第二章極限與連續(xù)高等數(shù)學(xué)（一）§2.1數(shù)列的極限§2.2函數(shù)的極限§2.3無(wú)窮大量與無(wú)窮小量§2.4極限的運(yùn)算法則§2.5兩個(gè)重要的極限§2.6利用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限§2.8函數(shù)的連續(xù)性第二章§2.7利用Mathematica求極限三.極限定義及定理小結(jié)四.函數(shù)極限的基本性質(zhì)§2.2函數(shù)的極限由于數(shù)列實(shí)際上可以看成是定義域?yàn)檎麛?shù)域的函數(shù),所以,可望將數(shù)列的極限理論推廣到函數(shù)中,并用極限理論研究函數(shù)的變化情形.的圖形可以看出:如何描述它？將圖形對(duì)稱(chēng)過(guò)去后,你有什么想法?將圖形對(duì)稱(chēng)現(xiàn)在從整體上來(lái)看這個(gè)圖形,你有什么想法?由此得出一個(gè)極限的定義和一個(gè)重要的定理.現(xiàn)在從整體上來(lái)看這個(gè)圖形,你有什么想法?定理及極限的三個(gè)定義即可證明該定理.由絕對(duì)值關(guān)系式:用定義證明：證:取因此注:就有故欲使即例1

x

x0

時(shí)函數(shù)的極限,是描述當(dāng)x無(wú)限接近

x0

時(shí),

函數(shù)f(x)的變化趨勢(shì).f(x)在點(diǎn)x0=1處有定義.函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0=1處沒(méi)有定義.例1證這是證明嗎？非常非常嚴(yán)格！例2證例3在極限定義中：1)

與

和x0有關(guān),即

=

(

,x0).一般說(shuō)來(lái),

值越小,相應(yīng)的

值也越小.

2)不等式|f(x)－a|<

既要對(duì)任意的

>0,同時(shí)也要對(duì)x

x0以任何方式進(jìn)行都成立.3)函數(shù)f(x)以a為極限,但函數(shù)f(x)本身可以不取其極限值a.y=a

y=a

y=axOyx0x0

x0+

曲線(xiàn)只能從該矩形的左右兩邊穿過(guò)考慮兩個(gè)問(wèn)題.y=a

y=a

y=axOyx0x0+

函數(shù)在x0的左邊可以無(wú)定義想想這種情形下,函數(shù)有極限嗎?如何描述這種情形？想想這種情形下,函數(shù)有極限嗎?y=a

y=a

y=axOyx0x0

函數(shù)在x0的右邊可無(wú)定義如何描述這種情形？3.函數(shù)的左、右極限定義右極限定義左極限(1)左、右極限均存在,且相等；(2)左、右極限均存在,但不相等；(3)左、右極限中至少有一個(gè)不存在.找找例題！函數(shù)在點(diǎn)x0處的左、右極限可能出現(xiàn)以下三種情況之一：y=f(x)xOy11在x=1處的左、右極限.解例4定理利用|x

x0|<

<x

x0<

和極限的定義,即可證得.解例5解例6三、極限定義及定理小結(jié)極限定義一覽表目標(biāo)不等式過(guò)程描述度量極限形式極限定義一覽表目標(biāo)不等式過(guò)程描述度量極限形式重要定理在以后的敘述中,如果函數(shù)f(x)極限的某種性質(zhì)與運(yùn)算對(duì)任何一種極限過(guò)程均成立,則將使表示對(duì)任意一種極限過(guò)程的函數(shù)用符號(hào)四、函數(shù)極限的基本性質(zhì)極限.1.有界性定理若limf(x)存在,則函數(shù)f(x)在該極限過(guò)程中必有界.2.唯一性定理若limf(x)存在,則極限值必唯一.3.保號(hào)性定理定理1.若且A>0,證:已知即當(dāng)時(shí),有當(dāng)A>0時(shí),取正數(shù)則在對(duì)應(yīng)的鄰域上(<0)則存在(A<0)(P48定理6)定理2.若在的某去心鄰域內(nèi),且則證:用反證法.則由定理1,的某去心鄰域,使在該鄰域內(nèi)與已知所以假設(shè)不真,(同樣可證的情形)思考:若定理2中的條件改為是否必有不能!存在如假設(shè)A<0,條件矛盾,故(P4