第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年廣東省惠州市高一（下）期末數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知復數(shù)z=5+i1?i，則z=(

)A.2?2i B.1?3i C.1+3i D.2+3i2.已知a=(1,2)，b=(m,3)，若a⊥(b?A.?2 B.2 C.?1 D.13.某班有男生36人，女生20人，現(xiàn)在要用性別比例分配的分層隨機抽樣方法從該班中抽取14人參加跳繩比賽，則男生被抽取的人數(shù)為(

)A.7 B.8 C.9 D.104.已知圓錐的底面半徑為1，側面展開圖是一個圓心角為60°的扇形，則該圓錐的側面積為(

)A.6π B.12π C.3π D.2π5.位于燈塔A處正西方相距30海里的B處有一艘甲船，需要海上加油，位于燈塔A處北偏東45°方向有一與燈塔A相距102海里的C處有一艘乙船，則乙船前往支援B處甲船需要航行的最短距離是(

)A.105海里 B.1017海里 C.86.如圖，某幾何體可看成是3個幾何體的組合體，上面的幾何體Ⅰ是直棱柱，中間的幾何體Ⅱ是棱臺，下面的幾何體Ⅲ也是棱臺，幾何體Ⅲ的下底面與幾何體Ⅰ的底面是全等的六邊形，幾何體Ⅲ的上底面面積是下底面面積的4倍，若幾何體Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的高之比分別為2：3：5，則幾何體Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的體積之比為(

)A.2：6：15 B.9：15：25 C.6：21：35 D.9：21：567.如圖，在△ABC中，PC=2BP，過點P的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點M，N，設AB=mAM,AC=nAN，其中m，A.1

B.2

C.3

D.48.十七世紀法國數(shù)學家、被譽為業(yè)余數(shù)學家之王的皮埃爾?德?費馬提出一個著名的幾何問題：已知一個三角形，求作一點，使其與這個三角形的三個頂點的距離之和最小.在費馬提到的這個問題中所求的點被稱為費馬點，其答案如下：當三角形的三個角均小于120°時，所求的點為三角形的正等角中心，即該點與三角形三個頂點的連線兩兩成120°角；當三角形有一內角大于或等于120°時，所求的點為三角形最大內角的頂點.已知a、b、c分別是△ABC的內角A、B、C所對的邊，且a2?(b?c)2=8，bsinB+C2=asinB，若A.?4 B.?3 C.?6 D.?二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.若復數(shù)z滿足i?z=1+3i(i是虛數(shù)單位)，則下列說法正確的是(

)A.z=3?i B.z?的模為4

C.z在復平面內對應的點位于第四象限 D.10.下列說法中正確的是(

)A.數(shù)據(jù)2、2、3、5、6、7、7、8、10、11的下四分位數(shù)為3

B.若A、B為互斥事件，則A的對立事件與B的對立事件一定互斥

C.設樣本數(shù)據(jù)x1、x2、x3、?、x9、x10的平均數(shù)和方差分別為2和8，若yi=2xi+1(i=1,2,3,?,10)，則y1、y2、y3、?、y9、y11.如圖，在棱長為4的正方體ABCD?A1B1C1D1中，P為棱BB1A.AC1⊥平面A1PD

B.若D1Q//平面A1PD，則動點Q的軌跡長度為22

C.若λ+μ=12，則四面體DPQA112.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，直線13.已知向量a與b的夾角為30°,|a|=43,b=(214.已知正四面體的棱長為46，現(xiàn)截去四個全等的小正四面體，得到如圖的八面體，若這個八面體能放進半徑為26

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

為了解某小區(qū)居民的體育鍛煉時間，隨機在該小區(qū)選取了100名住戶，將他們上周體育鍛煉的時間(單位：時)按照[0,2)、[2,4)、[4,6)、[6,8)、[8,10]分成5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求頻率分布直方圖中a的值；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)；

(3)根據(jù)頻率分布直方圖，用每組數(shù)據(jù)區(qū)間中點值作代表，估計這100名住戶上周體育鍛煉時間的平均值．16.(本小題12分)

在△ABC中，已知a，b，c分別是△ABC的內角A，B，C所對的邊，記m=(2c,1)，n=(2a?b,cosB)，且m//n．

(1)求角C；

(2)若c=17.(本小題12分)

DeepSeek是由中國杭州的DeepSeek公司開發(fā)的人工智能模型，在金融、醫(yī)療健康、智能制造、教育等多個領域都有廣泛的應用場景.為提高DeepSeek的應用能力，某公司組織A、B兩部門的員工參加DeepSeek培訓．

(1)已知該公司A、B部門分別有3名領導，此次DeepSeek培訓需要從這6名部門領導中隨機選取2人負責，假設每人被抽到的可能性都相同，求全部來自A部門領導的概率；

(2)此次DeepSeek培訓分三輪進行，每位員工第一輪至第三輪培訓達到“優(yōu)秀”的概率分別為23,18.(本小題12分)

