

存在，一、函數(shù)連續(xù)的概念即有確定的函數(shù)值

；即左極限

，右極限

存在且相等；（3），即極限值

等于函數(shù)值.，如果【例1】問(wèn)

在點(diǎn)處是否連續(xù)？因?yàn)?/p>

，可見(jiàn)

，所以

在點(diǎn)

處連續(xù).而一、函數(shù)連續(xù)的概念設(shè)解【例2】得

一、函數(shù)連續(xù)的概念因此，當(dāng)時(shí)，在處連續(xù).又在點(diǎn)處連續(xù)，解因?yàn)樵O(shè)確定的值，在點(diǎn)處連續(xù).使即，一、函數(shù)連續(xù)的概念記作(稱(chēng)為函數(shù)值的改變量），則稱(chēng)在點(diǎn)處連續(xù).函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的定義可用“”分析定義來(lái)敘述：當(dāng)時(shí)，有成立，由于可改寫(xiě)為，(稱(chēng)為自變量的改變量），定義1.24設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，改變量趨近于零時(shí)，即，若記那么于是得如果當(dāng)自變量的也趨向于零,函數(shù)值的相應(yīng)改變量在點(diǎn)處連續(xù).則稱(chēng)函數(shù)【例3】由于于是函數(shù)的改變量一、函數(shù)連續(xù)的概念因此在內(nèi)任一點(diǎn)處連續(xù).函數(shù)的值就從改變到，證明在定義域內(nèi)任一點(diǎn)處都連續(xù).證明當(dāng)自變量從改變到時(shí)，故,即，同理可證在內(nèi)任一點(diǎn)處連續(xù).一、函數(shù)連續(xù)的概念設(shè)函數(shù)在區(qū)間有定義（），如，則稱(chēng)在點(diǎn)處右連續(xù).定義1.25設(shè)函數(shù)在區(qū)間有定義（），如果，在點(diǎn)處左連續(xù)；則稱(chēng)函數(shù)2.函數(shù)在區(qū)間連續(xù)的定義一、函數(shù)連續(xù)的概念則稱(chēng)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，(2)若函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)處都連續(xù)，連續(xù)(即)，在右端點(diǎn)處左連續(xù)（即），(1)若函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)處都連續(xù)，內(nèi)連續(xù)；函數(shù)在則稱(chēng)處右且在左端點(diǎn)作.記e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)一、函數(shù)連續(xù)的概念目錄/Contents第七節(jié)函數(shù)的連續(xù)性三、函數(shù)的間斷點(diǎn)四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)二、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)二、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)二、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)二、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)由這個(gè)定理可知，是其有定義區(qū)間上的任意一點(diǎn)，定理1.20

一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間上都是連續(xù)的.這說(shuō)明，也就是只要把函數(shù)式中的代以即可.例如注意分段函數(shù)一般不是初等函數(shù)，是初等函數(shù)，若則有，對(duì)于連續(xù)函數(shù)求極限，可以把極限符號(hào)與函數(shù)記號(hào)交換，..因此在定義域內(nèi)就不一定連續(xù)了求下列函數(shù)的連續(xù)區(qū)間：【例4】（1）.二、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解是初等函數(shù)，.即為它的定義區(qū)間就是連續(xù)區(qū)間，求下列函數(shù)的連續(xù)區(qū)間：（2）

【例4】二、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)而，解是分段函數(shù)，由于于是，的連續(xù)區(qū)間是.處的連續(xù)性.點(diǎn)須考察分段在處不連續(xù).可見(jiàn)e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)一、函數(shù)連續(xù)的概念目錄/Contents第七節(jié)函數(shù)的連續(xù)性三、函數(shù)的間斷點(diǎn)四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C2.間斷點(diǎn)的分類(lèi)1.間斷點(diǎn)的定義目錄/Contents三、函數(shù)的間斷點(diǎn)1.間斷點(diǎn)的定義三、函數(shù)的間斷點(diǎn)（2）雖然有定義，但不存在；（3）雖然有定義，但極限值不等于函數(shù)值，定義1.26若函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)，顯然，（1）在處沒(méi)有定義；稱(chēng)為的間斷點(diǎn).則點(diǎn)如果有下列三種情形中的任何一種發(fā)生，就是函數(shù)的間斷點(diǎn).則點(diǎn)存在，且.即2.間斷點(diǎn)的分類(lèi)定義1.27三、函數(shù)的間斷點(diǎn)則稱(chēng)點(diǎn)為的第一類(lèi)可去間斷點(diǎn).則稱(chēng)點(diǎn)為的第一類(lèi)跳躍間斷點(diǎn).若函數(shù)當(dāng)時(shí)，等于函數(shù)值(或函數(shù)值無(wú)定義)，除了第一類(lèi)間斷點(diǎn)外，其它間斷點(diǎn)都稱(chēng)為第二類(lèi)間斷點(diǎn).例如，是的第二類(lèi)間斷點(diǎn)是的第二類(lèi)間斷點(diǎn)若函數(shù)

