第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年遼寧省錦州市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.一包裝箱內(nèi)有12件產(chǎn)品，其中有10件合格品.現(xiàn)從中隨機取出4件，設(shè)取出的4件產(chǎn)品中有X件合格品，則E(X)=(

)A.13 B.23 C.432.已知數(shù)列{an}中，a1=?14A.45 B.54 C.833.在經(jīng)濟學(xué)中，通常把生產(chǎn)成本關(guān)于產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù)稱為邊際成本，設(shè)生產(chǎn)x個單位產(chǎn)品的生產(chǎn)成本函數(shù)是C(x)=8+x28+4lnx，則生產(chǎn)4A.2 B.8 C.10 D.164.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S3=1，A.7 B.9 C.11 D.135.已知P(A?)=13，P(B?A.712 B.724 C.5126.數(shù)列{an}的前n項和為Sn，對一切正整數(shù)n，點(n,Sn)在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上，bnA.2n+1?2n?1 B.2n+3?17.若X～N(0,1)，則P(?1≤X≤1)≈0.6827，P(?2≤X≤2)≈0.9545，P(?3≤X≤3)≈0.9973.今有一批數(shù)量龐大的零件，假設(shè)這批零件的某項質(zhì)量指標為Y(單位：毫米)，且Y～N(5.40,0.052)，現(xiàn)從中隨機抽取10000個，其中恰有K個零件的該項質(zhì)量指標位于區(qū)間(5.35,5.55)，則K的估計值為A.6895 B.8400 C.9545 D.99738.已知函數(shù)f(x)=lnxx，則下列大小關(guān)系正確的是(

)A.f(e)<f(3)<f(2) B.f(e)<f(2)<f(3)

C.f(2)<f(3)<f(e) D.f(3)<f(2)<f(e)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.統(tǒng)計學(xué)里一般用線性相關(guān)系數(shù)衡量兩個變量y與x之間線性相關(guān)性強弱，下列關(guān)于相關(guān)系數(shù)r的敘述中，正確的是(

)A.?1≤r≤1

B.當y與x正相關(guān)時，r>0

C.|r|越小，得出的y與x之間的回歸直線方程越?jīng)]有價值

D.r越大，具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量y與x的線性相關(guān)程度越強10.已知函數(shù)f(x)與其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，設(shè)g(x)=exf(x)，則(

)A.曲線M為函數(shù)f(x)的圖象 B.曲線N為函數(shù)f(x)的圖象

C.函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù) D.函數(shù)g(x)在區(qū)間[a,b]上是減函數(shù)11.已知一組樣本數(shù)據(jù)：?1，a，b，9，其中a≤0，b≥0，將該組數(shù)據(jù)排列，下列關(guān)于該組數(shù)據(jù)結(jié)論正確的是(

)A.排列后得到的新數(shù)列可能既是等比數(shù)列又是等差數(shù)列

B.若排列后得到的新數(shù)列成等比數(shù)列，a和b有4組可能取值

C.若排列后得到的新數(shù)列成等差數(shù)列，a和b有2組可能取值

D.這組數(shù)據(jù)方差的最小值為33三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知隨機變量X服從兩點分布，且P(X=0)=0.4，若Y=3X?2，則P(Y=1)=______．13.寫出數(shù)列1，2，4，7，11，16，…的一個遞推公式：a1=1，______；一個通項公式：______．14.若x∈[e2,+∞),x2+3a四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=ax3+bx+2在x=2處取得極值?14．

(1)求a，b的值；

(2)求曲線y=f(x)在點16.(本小題15分)

某工廠A，B兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)同款產(chǎn)品，若產(chǎn)品按照一、二、三等級分類，則每件可分別獲利20元、18元、16元，現(xiàn)從A，B生產(chǎn)線的產(chǎn)品中各隨機抽取100件進行檢測，結(jié)果統(tǒng)計如圖：一等級非一等級合計A生產(chǎn)線B生產(chǎn)線合計(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù)，完成2×2列聯(lián)表并判斷有95%的把握認為是否為一等級產(chǎn)品與生產(chǎn)線有關(guān)嗎？

(2)以頻率代替概率，分別計算兩條生產(chǎn)線單件產(chǎn)品獲利的方差，以此作為判斷依據(jù)，說明哪條生產(chǎn)線的獲利更穩(wěn)定？

附：K2=n(ad?bcP(0.0500.0100.005k3.8416.6357.87917.(本小題15分)

