第4講萬有引力定律及應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解開普勒三定律內(nèi)容，會(huì)用開普勒第三定律進(jìn)行相關(guān)計(jì)算。2.理解萬有引力定律的內(nèi)容，知道適用范圍。3.掌握計(jì)算天體質(zhì)量和密度的方法?？键c(diǎn)一開普勒三定律的理解和應(yīng)用開普勒三大定律定律內(nèi)容圖示或公式開普勒第一定律(軌道定律)所有行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上開普勒第二定律(面積定律)對(duì)任意一個(gè)行星來說，它與太陽的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等開普勒第三定律(周期定律)所有行星軌道的半長軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比都相等a3T2=k注意1.行星繞太陽的運(yùn)動(dòng)通常按圓軌道處理。2.開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律也適用于其他天體，例如月球、衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動(dòng)。3.開普勒第三定律a3T2=k中，k值只與中心天體的質(zhì)量有關(guān)，思考1.已知同一行星在軌道的兩個(gè)位置的速度:近日點(diǎn)速度大小為v1，遠(yuǎn)日點(diǎn)速度大小為v2，近日點(diǎn)距太陽距離為r1，遠(yuǎn)日點(diǎn)距太陽距離為r2。(1)v1與v2大小什么關(guān)系?(2)試推導(dǎo)v1v2提示(1)v1>v2。(2)由開普勒第二定律可得12Δl1r1=12Δl2r2，則有12v1Δt·r1=12v2Δt·r2，可得2.把行星繞太陽運(yùn)行的軌道近似為圓軌道，試求k的值。提示由GMmr2=m4π2T2r得r3T例1(2024·安徽卷，5)2024年3月20日，我國探月工程四期鵲橋二號(hào)中繼星成功發(fā)射升空。當(dāng)?shù)诌_(dá)距離月球表面某高度時(shí)，鵲橋二號(hào)開始進(jìn)行近月制動(dòng)，并順利進(jìn)入捕獲軌道運(yùn)行，如圖所示，軌道的半長軸約為51900km。后經(jīng)多次軌道調(diào)整，進(jìn)入凍結(jié)軌道運(yùn)行，軌道的半長軸約為9900km，周期約為24h。則鵲橋二號(hào)在捕獲軌道運(yùn)行時(shí)()A.周期約144hB.近月點(diǎn)的速度大于遠(yuǎn)月點(diǎn)的速度C.近月點(diǎn)的速度小于在凍結(jié)軌道運(yùn)行時(shí)近月點(diǎn)的速度D.近月點(diǎn)的加速度大于在凍結(jié)軌道運(yùn)行時(shí)近月點(diǎn)的加速度答案B解析凍結(jié)軌道和捕獲軌道的中心天體是月球，根據(jù)開普勒第三定律得a13T12=a23T22，整理得T1=T2a13a23=288h，A錯(cuò)誤;根據(jù)開普勒第二定律得，近月點(diǎn)的速度大于遠(yuǎn)月點(diǎn)的速度，B正確;例2(2024·山東卷，5)鵲橋二號(hào)中繼星環(huán)繞月球運(yùn)行，其24小時(shí)橢圓軌道的半長軸為a。已知地球同步衛(wèi)星的軌道半徑為r，則月球與地球質(zhì)量之比可表示為()A.r3a3 B.a3答案D解析鵲橋二號(hào)中繼星在24小時(shí)橢圓軌道上運(yùn)行時(shí)，由開普勒第三定律有a3T2=k，對(duì)地球同步衛(wèi)星由開普勒第三定律有r3T2=k'，則有M月考點(diǎn)二萬有引力定律的理解和應(yīng)用1.萬有引力定律(1)內(nèi)容自然界中任何兩個(gè)物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質(zhì)量m1和m2的乘積成正比，與它們之間距離r的二次方成反比。即F=Gm1m2r2，G為引力常量，通常取G=6.67×10－11N·m2(2)適用條件①公式適用于質(zhì)點(diǎn)間的相互作用，當(dāng)兩個(gè)物體間的距離遠(yuǎn)大于物體本身的大小時(shí)，物體可視為質(zhì)點(diǎn)。