當(dāng)

時(shí)，左右極限都存在但不相等，極限都存在且相等，左右即極限存在，但不無(wú)窮間斷點(diǎn)）；（常稱(chēng)為振蕩間斷點(diǎn)）.（常稱(chēng)為求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)，并指明其類(lèi)型：【例5】(1)

.三、函數(shù)的間斷點(diǎn)所以是的第一類(lèi)可去間斷點(diǎn).即當(dāng)時(shí)，為無(wú)窮小量，由于，解在處無(wú)定義.為有界函數(shù)，而可見(jiàn)(2)

三、函數(shù)的間斷點(diǎn)求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)，并指明其類(lèi)型：【例5】.所以是的第一類(lèi)跳躍間斷點(diǎn)解它是分段函數(shù)，可見(jiàn)，須考察分段點(diǎn)處，只由于極限都存在但不相等，左右(3)

三、函數(shù)的間斷點(diǎn)求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)，并指明其類(lèi)型：【例5】解它是初等函數(shù)，考察處，考察，所以，是第一類(lèi)可去間斷點(diǎn).所以，是第二類(lèi)間斷點(diǎn)（無(wú)窮間斷點(diǎn)）.為，定義域，處無(wú)定義.在因?yàn)橐驗(yàn)閑7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)一、函數(shù)連續(xù)的概念目錄/Contents第七節(jié)函數(shù)的連續(xù)性三、函數(shù)的間斷點(diǎn)四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)如圖1.29所示.圖1.29定理1.21（有界定理）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，定理1.22（最值定理）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，值和最小值，使得對(duì)一切，在上有界.則在上一定有最大則，即至少存在均有mξ1Mξ2yOabxy=f(x)如圖1.30所示.圖1.30四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)注意定理的條件如果不滿(mǎn)足，則最大值和最小值就不一定存在.例如在開(kāi)區(qū)間就找不到最大值與最小值；在上由于不連續(xù)，也不存在最大值和最小值.定理1.23（介值定理）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，與分別為在上的最大值與最小值，則對(duì)任意介于與之間的實(shí)數(shù)，在上至少存在一點(diǎn)，使得ξ1ξ2yOabxmMc【例6】.四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)由價(jià)值定理可知，證明：在上至少存在一點(diǎn)若在內(nèi)連續(xù)，證明由于在內(nèi)連續(xù)，且，由最值定理可知，在上有最大值和最小值，于是有，，且在上連續(xù).顯然即得上至少存在一點(diǎn)，在使得，使得見(jiàn)圖1.31所示..四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)從幾何圖形上看，表明此時(shí)曲線與軸至少有一個(gè)交點(diǎn).該定理的結(jié)論表示了方程在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.則在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，且與異號(hào)，定理1.24

（零值定理）設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，，即使得圖1.31yOxba證明方程

至少有一個(gè)小于

的正根.【例7】.，四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)使得，證明設(shè)，在上連續(xù)，于是，顯然，且由零值定理可知，內(nèi)至少存在一點(diǎn)，在至少有一個(gè)小于的正根.即方程【例8】證明證明方程在區(qū)間

，，

內(nèi)各有一根.四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)設(shè)

，顯然，分別在

，

，

上連續(xù)，且由零值定理可知存在，，，使得四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)【例8】這表明方程在區(qū)間，，內(nèi)至少各有一根，但三次方程最多有三個(gè)根，，內(nèi)各有一根.在區(qū)間，故方程e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF096