增分微點(diǎn)8帶電粒子在立體空間的運(yùn)動考點(diǎn)帶電粒子在不同平面的直線(或類平拋)運(yùn)動和圓周運(yùn)動電場方向與磁場方向既不平行,也不垂直,兩者成一定角度,帶電粒子在電場中的運(yùn)動軌跡與在磁場中的運(yùn)動軌跡不在同一平面內(nèi),此類題目要注意轉(zhuǎn)換視角,找到粒子運(yùn)動軌跡所在平面。例1(多選)(2025·廣東惠州模擬)如圖所示,長方體OMPQ-O1M1P1Q1所在空間存在與MO1方向平行的勻強(qiáng)磁場,一粒子源無初速度釋放一質(zhì)量為m、帶電荷量為+q(q>0)的帶電粒子,經(jīng)電壓U加速后,從O點(diǎn)沿OQ方向射入磁場區(qū)域,并從P1點(diǎn)離開長方體區(qū)域。已知長方體OM、OO1邊的長度均為d,OQ的長度為3d,不計粒子的重力及其相互作用,下列說法正確的是()A.粒子進(jìn)入磁場區(qū)域的初速度為2B.磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為4C.若減小加速電壓U,粒子可能從M1射出D.若增加加速電壓U,粒子可能從M1P1中點(diǎn)射出答案ABC解析粒子在電場中被加速,則有qU=12mv2,解得v=2qUm,選項(xiàng)A正確;進(jìn)入磁場后粒子在平面OM1P1Q內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動,則r2=(3d)2+(r-2d)2,qvB=mv2r,解得B=45dmUq,選項(xiàng)B正確;若減小加速電壓U,則粒子射入磁場時的速度減小,運(yùn)動半徑減小,則粒子可能從M1射出,選項(xiàng)C正確;若增加加速電壓U,則粒子射入磁場時的速度變大,運(yùn)動半徑變大,則粒子從QP1連線上某點(diǎn)射出,不可能從M考點(diǎn)帶電粒子的螺旋線運(yùn)動和旋進(jìn)運(yùn)動關(guān)于此類問題,現(xiàn)在主要討論兩種情況:(1)空間中只存在勻強(qiáng)磁場,當(dāng)帶電粒子的速度方向與磁場的方向不平行也不垂直時,帶電粒子在磁場中就做螺旋線運(yùn)動。這種運(yùn)動可分解為平行于磁場方向的勻速直線運(yùn)動和垂直于磁場平面的勻速圓周運(yùn)動。(2)空間中的勻強(qiáng)磁場和勻強(qiáng)電場(或重力場)平行時,帶電粒子在一定的條件下就可以做旋進(jìn)運(yùn)動,這種運(yùn)動可分解為平行于磁場方向的勻變速直線運(yùn)動和垂直于磁場平面的勻速圓周運(yùn)動。例2(2025·江蘇蘇州模擬)圖甲為洛倫茲力演示儀,調(diào)節(jié)玻璃泡角度使電子束在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動軌跡呈“螺旋”狀。圖乙為電子運(yùn)動軌跡示意圖,空間存在平行x軸的勻強(qiáng)磁場,在xOy平面內(nèi)由坐標(biāo)原點(diǎn)以初速度v0將電子射入磁場,方向與x軸正方向成α角(α<90°),螺旋線的直徑為D、螺距為Δx,則下列關(guān)系式正確的是()A.sinα=ΔxD B.sinαC.tanα=ΔxπD D.tan答案D解析電子在zOy平面做勻速圓周運(yùn)動,周期為T=2πmqB,電子沿x方向做勻速直線運(yùn)動,則有Δx=v0cosα·T=v0cosα·2πmqB,沿z方向有D=2r=2mv0sinαqB,聯(lián)立可得tan例3(2024·湖南卷,14)如圖,有一內(nèi)半徑為2r、長為L的圓筒,左右端面圓心O'、O處各開有一小孔。以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),取O'O方向?yàn)閤軸正方向建立xyz坐標(biāo)系。