2025年高考數(shù)學(xué)模擬測試：立體幾何突破解題與試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是一個(gè)邊長為2的等邊三角形，側(cè)棱AA1=3，若點(diǎn)D是棱BB1的中點(diǎn)，那么直線AD與平面A1B1C1所成角的正弦值是（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.√5/32.一個(gè)圓錐的底面半徑為1，母線長為√3，若將這個(gè)圓錐的側(cè)面展開成一個(gè)扇形，那么這個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)是（）A.60°B.120°C.180°D.240°3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是棱BB1和CC1的中點(diǎn)，那么異面直線AE與DF所成角的余弦值是（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.√5/34.已知一個(gè)球的半徑為1，點(diǎn)A、B在球面上，且向量AB與向量AC垂直，其中C為球心，那么直線AB與直線BC所成角的余弦值是（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.15.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是一個(gè)邊長為2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=2，E是棱PC的中點(diǎn)，那么三棱錐E-ABD的體積是（）A.1/3B.2/3C.1D.26.已知一個(gè)長方體的長、寬、高分別為2、1、3，那么這個(gè)長方體的體對角線長是（）A.√14B.√17C.√18D.√197.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是一個(gè)邊長為2的等邊三角形，側(cè)棱AA1=2，若點(diǎn)D是棱BB1的中點(diǎn)，那么直線AD與直線B1C所成角的余弦值是（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.√5/38.一個(gè)圓錐的底面半徑為2，母線長為4，若將這個(gè)圓錐的側(cè)面展開成一個(gè)扇形，那么這個(gè)扇形的面積是（）A.4πB.8πC.12πD.16π9.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是棱AA1和CC1的中點(diǎn)，那么異面直線BE與DF所成角的正弦值是（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.√5/310.已知一個(gè)球的半徑為2，點(diǎn)A、B在球面上，且向量AB與向量AC垂直，其中C為球心，那么直線AB與直線BC所成角的正弦值是（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.1二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分。）11.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是一個(gè)邊長為3的等邊三角形，側(cè)棱AA1=4，若點(diǎn)D是棱BB1的中點(diǎn)，那么直線AD與平面A1B1C1所成角的正弦值是_________。12.一個(gè)圓錐的底面半徑為3，母線長為6，若將這個(gè)圓錐的側(cè)面展開成一個(gè)扇形，那么這個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)是_________度。13.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是棱BB1和CC1的中點(diǎn)，那么異面直線AE與DF所成角的余弦值是_________。14.已知一個(gè)球的半徑為3，點(diǎn)A、B在球面上，且向量AB與向量AC垂直，其中C為球心，那么直線AB與直線BC所成角的余弦值是_________。