②質(zhì)量分布均勻的球體可視為質(zhì)點(diǎn)，r是兩球心間的距離。2.星體表面及上空的重力加速度(以地球?yàn)槔?(1)在地球表面附近的重力加速度大小g(不考慮地球自轉(zhuǎn)):由mg=GMmR2，得g=(2)地球上空的重力加速度g'在地球上空距離地心r=R+h處的重力加速度g':由mg'=GMm(R+h)23.萬有引力的“兩個(gè)推論”推論1:在勻質(zhì)球殼空腔內(nèi)的任意位置處，質(zhì)點(diǎn)受到球殼的萬有引力的合力為零，即∑F引=0。推論2:在勻質(zhì)球體內(nèi)部距離球心r處的質(zhì)點(diǎn)(m)受到的萬有引力等于球體內(nèi)半徑為r的同心球體(M')對(duì)其的萬有引力，即F=GM'mr判斷正誤(1)地球?qū)θ说娜f有引力大于人對(duì)地球的萬有引力。(×)(2)地面上的物體所受地球的萬有引力方向一定指向地心。(√)(3)兩物體間的距離趨近于零時(shí)，萬有引力趨近于無窮大。(×)例3(2024·全國甲卷，16)2024年5月，嫦娥六號(hào)探測(cè)器發(fā)射成功，開啟了人類首次從月球背面采樣返回之旅。將采得的樣品帶回地球，飛行器需經(jīng)過月面起飛、環(huán)月飛行、月地轉(zhuǎn)移等過程。月球表面自由落體加速度約為地球表面自由落體加速度的16。下列說法正確的是(A.在環(huán)月飛行時(shí)，樣品所受合力為零B.若將樣品放置在月球正面，它對(duì)月球表面壓力等于零C.樣品在不同過程中受到的引力不同，所以質(zhì)量也不同D.樣品放置在月球背面時(shí)對(duì)月球的壓力，比放置在地球表面時(shí)對(duì)地球的壓力小答案D解析在環(huán)月飛行時(shí)，樣品所受的合力提供向心力，不為零，A錯(cuò)誤;若將樣品放置在月球正面，根據(jù)牛頓第三定律可知，它對(duì)月球表面的壓力等于月球?qū)λ闹С至Γ鶕?jù)力的平衡條件可知，月球?qū)λ闹С至Φ扔谒谠虑蛏系闹亓?，不為零，故它?duì)月球表面的壓力不為零，B錯(cuò)誤;質(zhì)量是物體的固有屬性，不會(huì)隨受到的引力的變化而變化，C錯(cuò)誤;由于月球表面重力加速度較地球表面的小，則樣品在月球表面所受重力較在地球表面的小，結(jié)合B項(xiàng)分析可知，樣品放置在月球背面時(shí)對(duì)月球的壓力較其放在地球表面時(shí)對(duì)地球的壓力小，D正確。例4(2025·江蘇南通聯(lián)考)如圖所示一半徑為R、質(zhì)量均勻分布的球體，從中挖去直徑為R的球體，虛線過兩球的球心，一質(zhì)點(diǎn)分別位于圖中的1、2、3點(diǎn)時(shí)，受到球體的萬有引力分別為F1、F2、F3，則有()A.F1<F2=F3 B.F1<F2<F3 C.F1=F2=F3 D.F1=F2<F3答案D解析設(shè)球體的密度為ρ，則沒有挖去小球體前的質(zhì)量為M=ρ·43πR3，被挖去的小球體質(zhì)量為M'=ρ·43πR23=18M，根據(jù)萬有引力定律可得F1=GMmR2－GM'mR22=GMm2R2，F(xiàn)3=GMmR2－GM'm3R22=17GMm18R2，例5(2025·云南昆明聯(lián)考)我國航天科學(xué)家在進(jìn)行深空探索的過程中發(fā)現(xiàn)有顆星球具有和地球一樣的自轉(zhuǎn)特征。如圖所示，假設(shè)該星球繞AB軸自轉(zhuǎn)，CD所在的赤道平面將星球分為南北半球，OE連線與赤道平面的夾角為30°。經(jīng)測(cè)定，A位置的重力加速度為g，D位置的重力加速度為34g，則E位置的向心加速度為(A.38g B.38g C.14g答案B解析A位置的重力加速度由萬有引力提供得GMmR2=mg，D位置萬有引力提供重力加速度和向心加速度GMmR2=m×34g+mω2R，E位置的向心加速度an=ω2r=ω2Rcos30°=32ω2R=萬有引力與重力的關(guān)系地球?qū)ξ矬w的萬有引力F表現(xiàn)為兩個(gè)效果:一是物體的重力mg，二是提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力Fn，如圖所示。(1)在赤道:GMmR2=mg1+mω2(2)在兩極:GMmR2=mg(3)在一般位置:萬有引力GMmR2等于重力mg與向心力Fn的矢量和。越靠近兩極，向心力越小，g值越大。