在筒內(nèi)x≤0區(qū)域有一勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,方向沿x軸正方向;筒外x≥0區(qū)域有一勻強(qiáng)電場,電場強(qiáng)度大小為E,方向沿y軸正方向。一電子槍在O'處向圓筒內(nèi)多個方向發(fā)射電子,電子初速度方向均在xOy平面內(nèi),且在x軸正方向的分速度大小均為v0。已知電子的質(zhì)量為m、電荷量為e,設(shè)電子始終未與筒壁碰撞,不計電子之間的相互作用及電子的重力。(1)若所有電子均能經(jīng)過O進(jìn)入電場,求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的最小值;(2)取(1)問中最小的磁感應(yīng)強(qiáng)度B,若進(jìn)入磁場中電子的速度方向與x軸正方向最大夾角為θ,求tanθ的絕對值;(3)取(1)問中最小的磁感應(yīng)強(qiáng)度B,求電子在電場中運(yùn)動時y軸正方向的最大位移。答案(1)2πmv0eL(2)解析(1)將電子的初速度分解為沿x軸方向的速度v0和沿y軸方向的速度vy0,則電子做沿x軸正方向的勻速直線運(yùn)動和投影到y(tǒng)Oz平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動,又電子做勻速圓周運(yùn)動的周期為T=2πmeB,電子均能經(jīng)過O進(jìn)入電場Lv0=nT(n=1,2,3,聯(lián)立解得B=2nπmv0eL(n=1,當(dāng)n=1時,Bmin=2πm(2)由于電子始終未與筒壁碰撞,則電子投影到y(tǒng)Oz平面內(nèi)的圓周運(yùn)動的最大半徑為r,由洛倫茲力提供向心力有evy0maxBmin=mv則|tanθ|=vy0maxv(3)電子在電場中做類斜拋運(yùn)動,當(dāng)電子運(yùn)動到O點(diǎn)時沿y軸正方向的分速度大小為vy0max時,電子在電場中運(yùn)動的y軸正方向的位移最大,由牛頓第二定律有eE=ma由速度位移公式有2aym=v聯(lián)立解得ym=2m針對訓(xùn)練如圖所示,質(zhì)子以初速度v進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B且足夠大的勻強(qiáng)磁場中,速度方向與磁場方向的夾角為θ。已知質(zhì)子的質(zhì)量為m、電荷量為e。質(zhì)子重力不計,則下列說法正確的是()A.質(zhì)子運(yùn)動的軌跡為螺旋線,螺旋線的中軸線方向垂直于紙面向里B.質(zhì)子在垂直于磁場平面做圓周運(yùn)動的半徑為mvC.質(zhì)子做螺旋線運(yùn)動的周期為2πD.一個周期內(nèi),質(zhì)子沿著螺旋線軸線方向運(yùn)動的距離(即螺距)為2π答案D解析將質(zhì)子的初速度分解為垂直于磁場方向的速度v1=vsinθ,沿磁場方向的速度v2=vcosθ,質(zhì)子沿垂直磁場方向做勻速圓周運(yùn)動,沿磁場方向做勻速直線運(yùn)動,則質(zhì)子運(yùn)動的軌跡為螺旋線,螺旋線的中軸線方向平行磁場方向,選項(xiàng)A錯誤;質(zhì)子做螺旋線運(yùn)動的半徑為r=mv1eB=mvsinθeB,選項(xiàng)B錯誤;質(zhì)子做螺旋線運(yùn)動的周期為T=2πrv1=2πmeB,選項(xiàng)C錯誤;一個周期內(nèi),質(zhì)子沿著螺旋線軸線方向運(yùn)動的距離(即螺距)為x1.(2022·重慶卷,5)2021年中國全超導(dǎo)托卡馬克核聚變實(shí)驗(yàn)裝置創(chuàng)造了新的紀(jì)錄。