15.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是一個(gè)邊長為3的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=3，E是棱PC的中點(diǎn)，那么三棱錐E-ABD的體積是_________。三、解答題（本大題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）16.（本小題滿分15分）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是一個(gè)矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，點(diǎn)E是棱PC的中點(diǎn)。（1）求證：平面ABE⊥平面PAC；（2）求三棱錐E-ABD的體積。17.（本小題滿分15分）已知一個(gè)圓錐的底面半徑為R，母線長為l，其側(cè)面展開后得到一個(gè)扇形。若該扇形的圓心角為120°，且扇形的面積與圓錐的側(cè)面積相等。（1）求R與l的關(guān)系式；（2）若R=1，求該圓錐的全面積。18.（本小題滿分15分）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分別是棱AA1、CC1、BB1的中點(diǎn)。（1）求證：四邊形EFGD是平行四邊形；（2）求異面直線AE與FG所成角的余弦值。19.（本小題滿分15分）在一個(gè)球體內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接圓柱，圓柱的底面半徑為r，高為h。若球的半徑為R，且R=√2r。（1）求證：h=2r；（2）若球的體積為36π，求圓柱的體積。20.（本小題滿分15分）在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是一個(gè)等腰三角形，AB=AC=2，BC=2√3，側(cè)棱AA1=3，點(diǎn)D是棱BB1的中點(diǎn)，點(diǎn)E是棱CC1的中點(diǎn)。（1）求證：平面ADE⊥平面ABC；（2）求二面角A-BB1-C的余弦值。四、解答題（本大題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）21.（本小題滿分15分）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是一個(gè)等腰梯形，AD∥BC，AD=2，BC=4，AB=CD=√2，PA⊥平面ABCD，且PA=3。（1）求證：平面PAB⊥平面PBC；（2）求四棱錐P-ABCD的體積。22.（本小題滿分15分）已知一個(gè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，其側(cè)面展開后得到一個(gè)扇形。若該扇形的圓心角為240°，且扇形的弧長等于圓錐底面周長的一半。（1）求r與l的關(guān)系式；（2）若l=4，求該圓錐的側(cè)面積。23.（本小題滿分15分）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是棱AB和BC的中點(diǎn)，G是棱CC1的中點(diǎn)。（1）求證：四邊形A1EFG是平行四邊形；（2）求異面直線A1B與EF所成角的正弦值。24.（本小題滿分15分）在一個(gè)球體內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接圓錐，圓錐的底面半徑為r，高為h。若球的半徑為R，且R=√3r。（1）求證：h=√6r；（2）若圓錐的側(cè)面積為12π，求球的表面積。25.（本小題滿分15分）在五棱錐P-ABCDE中，底面ABCDE是一個(gè)正五邊形，PA⊥平面ABCDE，PA=2，AB=2。（1）求證：平面PAB⊥平面PBC；（2）求二面角A-BC-E的余弦值。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.A解析：連接AD，過點(diǎn)D作DN⊥A1B1交A1B1于N，連接AN。因?yàn)锳A1⊥平面A1B1C1，所以AA1⊥DN。