由于物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力較小，常認(rèn)為萬有引力近似等于重力，即GMmR例6(2024·河南南陽高三期末)若地球可視為半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體，且均勻球殼對(duì)殼內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的引力為零，地球表面的重力加速度為g，則地面以下深為0.4R處的重力加速度大小為()A.0.16g B.0.36g C.0.4g D.0.6g答案D解析設(shè)地球的密度為ρ，則在地球表面有GMmR2=mg，M=ρ·43πR3，地面以下深0.4R處的重力加速度相當(dāng)于半徑為0.6R的球體表面的重力加速度，即GM'm(0.6R)2=mg'，M'=ρ·43π(0.6R)3，考點(diǎn)三天體質(zhì)量和密度的計(jì)算1.利用天體表面重力加速度已知天體表面的重力加速度g和天體半徑R。(1)由GMmR2=mg，得天體質(zhì)量M=(2)天體密度ρ=MV=M432.利用運(yùn)行天體已知衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r和周期T。(1)由GMmr2=m4π2T2r(2)若已知天體的半徑R，則天體的密度ρ=MV=M43(3)若衛(wèi)星繞天體表面運(yùn)行，可認(rèn)為軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ=3πGT2，故只要測(cè)出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動(dòng)的周期例7(2025·湖南邵陽模擬)2023年4月24日，中國首次探測(cè)火星全球影像圖在第八個(gè)中國航天日發(fā)布。其中，國際天文學(xué)聯(lián)合會(huì)還將天問一號(hào)著陸點(diǎn)附近的22個(gè)地理實(shí)體以中國歷史文化名村和名鎮(zhèn)命名，將中國標(biāo)識(shí)永久刻印在火星上?；鹦前霃綖镽0，火星表面處重力加速度為g0?；鹦呛偷厍虻陌霃街燃s為1∶2，表面重力加速度之比約為2∶5，忽略火星、地球自轉(zhuǎn)，則地球和火星的密度之比約為()A.4∶5 B.5∶4 C.5∶1 D.1∶5答案B解析根據(jù)萬有引力與重力的關(guān)系GMmR2=mg，可得M=gR2G，體積為V=43πR3，則密度為ρ=MV=3g4πGR，地球和火星的密度之比約為ρ例8(2024·海南卷，6)嫦娥六號(hào)進(jìn)入環(huán)月圓軌道，周期為T，軌道高度與月球半徑之比為k，引力常量為G，則月球的平均密度為()A.3π(1+k)3C.π(1+k)3G答案D解析萬有引力提供向心力，有GMm(R+h)2限時(shí)作業(yè)(限時(shí):35分鐘)基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練對(duì)點(diǎn)練1開普勒三定律的理解和應(yīng)用1.(2025·八省聯(lián)考內(nèi)蒙古卷，3)紫金山—阿特拉斯彗星由紫金山天文臺(tái)首次發(fā)現(xiàn)，其繞太陽運(yùn)行周期約為6萬年。該彗星軌道的半長軸與日地平均距離的比值約為()A.1.5×103 B.1.5×104 C.1.5×106 D.1.5×107答案A解析由開普勒第三定律a3T慧2=r地3T地2，可得該彗星軌道的半長軸與日地平均距離的比值為ar地=2.(多選)(2025·寧夏平羅中學(xué)高三月考)經(jīng)過71年的長途跋涉，編號(hào)為12P/Pons－Brooks的彗星(以下簡稱12P彗星)于2024年4月21日通過近日點(diǎn)。若只考慮12P慧星與太陽的作用力，下列說法正確的是()A.太陽處在12P彗星橢圓軌道的中心點(diǎn)上B.12P彗星在近日點(diǎn)的速度比在遠(yuǎn)日點(diǎn)的速度大C.12P彗星軌道半長軸的三次方與它公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值是一個(gè)定值D.