已知甲、乙兩個箱子中各裝有9個大小相同的球，其中甲箱中有4個紅球、5個白球，乙箱中有2個紅球、7個白球.定義一次“交換”：先從其中一個箱子中隨機摸出一個球放入另一個箱子，再從接收球的箱子中隨機摸出一個球放回原來的箱子.每次“交換”之前先拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，若點數(shù)為1，6，則從甲箱開始進行一次“交換”；若點數(shù)為2，3，4，5，則從乙箱開始進行一次“交換”．

(1)求第一次“交換”后，甲箱中紅球多于白球的概率；

(2)已知第一次“交換”后，甲箱中紅球多于白球.第二次“交換”后，設(shè)乙箱中白球的個數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=axex?2lnx+bx，a，b為實常數(shù)，g(x)=exx，其中e≈2.718．

(1)a=0時，討論f(x)的單調(diào)性；

(2)求g(x)的最值；

(3)a=119.(本小題17分)

已知數(shù)列{an}的首項a1=1，{an}的前n項和為Sn，且Sn+1=2Sn+n+1(n∈N?)．

(1)證明數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列；

(2)令f(x)=a1x+答案解析1.【答案】D

【解析】解：由題可得X服從超幾何分布，

所以E(X)=nMN=4×1012=103．

故選：D．

由超幾何分布的均值公式2.【答案】A

【解析】解：由a1=?14,an+1=1?1an，

可得a2=1?1a1=5，a3=1?1a3.【答案】A

【解析】解：由題可得C′(x)=x4+4x，

所以生產(chǎn)4個單位產(chǎn)品時，C′(4)=44+44=2．

4.【答案】C

【解析】解：設(shè)公差為d，

S6=4，S3=1，

則S6?S3=9d+S3=9d+1=3，即9d=2，

所以a165.【答案】C

【解析】解：由題意可得，P(A)=1?P(A?)=1?13=23，

P(B?|A)=P(BA?)P(A)=12，則P(AB?)=P(A)×12=16.【答案】D

【解析】解：由題意知Sn=n2+2n①，

當n=1時，S1=a1=3，

當n≥2時，Sn?1=(n?1)2+2(n?1)=n2?1②，

①?②得an=Sn?Sn?1=2n+1，

又n=1，a1=37.【答案】B

【解析】解：因為Y～N(5.40,0.052)，

由正態(tài)分布的對稱性可得P(5.35<Y<5.55)=P(5.40?0.05<Y<5.40+0.15)=0.68272+0.99732=0.84，

則K～B(10000,0.84)，所以E(K)=10000×0.84=8400．

所以K的估計值為8400．

故選：B．

8.【答案】B

【解析】解：∵f(x)=lnxx，x>0，

∴f′(x)=1x?x?lnxx2=1?lnxx2，

當x>e時，f′(x)=1?lnxx2<0，函數(shù)f(x)=lnxx單調(diào)遞減；

當0<x<e時，f′(x)=1?lnxx2>0，函數(shù)f(x)=lnxx單調(diào)遞增；

∴當x=e時，函數(shù)f(x)=lnxx取最小值1e，

又9.【答案】ABC

【解析】解：對于A，由相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)可知，相關(guān)系數(shù)r的范圍為[?1,1]，故A正確；

對于B，當y與x正相關(guān)時，r>0，故B正確；

對于C，|r|越小，說明兩個變量之間的線性相關(guān)性越弱，

當線性相關(guān)性弱時，用回歸直線來描述變量之間的關(guān)系就不準確，即意味著回歸直線方程越?jīng)]有價值，故C正確；

對于D，|r|越大，具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量y與x的線性相關(guān)程度越強，故D錯誤．