又因?yàn)镈N⊥A1B1，所以∠ADN是直線AD與平面A1B1C1所成角。在等邊三角形ABC中，D是BB1的中點(diǎn)，所以AD=√(AB^2+BD^2)=√(2^2+1^2)=√5。DN=AB/2=1。在直角三角形ADN中，sin∠ADN=DN/AD=1/√5。故選A。2.B解析：圓錐側(cè)面展開成扇形，扇形半徑是圓錐母線長√3，扇形弧長是圓錐底面周長2π×1=2π。設(shè)圓心角為θ，則θ/360°=(2π)/(2π√3)=1/√3。θ=120°。故選B。3.A解析：連接AE，DF。因?yàn)镋是BB1中點(diǎn)，F(xiàn)是CC1中點(diǎn)，所以EF平行且等于半根AA1。取A1C1中點(diǎn)H，連接DH，AH。因?yàn)锳H平行且等于EF，所以四邊形AHEF是平行四邊形，AE平行于HF。又因?yàn)镈F平行于A1B1，所以∠AEF是異面直線AE與DF所成角。在正方體中，AE=√(AB^2+AE^2)=√(2^2+√2^2)=√6。EF=√2。AH=√(AA1^2+AH^2)=√(2^2+1^2)=√5。在ΔAEF中，cos∠AEF=(AE^2+EF^2-AH^2)/(2AE·EF)=(√6^2+√2^2-√5^2)/(2√6·√2)=1/2。故選A。4.B解析：因?yàn)镃是球心，AB⊥AC，所以AB⊥BC。設(shè)BC=x，則AB=√(1^2-x^2)。在ΔABC中，由余弦定理得cos∠ABC=(AB^2+BC^2-AC^2)/(2AB·BC)=(√(1-x^2)^2+x^2-1)/(2√(1-x^2)·x)=x/√(1-x^2)=√2/2。解得x=1/√2。所以cos∠ABC=√2/2。故選B。5.B解析：三棱錐E-ABD體積V=1/3×底面積×高。底面ABD是等腰直角三角形，AB=2，BD=√(AB^2+AD^2)=√(2^2+2^2)=2√2。底面積S=1/2×AB×AD=1/2×2×2=2。E是PC中點(diǎn)，PC=√(PA^2+AC^2)=√(2^2+2^2)=2√2。PE=√2。高h(yuǎn)=PE·sin∠PEA=√2×√2/2=1。V=1/3×2×1=2/3。故選B。6.C解析：體對角線長√(長^2+寬^2+高^2)=√(2^2+1^2+3^2)=√14。故選C。7.A解析：連接AD，B1C。因?yàn)镋是BB1中點(diǎn)，所以DE平行且等于半根AA1。取A1C1中點(diǎn)H，連接DH，AH。因?yàn)锳H平行且等于DE，所以四邊形AHEF是平行四邊形，AE平行于HF。又因?yàn)锽1C平行于A1B1，所以∠AEF是異面直線AE與B1C所成角。在正方體中，AE=√(AB^2+AE^2)=√(2^2+√2^2)=√6。EF=√2。AH=√(AA1^2+AH^2)=√(2^2+1^2)=√5。在ΔAEF中，cos∠AEF=(AE^2+EF^2-AH^2)/(2AE·EF)=(√6^2+√2^2-√5^2)/(2√6·√2)=1/2。故選A。8.B解析：扇形面積S=πl(wèi)^2θ/360°=π×4^2×240/360=8π。故選B。9.A解析：連接BE，DF。因?yàn)镋是AA1中點(diǎn)，F(xiàn)是CC1中點(diǎn)，所以EF平行且等于半根BB1。取A1B1中點(diǎn)H，連接DH，AH。因?yàn)锳H平行且等于EF，所以四邊形AHEF是平行四邊形，BE平行于HF。又因?yàn)镈F平行于A1B1，所以∠EBH是異面直線BE與DF所成角。在正方體中，BE=√(AB^2+AE^2)=√(2^2+√2^2)=√6。EF=√2。BH=√(AB^2+AH^2)=√(2^2+1^2)=√5。在ΔEBH中，sin∠EBH=(EB^2+BH^2-EH^2)/(2EB·BH)=(√6^2+√5^2-√2^2)/(2√6·√5)=1/2。故選A。10.B解析：因?yàn)镃是球心，AB⊥AC，所以AB⊥BC。設(shè)BC=x，則AB=√(1^2-x^2)。在ΔABC中，由余弦定理得cos∠ABC=(AB^2+BC^2-AC^2)/(2AB·BC)=(√(1-x^2)^2+x^2-1)/(2√(1-x^2)·x)=x/√(1-x^2)=√2/2。解得x=1/√2。所以sin∠ABC=√(1-cos^2∠ABC)=√(1-(√2/2)^2)=√2/2。故選B。二、填空題答案及解析11.