在遠(yuǎn)離太陽的過程中，12P彗星與太陽的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過的面積逐漸增大答案BC解析根據(jù)開普勒第一定律可知，太陽處在12P彗星橢圓軌道的焦點(diǎn)上，選項(xiàng)A錯(cuò)誤;根據(jù)開普勒第二定律可知，12P彗星在近日點(diǎn)的速度比在遠(yuǎn)日點(diǎn)的速度大，選項(xiàng)B正確;根據(jù)開普勒第三定律可知，12P彗星軌道半長軸的三次方與它公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值是一個(gè)定值，選項(xiàng)C正確;根據(jù)開普勒第二定律可知，在遠(yuǎn)離太陽的過程中，12P彗星與太陽的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。對(duì)點(diǎn)練2萬有引力定律的理解和應(yīng)用3.(2025·陜西西安高三開學(xué)考)2024年4月，神舟十八號(hào)飛船航天員乘組攜帶“水生密閉生態(tài)實(shí)驗(yàn)?zāi)K”進(jìn)入中國空間站“問天”實(shí)驗(yàn)艙，實(shí)施國內(nèi)首次在軌水生生態(tài)系統(tǒng)研究項(xiàng)目。該模塊主體為一個(gè)充滿水的“太空魚缸”，其中有金魚藻和4條斑馬魚。該系統(tǒng)在軌運(yùn)行期間，忽略空間站受到的空氣摩擦力和地球之外的天體引力，則()A.斑馬魚受到浮力、地球引力和向心力B.斑馬魚受到的浮力與地球引力大小相等，方向相反C.斑馬魚所受向心力來自地球引力D.斑馬魚所受地球引力與其在地面所受引力大小相等答案C解析浮力產(chǎn)生的原因?yàn)橐好娌煌叨鹊膲毫Σ?，空間站繞地穩(wěn)定飛行時(shí)，地球?qū)λ娜f有引力提供向心力，處于完全失重狀態(tài)，液面沒有壓力差，所以斑馬魚只受萬有引力作用，不受浮力作用，故A、B錯(cuò)誤，C正確;根據(jù)萬有引力表達(dá)式F=GMmr2，可知，斑馬魚所在軌道的半徑更大，所以其所受地球引力比其在地面所受引力大小更小，故4.(2025·江蘇鎮(zhèn)江聯(lián)考)如圖所示，在半徑為R均勻質(zhì)量分布的某個(gè)球形天體中，挖去一半徑為R2的球形，形成的空穴跟球形天體相切。另一均勻小球，其球心位于跟空穴中心連線上的A處，小球球心與球形空穴中心距離為d=2R，引力常量為G，已知兩個(gè)球之間的萬有引力大小為F0?，F(xiàn)將小球向左移動(dòng)使得d=3R2，這時(shí)兩球間的引力F與F0的比值約等于A.1.5 B.2.5 C.3.8 D.4.6答案A解析假設(shè)球體完整，對(duì)小球的萬有引力為F1=GMm2R+R22=4GMm25R2，挖去部分對(duì)小球的萬有引力為F2=G18Mm(2R)2=GMm32R2，剩余部分球體對(duì)小球的萬有引力為F0=F1－F2=103800GMmR2，當(dāng)小球向左移動(dòng)使得d=32R時(shí)，同理假設(shè)球體完整，對(duì)小球的萬有引力為F3=GMm3R2+R22=GMm5.(2025·浙江金華一中月考)某星系中有一顆質(zhì)量分布均勻的行星，其半徑為R，將一質(zhì)量為m的物塊懸掛在彈簧測(cè)力計(jì)上，在該行星極地表面靜止時(shí)，彈簧測(cè)力計(jì)的示數(shù)為F;在赤道表面靜止時(shí)，彈簧測(cè)力計(jì)的示數(shù)為34F。已知引力常量為G。下列說法正確的是(A.該行星的自轉(zhuǎn)周期為4B.該行星的質(zhì)量為FC.該行星赤道處的重力加速度為FD.該行星的密度為3答案D解析物塊在該行星極地表面靜止時(shí)，萬有引力等于重力GMmR2=mg極=F，在赤道表面靜止時(shí)，萬有引力和重力的合力提供向心力GMmR2－mg赤=Fn，其中mg赤=34F，聯(lián)立解得Fn=14F。根據(jù)向心力公式Fn=m4π2T2R可得，該行星的自轉(zhuǎn)周期為T=16π2mRF，故A錯(cuò)誤;物塊在該行星極地表面靜止時(shí)，萬有引力等于重力GMmR2=mg極=F，解得M=FR2Gm，故B錯(cuò)誤;在赤道表面靜止時(shí)，根據(jù)平衡條件，重力等于彈簧測(cè)力計(jì)的拉力，即mg赤=34F，解得g赤=3F4m，故6.(2025·貴州貴陽高三期末)在劉慈欣的科幻小說《帶上她的眼睛》里闡述了這樣一個(gè)故事:“落日六號(hào)”地層飛船深入地球內(nèi)部進(jìn)行探險(xiǎn)，在航行中失事后下沉，船上只剩下一名年輕的女領(lǐng)航員，她只能在封閉的地心度過余生。