故選：ABC．

根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義和性質(zhì)即可逐一判斷．

本題主要考查了相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．10.【答案】BD

【解析】解：對于AB，因為f′(x)>0時f(x)單調(diào)遞增，f′(x)<0時f(x)單調(diào)遞減，

所以由圖可知曲線M為函數(shù)f′(x)的圖象，曲線N為函數(shù)f(x)的圖象，

故A錯誤，B正確；

對于CD，由圖可知當x∈(0,a)時f(x)?f′(x)>0，x∈(a,b)時f(x)?f′(x)<0，

因為g′(x)=ex[f(x)?f′(x)]f2(x)，

所以x∈(a,b)時，g′(x)<0，當x∈(0,a)時，g′(x)>0，

所以函數(shù)g(x)在區(qū)間[a,b]上是減函數(shù)，在區(qū)間[0,a]上是增函數(shù)，

故C錯誤，D正確．

故選：BD．

由導(dǎo)數(shù)正負與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系明確兩曲線所代表的函數(shù)圖象即可判斷AB；利用導(dǎo)數(shù)工具結(jié)合圖象即可分析求解函數(shù)11.【答案】BC

【解析】解：對于A，若數(shù)列既是等比數(shù)列又是等差數(shù)列，

則該數(shù)列為非零常數(shù)列，而a≤0，b≥0，且數(shù)列中的項有?1，?9，

不可能構(gòu)成常數(shù)列，故A錯誤；

對于B，若排列后的新數(shù)列為等比數(shù)列，則不可能有0，則a<0，b>0，

故設(shè)新數(shù)列的公比為q，則有q<0，且數(shù)列相鄰兩項異號；

數(shù)列可能為9，a，b，?1，此時q=?139，則b=913,a=?923；

數(shù)列可能為b，a，9，?1，此時q=?19，則b=729，a=?81；

數(shù)列可能為9，?1，b，a，此時q=?19，則b=19,a=?181；

數(shù)列可能為b，?1，9，a，此時q=?9，則b=19,a=?81；

數(shù)列可能為?1，b，a，9，此時q=?913，則b=913,a=?923；

數(shù)列可能為?1，9，a，b，此時q=?9，則b=729，a=?81；

數(shù)列可能為a，b，?1，9，此時q=?9，則b=19,a=?181；

數(shù)列可能為a，9，?1，b，此時q=?19，則b=19,a=?81；

綜上所述，a和b有4組可能取值，故B正確；

對于C，若排列后得到的新數(shù)列成等差數(shù)列，設(shè)公差為d

若?1在首項，不論9在第幾項，都有a>0，b>0，不符合題意，

若?1，9兩項相鄰，且?1不在首項，則d=10或者d=?10，

此時有a=?11，b=19，

符合題意的數(shù)列為?11，?1，9，19或者19，9，?1，?11；

若?1，9中間僅有一項，且?1不在首項，則d=5，或者d=?5，

此時有a=?6，b=4，

符合題意的數(shù)列為?6，?1，4，9或者9，4，?1，?6，

故a和b有2組可能取值，故C正確；

對于D，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為x?=?1+a+b+912.【答案】0.6

【解析】解：因為隨機變量X服從兩點分布，且P(X=0)=0.4，

所以P(X=1)=1?0.4=0.6，

因為Y=3X?2，

所以P(Y=1)=P(3X?2=1)=P(X=1)=0.6．

故答案為：0.6．

由兩點分布的性質(zhì)可得P(X=1)=0.6，進而求出P(Y=1)．

本題主要考查了兩點分布的概率公式，屬于基礎(chǔ)題．13.【答案】an+1=an+n(n∈【解析】解：記數(shù)列1，2，4，7，11，16，?的第n項為an，

則a2?a1=1，a3?a2=2，a4?a3=3，a5?a4=4，...

依此類推可得an+1?an=n，

所以可得數(shù)列1，2，4，7，11，14.【答案】(?∞,e【解析】解：依題意，得x∈[e2,+∞),(3a?x)(alnx?x)≥0,

等價于x∈[e2,+∞)時，恒有alnx?x≥03a?x≥0①或alnx?x≤03a?x≤0②，

因為x∈[e2,+∞)時不恒有3a?x≥0，故舍去①，

所以x∈[e2,+∞)時，alnx?x≤03a?x≤0，

因為y=lnx為增函數(shù)，故當x∈[e2,+∞)時，

lnx≥lne2>0，

所以3a≤e2且a≤xlnx=f(x)，即a≤e6且a≤f(x)min．

因為f′(x)=lnx?1ln2x，

所以當x∈(e2,e)時，f′(x)<0，x∈(e,+∞)時，f′(x)>0，15.【答案】(1)解：由函數(shù)f(x)=ax3+bx+2，可得f′(x)=3ax2+b，