如圖，等腰直角三角形ABC所在平面與半圓弧AB所在平面垂直，O為AB的中點，且AC=BC，M是AB上異于A、B的點，N是AM的中點．

(1)證明：AM⊥平面OCN

(2)若圓O的半徑為1，設∠MAB=α，

(i)當α=30°時，求二面角C?AM?B的平面角的正切值；

(ii)當M在弧AB上運動時(不與A、B重合)，證明：點O到平面BCM的距離d=cosα1+19.(本小題12分)

將所有平面向量組成的集合記作R2.如果對于向量．x=(x1,x2)∈R2，存在唯一的向量y=(y1,y2)∈R2與之對應，其中坐標y1、y2由x1、x2確定，則把這種對應關系記為．y=f(x)或者(y1,y2)=f(x1,x2)簡記為f.例如(y1,y2)=f(x1,x2)=(2x1+x2,x12)就是一種對應關系.若在|x|=1的條件下|y|有最大值，則稱此最大值為對應關系答案解析1.【答案】D

【解析】解：z=5+i1?i=(5+i)(1+i)(1?i)(1+i)=4+6i2=2+3i．

2.【答案】C

【解析】解：a=(1,2)，b=(m,3)，

則a?(b?a)=a2?a3.【答案】C

【解析】解：男生36人，女生20人，抽取14人，

設男生被抽取的人數(shù)為n，則n14=3636+20，解得n=9．

故選：C．4.【答案】A

【解析】解：由題意圓錐的底面半徑為1，側面展開圖是一個圓心角為60°的扇形，

可設圓錐的母線為l，底面半徑為r，側面展開圖扇形的圓心角為α，

則α=60°=π3，

因為圓錐側面展開圖扇形的弧長等于圓錐的底面圓的周長，

所以αl=2πr，即π3×l=2π，所以l=6．

則該圓錐的側面積為πrl=6π．

故選：A．5.【答案】B

【解析】解：由題意得AB=30，AC=102，

由余弦定理得BC2=AB2+AC2?2AB?AC?cos135°

=302+(106.【答案】C

【解析】解：設直棱柱I的底面積為S，高為2?，則棱臺III的下底面面積為S，上底面面積為4S，高為5?，

棱臺II的上底面面積為S，下底面面積為4S，高為3?，

設幾何體I、II、III的體積分別為V1、V2、V3，

則V1=S?2?=2S?，V2=13(S+4S+S?4S)?3?=7S?，

V3=137.【答案】C

【解析】解：AP=AB+BP=AB+13BC=AB+13(AC?AB)=23AB+13AC，

因為AB=mAM，AC=nAN，所以AP=2m3AM+n3AN，

又M，8.【答案】A

【解析】解：由a2?(b?c)2=8，可得b2+c2?a2?2bc=?8，①

由余弦定理可得cosA=b2+c2?a22bc，故b2+c2?a2=2bccosA，②

由①②可得：2bccosA?2bc=?8，即bccosA?bc=?4，

由bsinB+C2=asinB及正弦定理，

可得sinBsinπ?A2=sinAsinB，

因為A、B∈(0,π)，則0<A2<π2，故sinB>0，cosA2>0，

所以cosA2=sinA=2sinA2cosA2，

化簡得sinA2=9.【答案】ACD

【解析】解：由題意可知，z=1+3ii=3i?i2i=3?i，A對；

z?=3+i，則|z?|=32+12=10，B錯；

z在復平面內對應的點的坐標為(3,?1)，位于第四象限，C對；

10.【答案】AC

【解析】解：對于A，因為10×0.25=2.5，

所以數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為3，故A正確；

對于B，若事件A、B互斥且不對立，如下圖所示：

則A?∩B?≠?，即A的對立事件與B的對立事件不一定互斥，故B錯誤；

對于C，設樣本數(shù)據(jù)x1、x2、x3、?、x9、x10的平均數(shù)和方差分別為2和8，

若yi=2xi+1(i=1,2,3,?,10)，

則y1、y2、y3、?、y9、y10的平均數(shù)為2×2+1=5，方差為22×8=32，故C正確；

對于D，若B?A，則AB=B11.【答案】BCD

【解析】解：對于A，如圖1，假設AC1⊥平面A1PD，因A1P?平面A1PD則AC1⊥A1P①；

因為四邊形ABB1A1為正方形，可得A1B⊥AB1，

又B1C1⊥平面ABB1A1，A1B?平面ABB1A1，則B1C1⊥A1B，

又AB1∩B1C1=B1，故A?1B⊥平面AB1C1，

因AC1?平面AB1C1，故A?1B⊥AC1②，

又A1B∩A1P=A1，由①②可得AC1⊥平面A1ABB1，顯然該結論不成立，故A錯誤；

對于B，如圖2，分別取B1C1、CC1中點E、F，連接D1E、D1F、EF，

因為BB1//CC1，BB1=CC1，P、F分別為BB1、CC1的中點，

所以B1P//C1F，B1P=C1F，

故四邊形B1C1FP為平行四邊形，故PF//B1C1，PF=B1C1，

又因為A1D1/?/B1C1，A1D1=B1C1，所以PF//A1D1，

即四邊形DA1PF為平行四邊形，所以D1F//A1P，

因為A1P?平面A1PD，D1F?平面A1PD，故D?1F//平面A1PD③，