√3/2解析：連接AD，過點(diǎn)D作DN⊥A1B1交A1B1于N，連接AN。因?yàn)锳A1⊥平面A1B1C1，所以AA1⊥DN。又因?yàn)镈N⊥A1B1，所以∠ADN是直線AD與平面A1B1C1所成角。在等邊三角形ABC中，D是BB1的中點(diǎn)，所以AD=√(AB^2+BD^2)=√(3^2+3/2^2)=√(9+9/4)=√(45/4)=3√5/2。DN=AB/2=3/2。在直角三角形ADN中，sin∠ADN=DN/AD=(3/2)/(3√5/2)=1/√5。故答案為√3/2。12.240°解析：圓錐側(cè)面展開成扇形，扇形半徑是圓錐母線長6，扇形弧長是圓錐底面周長2π×3=6π。設(shè)圓心角為θ，則θ/360°=(6π)/(6π×6)=1/6。θ=60°。故答案為240°。13.√3/2解析：連接AE，DF。因?yàn)镋是BB1中點(diǎn)，F(xiàn)是CC1中點(diǎn)，所以EF平行且等于半根AA1。取A1C1中點(diǎn)H，連接DH，AH。因?yàn)锳H平行且等于EF，所以四邊形AHEF是平行四邊形，AE平行于HF。又因?yàn)镈F平行于A1B1，所以∠AEF是異面直線AE與DF所成角。在正方體中，AE=√(AB^2+AE^2)=√(2^2+√2^2)=√6。EF=√2。AH=√(AA1^2+AH^2)=√(2^2+1^2)=√5。在ΔAEF中，cos∠AEF=(AE^2+EF^2-AH^2)/(2AE·EF)=(√6^2+√2^2-√5^2)/(2√6·√2)=1/2。故答案為√3/2。14.√2/2解析：因?yàn)镃是球心，AB⊥AC，所以AB⊥BC。設(shè)BC=x，則AB=√(3^2-x^2)。在ΔABC中，由余弦定理得cos∠ABC=(AB^2+BC^2-AC^2)/(2AB·BC)=(√(9-x^2)^2+x^2-3^2)/(2√(9-x^2)·x)=x/√(9-x^2)=√2/2。解得x=3√2/2。所以cos∠ABC=√2/2。故答案為√2/2。15.3解析：三棱錐E-ABD體積V=1/3×底面積×高。底面ABD是等腰直角三角形，AB=3，BD=√(AB^2+AD^2)=√(3^2+3^2)=3√2。底面積S=1/2×AB×AD=1/2×3×3=9/2。E是PC中點(diǎn)，PC=√(PA^2+AC^2)=√(3^2+3^2)=3√2。PE=√2。高h(yuǎn)=PE·sin∠PEA=√2×√2/2=1。V=1/3×9/2×1=3。故答案為3。三、解答題答案及解析16.證明：（1）因?yàn)锳D⊥AB，AD⊥BC，所以AD⊥平面ABC。又因?yàn)锳B?平面ABC，所以AD⊥AB。又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥AB。又因?yàn)锳B⊥AD，PA⊥AD，所以AD⊥平面PAB。又因?yàn)锳E?平面PAB，所以AD⊥AE。又因?yàn)锳E⊥AC，所以平面ABE⊥平面PAC。（2）三棱錐E-ABD體積V=1/3×底面積×高。底面ABD是等腰直角三角形，AB=1，BD=√(AB^2+AD^2)=√(1^2+2^2)=√5。底面積S=1/2×AB×AD=1/2×1×2=1。E是PC中點(diǎn)，PC=√(PA^2+AC^2)=√(2^2+2^2)=2√2。PE=√2。高h(yuǎn)=PE·sin∠PEA=√2×√2/2=1。V=1/3×1×1=1/3。17.解：（1）圓錐側(cè)面展開成扇形，扇形半徑是圓錐母線長l，扇形弧長是圓錐底面周長2πR。設(shè)圓心角為θ，則θ/360°=(2πR)/(2πl(wèi))=R/l。θ=360°R/l。扇形面積S扇形=πl(wèi)^2θ/360°=πl(wèi)^2×360°R/l=πRl。圓錐側(cè)面積S側(cè)=πRl。所以S扇形=S側(cè)，即πRl=πRl。（2）若R=1，l=√3，全面積S全面積=S底面+S側(cè)=πR^2+πRl=π+π√3=π(1+√3)。18.證明：（1）因?yàn)镋是AA1中點(diǎn)，F(xiàn)是CC1中點(diǎn)，所以EF平行且等于半根BB1。取A1B1中點(diǎn)H，連接DH，AH。因?yàn)锳H平行且等于EF，所以四邊形AHEF是平行四邊形，所以四邊形EFGD是平行四邊形。（2）取AC中點(diǎn)M，連接MG，因?yàn)镚是CC1中點(diǎn)，所以MG平行且等于半根BB1。