因為f(x)在x=2處取得極值?14，可得f′(2)=0f(2)=?14，即12a+b=08a+2b+2=?14，

整理得12a+b=04a+b=?8，解得a=1，b=?12，

經(jīng)檢驗，當a=1，b=?12時，f′(x)=3x2?12=3(x+2)(x?2)，

令f′(x)>0，解得x<?2或x>2；令f′(x)<0，解得?2<x<2，

所以f(x)在(?∞,?2)單調(diào)遞增，(?2,2)單調(diào)遞減，(2,+∞)單調(diào)遞增，

所以f(x)在x=2處取得極值，且f(2)=?14符合題意，

所以a=1，b=?12．

(2)解：由(1)得，函數(shù)f(x)=x3?12x+2且f′(x)=3x2?12，

則f′(1)=?9【解析】(1)求得f′(x)=3ax2+b，根據(jù)題意得到f′(2)=0f(2)=?14，求得a=1，b=?12，驗證符合題意，即可求解；

(2)由(1)求得f′(1)=?9且16.【答案】2×2列聯(lián)表見解析；沒有95%的把握認為一等級產(chǎn)品與生產(chǎn)線有關(guān)；

A生產(chǎn)線的獲利更穩(wěn)定．

【解析】(1)A生產(chǎn)線生產(chǎn)的100件產(chǎn)品中一等級產(chǎn)品數(shù)有20，B生產(chǎn)線生產(chǎn)的100件產(chǎn)品中一等級產(chǎn)品數(shù)有30，

因此2×2列聯(lián)表如下：一等級非一等級合計A生產(chǎn)線2080100B生產(chǎn)線3070100合計50150200零假設(shè)H0：一等級產(chǎn)品與生產(chǎn)線無關(guān)，

K2=200(20×70?30×80)250×150×100×100=83<3.841，

因此依據(jù)小概率值α=0.05的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)可以推斷H0不成立，

則可以推斷H0成立，即沒有P201816X0.20.60.2因此E(X)=20×0.2+18×0.6+16×0.2=18，

因此D(X)=(20?18)P201816Y0.30.40.3因此E(Y)=20×0.3+18×0.4+16×0.3=18，

因此D(Y)=(20?18)2×0.3+(18?18)2×0.4+(16?18)2×0.3=2.4，

D(X)<D(Y)，因此A生產(chǎn)線的獲利更穩(wěn)定．

(1)先由題設(shè)先寫列聯(lián)表，接著進行零假設(shè)和計算卡方值，由卡方值以及小概率值α=0.05的獨立性檢驗思想即可下結(jié)論；

(2)設(shè)A，B兩條生產(chǎn)線單件產(chǎn)品獲利分別為X，Y元，依次求出兩生產(chǎn)線的方差D(X)17.【答案】19；

分布列見解析，E(X)=38【解析】(1)依題意，每次“交換”從甲箱開始的概率為13，從乙箱開始的概率為23，且每次“交換”后箱子總球數(shù)仍然為9個，

要使第一次“交換”后，甲箱中紅球多于白球，則無論從哪個箱子開始“交換”，甲箱中摸出的都是白球，乙箱中摸出的都是紅球，

若第一次“交換”從甲箱開始，則第一次“交換”后，甲箱中紅球多于白球的概率為127；

若第一次“交換”從乙箱開始，則第一次“交換”后，甲箱中紅球多于白球的概率為227；

設(shè)第一次“交換”后，甲箱中紅球多于白球為事件A，

所以．

P(A)=127+227=19

(2)因為第一次“交換”后，甲箱中紅球多于白球，

所以此時甲箱中有5個紅球、4個白球，乙箱中有1個紅球，8個白球，

X的取值為7，X789p4232E(X)=7×49+8×2345+9×245=289+18445+18.【答案】當b>0時，f(x)在(0,2b)上單調(diào)遞減；在(2b,+∞)上單調(diào)遞增；

當b≤0時，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減．

最小值是【解析】(1)a=0時，函數(shù)f(x)=?2lnx+bx，x>0，導(dǎo)函數(shù)f′(x)=?2x+b，

當b≤0時，導(dǎo)函數(shù)f′(x)<0，函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減；

當b>0時，根據(jù)f′(x)=0，得x=2b，

x>2b時，f′(x)>0，f(x)在(2b,+∞)上單調(diào)遞增；