第2課時(shí)柱體、錐體、臺(tái)體、球的體積與球的表面積學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式，會(huì)利用它們求有關(guān)幾何體的體積.2.了解球的表面積與體積公式，并能應(yīng)用它們求球的表面積及體積.3.會(huì)求簡(jiǎn)單組合體的體積及表面積．知識(shí)點(diǎn)一柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式1．柱體的體積公式V＝Sh(S為底面面積，h為高)；2．錐體的體積公式V＝eq\f(1,3)Sh(S為底面面積，h為高)；3．臺(tái)體的體積公式V＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)h(S′、S為上、下底面面積，h為高)；4．柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間的關(guān)系V＝ShV＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)hV＝eq\f(1,3)Sh.知識(shí)點(diǎn)二球的表面積和體積公式1．球的表面積公式S＝4πR2(R為球的半徑)；2．球的體積公式V＝eq\f(4,3)πR3.類型一柱體、錐體、臺(tái)體的體積例1(1)如圖所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長(zhǎng)均為1，且AA1⊥底面ABC，則三棱錐B1－ABC1的體積為()A.eq\f(\r(3),12) B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(6),12) D.eq\f(\r(6),4)答案A解析三棱錐B1－ABC1的體積等于三棱錐A－B1BC1的體積，三棱錐A－B1BC1的高為eq\f(\r(3),2)，底面積為eq\f(1,2)，故其體積為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),12).(2)現(xiàn)有一個(gè)底面直徑為20cm的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個(gè)底面直徑為6cm，高為20cm的圓錐形鉛錘，鉛錘完全浸沒(méi)在水中．當(dāng)鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降()A．0.6cmB．0.15cmC．1.2cmD．0.3cm答案A解析設(shè)杯里的水下降hcm，由題意知π(eq\f(20,2))2h＝eq\f(1,3)×20×π×32，解得h＝0.6cm.反思與感悟(1)常見(jiàn)的求幾何體體積的方法①公式法：直接代入公式求解．②等積法：如四面體的任何一個(gè)面都可以作為底面，只需選用底面積和高都易求的形式即可．③分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積．(2)求幾何體體積時(shí)需注意的問(wèn)題柱、錐、臺(tái)體的體積的計(jì)算，一般要找出相應(yīng)的底面和高，要充分利用截面、軸截面，求出所需要的量，最后代入公式計(jì)算．跟蹤訓(xùn)練1(1)如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一個(gè)棱錐C－A′DD′，求棱錐C－A′DD′的體積與剩余部分的體積之比．解設(shè)AB＝a，AD＝b，AA′＝c，∴VC－A′D′D＝eq\f(1,3)CD·S△A′D′D＝eq\f(1,3)a·eq\f(1,2)bc＝eq\f(1,6)abc，∴剩余部分的體積為VABCD－A′B′C′D′－VC－A′D′D＝abc－eq\f(1,6)abc＝eq\f(5,6)abc，∴棱錐C－A′DD′的體積與剩余部分的體積之比為1∶5.(2)已知一個(gè)三棱臺(tái)上、下底面分別是邊長(zhǎng)為20cm和30cm的正三角形，側(cè)面是全等的等腰梯形，且側(cè)面面積等于上、下底面面積之和，求棱臺(tái)的高和體積．解如圖，在三棱臺(tái)ABC－A′B′C′中，取上、下底面的中心分別為O′，O，BC，B′C′的中點(diǎn)分別為D，D′，則DD′是梯形BCC′B′的高．所以S側(cè)＝3×eq\f(1,2)×(20＋30)×DD′＝75DD′.又因?yàn)锳′B′＝20cm，AB＝30cm，則上、下底面面積之和為S上＋S下＝eq\f(\r(3),4)×(202＋302)＝325eq\r(3)(cm2)．由S側(cè)＝S上＋S下，得75DD′＝325eq\r(3)，所以DD′＝eq\f(13\r(3),3)(cm)，O′D′＝eq\f(\r(3),6)×20＝eq\f(10\r(3),3)(cm)，OD＝eq\f(\r(3),6)×30＝5eq\r(3)(cm)，所以棱臺(tái)的高h(yuǎn)＝O′O＝eq\r(D′D2－OD－O′D′2)＝eq\r(\f(13\r(3),3)2－5\r(3)－\f(10\r(3),3)2)＝4eq\r(3)(cm)．由棱臺(tái)的體積公式，可得棱臺(tái)的體積為V＝eq\f(h,3)(S上＋S下＋eq\r(S上·S下))＝eq\f(4\r(3),3)×(eq\f(\r(3),4)×202＋eq\f(\r(3),4)×302＋eq\f(\r(3),4)×20×30)＝1900(cm3)．類型二球的表面積與體積eq\x(命題角度1與球有關(guān)的切、接問(wèn)題)例2(1)求球與它的外切等邊圓錐(軸截面是正三角形的圓錐叫等邊圓錐)的體積之比．解如圖等邊△ABC為圓錐的軸截面，截球面得圓O.設(shè)球的半徑OE＝R，OA＝eq\f(OE,sin30°)＝2OE＝2R，∴AD＝OA＋OD＝2R＋R＝3R，BD＝AD·tan30°＝eq\r(3)R，∴V球＝eq\f(4,3)πR3，V圓錐＝eq\f(1,3)π·BD2×AD＝eq\f(1,3)π(eq\r(3)R)2×3R＝3πR3，則V球∶V圓錐＝4∶9.(2)設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2a，a，a，其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為()A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2答案B解析長(zhǎng)方體的體對(duì)角線是其外接球的直徑，由長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為eq\r(2a2＋a2＋a2)＝eq\r(6)a，得球的半徑為eq\f(\r(6),2)a，則球的表面積為4π(eq\f(\r(6),2)a)2＝6πa2.