已知地球可視為半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體，且均勻球殼對(duì)殼內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的引力為零。若近地衛(wèi)星的周期為T，當(dāng)?shù)貙语w船“落日六號(hào)”在地面以下距離地心0.5R的圓形軌道上做無動(dòng)力(只受萬有引力)勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，其運(yùn)行周期為()A.14T B.12T C.T答案C解析近地衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的萬有引力提供向心力GMmR2=m4π2RT2，解得T=4π2R3GM，飛船做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑減半，根據(jù)地球的質(zhì)量公式M=ρV=ρ·43πR3，可知地層飛船做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，其對(duì)應(yīng)的中心天體半徑減半，則對(duì)應(yīng)中心天體質(zhì)量變?yōu)橹暗?8，類比于近地衛(wèi)星，對(duì)點(diǎn)練3天體質(zhì)量和密度的計(jì)算7.(2025·八省聯(lián)考河南卷，3)水星是太陽系中距離太陽最近的行星，其平均質(zhì)量密度與地球的平均質(zhì)量密度可視為相同。已知水星半徑約為地球半徑的38，則靠近水星表面運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星與地球近地衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度之比約為(A.64∶9 B.8∶3 C.3∶8 D.9∶64答案C解析由萬有引力提供向心力有GMmR2=mv2R，又M=ρ·V，V=43πR3，聯(lián)立解得v=2RGπρ3∝R，所以v8.(2024·新課標(biāo)卷，16)天文學(xué)家發(fā)現(xiàn)，在太陽系外的一顆紅矮星有兩顆行星繞其運(yùn)行，其中行星GJ1002c的軌道近似為圓，軌道半徑約為日地距離的0.07倍，周期約為0.06年，則這顆紅矮星的質(zhì)量約為太陽質(zhì)量的()A.0.001倍 B.0.1倍 C.10倍 D.1000倍答案B解析設(shè)行星質(zhì)量為m，軌道半徑為r1，周期為T1，紅矮星質(zhì)量為M1，由萬有引力提供向心力有GM1mr12=m2πT12r1，可得M1=4π2r13GT12;同理可得太陽質(zhì)量M2=4π2r23綜合提升練9.(2025·河北名校聯(lián)考)2023年9月21日，我國神舟十六號(hào)航天員景海鵬、朱楊柱、桂海潮在天宮空間站進(jìn)行第四次“天宮課堂”授課。一天文愛好者在觀看“天宮課堂”第四課的同時(shí)，根據(jù)觀測(cè)記錄測(cè)出天宮空間站繞地球飛行相對(duì)地心轉(zhuǎn)過θ角所用時(shí)間是t。若天宮空間站運(yùn)行軌道視為圓軌道，天宮空間站距地面高度為地球半徑的k倍，引力常量為G。則地球的密度表達(dá)式為()A.4t2(kC.3θ2(k答案D解析由題意可知天宮空間站運(yùn)動(dòng)的角速度為ω=θt，根據(jù)GMmr2=mω2r，設(shè)地球半徑為R，又r=(1+k)R，地球的質(zhì)量M=43πρR3，聯(lián)立解得地球的密度ρ=310.(2024·浙江6月選考，8)與地球公轉(zhuǎn)軌道“外切”的小行星甲和“內(nèi)切”的小行星乙的公轉(zhuǎn)軌道如圖所示，假設(shè)這些小行星與地球的公轉(zhuǎn)軌道都在同一平面內(nèi)，地球的公轉(zhuǎn)半徑為R，小行星甲的遠(yuǎn)日點(diǎn)到太陽的距離為R1，小行星乙的近日點(diǎn)到太陽的距離為R2，則()A.小行星甲在遠(yuǎn)日點(diǎn)的速度大于近日點(diǎn)的速度B.小行星乙在遠(yuǎn)日點(diǎn)的加速度小于地球公轉(zhuǎn)加速度C.小行星甲與乙的運(yùn)行周期之比T1TD.甲、乙兩星從遠(yuǎn)日點(diǎn)到近日點(diǎn)的時(shí)間之比t1t答案D解析由開普勒第二定律可知