又因?yàn)镕是CC1中點(diǎn)，所以MG平行于EF。又因?yàn)锳E⊥平面ABB1A1，所以AE⊥EF。又因?yàn)锳E⊥AB，AB⊥EF，所以∠ABE是異面直線AE與FG所成角。在正方體中，AE=√(AB^2+AE^2)=√(2^2+2^2)=2√2。EF=√2。AB=2。在ΔABE中，cos∠ABE=(AB^2+AE^2-BE^2)/(2AB·AE)=(2^2+(2√2)^2-1^2)/(2×2×2√2)=√2/2。19.證明：（1）球內(nèi)接圓柱底面半徑為r，高為h。球半徑為R。因?yàn)閳A柱內(nèi)接于球，所以圓柱頂面與底面中心連線是球的直徑，即2R。又因?yàn)閳A柱高是兩底面中心連線，所以h=R。又因?yàn)镽=√2r，所以h=√2r。（2）球體積V球=4/3πR^3=4/3π(√2r)^3=4/3π×2√2r^3=8√2πr^3。若V球=36π，則8√2πr^3=36π。r^3=9√2/4。r=√3/2。圓柱體積V圓柱=πr^2h=π(√3/2)^2×√6r=3√2/4πr^3=3√2/4π×9√2/4=27/4π。20.證明：（1）連接AD，過點(diǎn)E作EF⊥AB交AB于F。因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥AB。又因?yàn)锳B⊥AD，PA⊥AD，所以AD⊥平面PAB。又因?yàn)镋F?平面PAB，所以EF⊥AD。又因?yàn)镋是PC中點(diǎn)，PC⊥平面ABCD，所以PE⊥AB。又因?yàn)锳B⊥AE，PE⊥AB，所以AB⊥平面PEA。又因?yàn)镋F?平面PEA，所以EF⊥AB。又因?yàn)镋F⊥AD，EF⊥AB，所以平面ADE⊥平面ABC。（2）取BC中點(diǎn)M，連接AM，PM。因?yàn)锳B=AC，所以AM⊥BC。又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PM⊥BC。所以∠PMA是二面角A-BB1-C的平面角。在ΔPAM中，PA=3，AM=√(AB^2+BM^2)=√(2^2+(√3)^2)=√7。cos∠PMA=(PA^2+AM^2-PM^2)/(2PA·AM)=(3^2+(√7)^2-2^2)/(2×3×√7)=5√7/14。四、解答題答案及解析21.證明：（1）因?yàn)锳D∥BC，所以∠PAB=∠PBC。又因?yàn)锳B=CD，AD=BC，所以ΔABD≌ΔCBD(SAS)。所以∠PDA=∠PDC。又因?yàn)锳D∥BC，所以∠PDA=∠PBC。所以∠PAB=∠PDA。又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥AB。又因?yàn)锳B⊥AD，PA⊥AD，所以AD⊥平面PAB。又因?yàn)锳B?平面PAB，所以AD⊥AB。又因?yàn)锳D⊥BC，所以BC⊥平面PAB。又因?yàn)镻B?平面PAB，所以BC⊥PB。又因?yàn)锽C⊥AB，PB⊥AB，所以∠PAB是二面角P-BC-A的平面角。（2）三棱錐P-ABD體積V=1/3×底面積×高。底面ABD是等腰直角三角形，AB=2，BD=√(AB^2+AD^2)=√(2^2+2^2)=2√2。底面積S=1/2×AB×AD=1/2×2×2=2。高h(yuǎn)=PA=3。V=1/3×2×3=2。22.解：（1）圓錐側(cè)面展開成扇形，扇形半徑是圓錐母線長l，扇形弧長是圓錐底面周長2πr。設(shè)圓心角為θ，則θ/360°=(2πr)/(2πl(wèi))=r/l。θ=360°r/l。扇形面積S扇形=πl(wèi)^2θ/360°=πl(wèi)^2×360°r/l=πrl。圓錐側(cè)面積S側(cè)=πrl。所以S扇形=S側(cè)，即πrl=πrl。（2）若l=4，r=1，側(cè)面積S側(cè)=πrl=π×1×4=4π。23.證明：（1）因?yàn)镋是AB中點(diǎn)，F(xiàn)是BC中點(diǎn)，所以EF平行且等于半根AC。取A1C1中點(diǎn)H，連接DH，AH。因?yàn)锳H平行且等于EF，所以四邊形AHEF是平行四邊形，所以四邊形A1EFG是平行四邊形。（2）取AC中點(diǎn)M，連接MG，因?yàn)镚是CC1中點(diǎn)，所以MG平行且等于半根BB1。又因?yàn)镕是BC中點(diǎn)，所以MG平行于EF。又因?yàn)锳1E⊥平面ABC，所