為粗略了解等離子體在托卡馬克環(huán)形真空室內(nèi)的運(yùn)動狀況,某同學(xué)將一小段真空室內(nèi)的電場和磁場理想化為方向均水平向右的勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場(如圖),電場強(qiáng)度大小為E,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。若某電荷量為q的正離子在此電場和磁場中運(yùn)動,其速度平行于磁場方向的分量大小為v1,垂直于磁場方向的分量大小為v2,不計離子重力,則()A.靜電力的瞬時功率為qEvB.該離子受到的洛倫茲力大小為qv1BC.v2與v1的比值不斷變大D.該離子的加速度大小不變答案D解析根據(jù)功率的計算公式可知P=Fvcosθ,則靜電力的瞬時功率為P=qEv1,A錯誤;由于v1與磁感應(yīng)強(qiáng)度B平行,則根據(jù)洛倫茲力的計算公式知F洛=qv2B,B錯誤;根據(jù)運(yùn)動的合成與分解可知,離子在垂直于磁場方向做勻速圓周運(yùn)動,沿磁場方向做加速運(yùn)動,則v1增大,v2不變,v2與v1的比值不斷變小,C錯誤;離子受到的安培力不變,靜電力不變,則該離子的加速度大小不變,D正確。2.亥姆霍茲線圈是一對平行的完全相同的圓形線圈。如圖所示,兩線圈通入方向相同的恒定電流,線圈間形成平行于中心軸線O1O2的勻強(qiáng)磁場,沿O1O2建立x軸,一圓形探測屏垂直于x軸放置,其圓心位于x軸上的P點(diǎn)。在線圈間加上平行于x軸的勻強(qiáng)電場,粒子源從x軸上的Q點(diǎn)以垂直于x軸的方向持續(xù)發(fā)射初速度大小為v0的粒子。已知粒子質(zhì)量為m,電荷量為q(q>0),電場強(qiáng)度大小為E,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,電場和磁場均沿x軸正方向,不計粒子重力和粒子間相互作用。若未加電場,粒子在線圈間做勻速圓周運(yùn)動。(1)求未加電場時,粒子做圓周運(yùn)動的半徑r;(2)若要使粒子恰好打在探測屏的中心,求探測屏中心與粒子源間的距離d。答案(1)mv0qB(2)2n2π2mEq解析(1)粒子在磁場中,由洛倫茲力提供向心力可得qv0B=m解得軌道半徑為r=mv(2)粒子在磁場中運(yùn)動的周期T=2π粒子回到x軸時間為t=nT=n2πmqB(n=1,2,3,沿x軸方向有d=12at2,qE=聯(lián)立解得d=2n2π2mEqB2(n=13.(2025·湖南岳陽模擬)在如圖所示的O-xyz三維空間中,x≤0的區(qū)域存在沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場,在x>0區(qū)域內(nèi)存在半圓柱體MNP-M'N'P'空間區(qū)域,半圓柱沿y軸方向足夠高,該區(qū)域內(nèi)存在沿y軸正方向的勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=mv0qL,平面MNN'M'在yOz平面內(nèi),D點(diǎn)(0,0,0)為半圓柱體底面圓心,半圓柱體的半徑為r=L。一質(zhì)量為m、電荷量為+q(q>0)的帶電粒子,從A點(diǎn)(-L,0,0)以初速度大小v0,方向沿著x軸正方向射入勻強(qiáng)電場,經(jīng)過C點(diǎn)(0,L,0)后進(jìn)入半圓柱體磁場區(qū)域,不計粒子的重力。求(1)電場強(qiáng)度E的大小;(2)帶電粒子在半圓柱體內(nèi)運(yùn)動的時間;(3)帶電粒子從半圓柱體射出時的位置坐標(biāo)。答案(1)2mv02qL解析(1)粒子在電場中做類平拋運(yùn)動,有L=v0t,L=12at根據(jù)牛頓第二定律有qE=ma聯(lián)立解得E=2m(2)在磁場中,粒子的運(yùn)動可以分解為垂直y軸方向的勻速圓周運(yùn)動和沿y軸正方向的勻速直線運(yùn)動,垂直磁場方向,根據(jù)洛倫茲力提供向心力qv0B=