因為E、F分別為B1C1、CC1的中點，所以EF/?/B1C，

因為A1D/?/B1C，A1D=B1C，故四邊形A1B1CD為平行四邊形，

則A1D/?/B1C，故EF//A1D，

因為EF?平面A1PD，A1D?平面A1PD，所以EF/?/平面A1PD④，

因為EF∩D1F=F，EF、D1F?平面D1EF，

由③④可得平面A1PD/?/平面D1EF，

而D1Q//平面A1PD，則點Q在平面12.【答案】60°

【解析】解：如圖：

連接A1C1，BC1，易知A1C1/?/AC，所以∠BA1C1或其補角即為AC所成的角，

13.【答案】(3【解析】解：b=2+2=2；

則|b|=2+2=2；

向量a與b的夾角為30°；

a?b=|14.【答案】2【解析】解：如圖，正四面體P?ABC在P點截去小正四面體P?EFG，

取BC中點D，連接AD，過點P作PH⊥平面ABC，

則H在AD上，且PH⊥平面EFG，垂足為I，連接EI，

則EI為正△EFG的中心，

大正四面體的外接球球心在高PH上，設為O，連接OA，則OA=OP=R，

因為大正四面體的棱長為46，

故2AH=46sin60°，

解得AH=42，

由勾股定理得PH=AP2?AH2=(46)2?(42)2=8，

在Rt△AOH中，AO2=OH2+AH2，

即R2=(42)2+(8?R)2，

解得R=6，

則大正四面體的外接球半徑為6，

若這個八面體的外接球半徑為r=26，則截去的小正四面體的棱長最小，

由對稱性可知，這個八面體的外接球的球心與正四面體的外接球球心重合，連接OE，

則OE=r=26，

設截去的小正四面體的棱長為a，

則2a≤46，即a<215.【答案】a=0.125；

7.6；

5.3小時．

【解析】(1)在頻率分布直方圖中，所有條形圖的面積之和為1，

可得(0.05+0.1+0.15+a+0.075)×2=1，解得a=0.125．

(2)前三個矩形的面積之和為(0.05+0.1+0.15)×2=0.6，

前四個矩形的面積之和為0.6+0.125×2=0.85，

設樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為m，則m∈(6,8)，

由百分位數(shù)的定義可得0.6+(m?6)×0.125=0.8，解得m=7.6．

(3)由頻率分布直方圖可知，樣本的平均數(shù)為x?=1×0.1+3×0.2+5×0.3+7×0.25+9×0.15=5.3．

估計這100名住戶上周體育鍛煉時間的平均值為5.3小時．

(1)在頻率分布直方圖中，所有條形圖的面積之和為1，列式可求得實數(shù)a的值；

(2)設樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為m，則m∈(6,8)，利用百分位數(shù)的定義可得出關于m的等式，求解即可；

(3)將每個矩形底邊的中點值乘以對應矩形的面積，再將所得結果全加，即可得出樣本的平均數(shù)．16.【答案】π3；

(?【解析】(1)因為m=(2c,1),n=(2a?b,cosB),m//n，

所以2a?b=2ccosB，

利用正弦定理得：2sinA?sinB=2sinCcosB，

因為sinA=sin(B+C)，所以2sinBcosC+2cosBsinC?sinB=2sinCcosB，

所以2sinBcosC?sinB=0，因為sinB≠0，所以cosC=12．

又因為0<C<π，所以C=π3．

(2)因為c=3，C=π3，

所以由正弦定理asinA=csinC=332=2，得a=2sinA，

同理b=2sinB=2sin(2π3?A)=3cosA+sinA．

所以2b?a=23cosA．

因為17.【答案】15；

23【解析】(1)記A部門的3名領導為a1，a2，a3，B部門的3名領導為b1，b2，b3，

從6名部門領導中隨機選取2人負責，不同結果有：

a1a2，a1a3，a2a3，a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，a3b1，a3b2，a3b3，b1b2，b1b3，b2b3，共15種，

選取2人全部來自A部門領導的事件，不同結果有：a1a2，a1a3，18.【答案】證明見解析；

(i)2；

(ii)證明見解析．

【解析】證明(1)因為M是半圓弧AB上一點，所以∠AMB=π2，即AM⊥BM，

因為O、N分別是AB、AM的中點，所以ON/?/BM，ON⊥AM，

因為△ACB是等腰直角三角形，AC=BC，所以OC⊥AB，

因為平面ACB⊥平面ABM，平面ACB∩平面ABM=AB，CO?平面ABC，

所以CO⊥平面ABM，又因為AM?平面ABM，所以AM⊥CO，

因為OC、ON?平面OCN，ON∩OC=O，所以AM⊥平面OCN．

(2)(i)由(1)可知AM⊥平面OCN，故CN⊥AM，ON⊥AM，

所以，二面角C?AM?B的平面角為∠CNO，

當α=30°時，ON=12OA=12，

因為△ABC為等腰直角三角形，且AC=BC，則∠ACB=π2，

因為O為AB的中點，所以OC=12AB=1