反思與感悟(1)正方體的內(nèi)切球球與正方體的六個(gè)面都相切，稱球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，此時(shí)球的半徑為r1＝eq\f(a,2)，過(guò)在一個(gè)平面上的四個(gè)切點(diǎn)作截面如圖①.(2)球與正方體的各條棱相切球與正方體的各條棱相切于各棱的中點(diǎn)，過(guò)球心作正方體的對(duì)角面有r2＝eq\f(\r(2),2)a，如圖②.(3)長(zhǎng)方體的外接球長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，稱球?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球，根據(jù)球的定義可知，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線是球的直徑，若長(zhǎng)方體過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)為a，b，c，則過(guò)球心作長(zhǎng)方體的對(duì)角面有球的半徑為r3＝eq\f(1,2)eq\r(a2＋b2＋c2)，如圖③.(4)正方體的外接球正方體棱長(zhǎng)a與外接球半徑R的關(guān)系為2R＝eq\r(3)a.(5)正四面體的外接球正四面體的棱長(zhǎng)a與外接球半徑R的關(guān)系為2R＝eq\f(\r(6),2)a.跟蹤訓(xùn)練2(1)正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比為()A．1∶eq\r(3)B．1∶3C．1∶3eq\r(3)D．1∶9答案C解析設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則正方體內(nèi)切球的半徑為棱長(zhǎng)的一半即為eq\f(1,2)，外接球的直徑為正方體的體對(duì)角線，∴外接球的半徑為eq\f(\r(3),2)，∴其體積比為eq\f(4,3)π×(eq\f(1,2))3∶eq\f(4,3)π×(eq\f(\r(3),2))3＝1∶3eq\r(3).(2)長(zhǎng)方體的共頂點(diǎn)的三個(gè)側(cè)面面積分別為eq\r(3)、eq\r(5)、eq\r(15)，則它的外接球表面積為_(kāi)______．答案9π解析設(shè)長(zhǎng)方體共頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a、b、c，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝\r(3)，,bc＝\r(5)，,ac＝\r(15)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\r(3)，,b＝1，,c＝\r(5)，))∴外接球半徑為eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2)＝eq\f(3,2)，∴外接球表面積為4π×(eq\f(3,2))2＝9π.eq\x(命題角度2球的截面)例3在球內(nèi)有相距9cm的兩個(gè)平行截面面積分別為49πcm2和400πcm2，求此球的表面積．解方法一(1)若兩截面位于球心的同側(cè)，如圖(1)所示的是經(jīng)過(guò)球心O的大圓截面，C，C1分別是兩平行截面的圓心，設(shè)球的半徑為Rcm，截面圓的半徑分別為rcm，r1cm.由πreq\o\al(2,1)＝49π，得r1＝7(r1＝－7舍去)，由πr2＝400π，得r＝20(r＝－20舍去)．在Rt△OB1C1中，OC1＝eq\r(R2－r\o\al(2,1))＝eq\r(R2－49)，在Rt△OBC中，OC＝eq\r(R2－r2)＝eq\r(R2－400).由題意可知OC1－OC＝9，即eq\r(R2－49)－eq\r(R2－400)＝9，解此方程，取正值得R＝25.(2)若球心在截面之間，如圖(2)所示，OC1＝eq\r(R2－49)，OC＝eq\r(R2－400).由題意可知OC1＋OC＝9，即eq\r(R2－49)＋eq\r(R2－400)＝9.整理，得eq\r(R2－400)＝－15，此方程無(wú)解，這說(shuō)明第二種情況不存在．綜上所述，此球的半徑為25cm.∴S球＝4πR2＝4π×252＝2500π(cm2)．方法二(1)若截面位于球心的同側(cè)，同方法一，得OCeq\o\al(2,1)＝R2－49，OC2＝R2－400，兩式相減，得OCeq\o\al(2,1)－OC2＝400－49?(OC1＋OC)(OC1－OC)＝351.又OC1－OC＝9，∴OC1＋OC＝39，解得OC1＝24，OC＝15，∴R2＝OC2＋r2＝152＋202＝625，∴R＝25cm.(以下略)反思與感悟設(shè)球的截面圓上一點(diǎn)A，球心為O，截面圓心為O1，則△AO1O是以O(shè)1為直角頂點(diǎn)的直角三角形，解答球的截面問(wèn)題時(shí)，常用該直角三角形求解，并常用過(guò)球心和截面圓心的軸截面．跟蹤訓(xùn)練3把本例的條件改為“球的半徑為5，兩個(gè)平行截面的周長(zhǎng)分別為6π和8π”，則兩平行截面間的距離是()A．1B．2C．1或7D．2或6答案C解析畫出球的截面圖，如圖所示．兩平行直線是球的兩個(gè)平行截面的直徑，有兩種情形：①兩個(gè)平行截面在球心的兩側(cè)，②兩個(gè)平行截面在球心的同側(cè)．對(duì)于①，m＝eq\r(52－32)＝4，n＝eq\r(52－42)＝3，兩平行截面間的距離是m＋n＝7；對(duì)于②，兩平行截面間的距離是m－n＝1.故選C.類型三組合體的體積例4某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.eq\f(1,3)＋π B.eq\f(2,3)＋πC.eq\f(1,3)＋2π D.eq\f(2,3)＋2π答案A解析由三視圖可知該幾何體是一個(gè)三棱錐與半個(gè)圓柱的組合體，V＝eq\f(1,2)π×12×2＋eq\f(1,3)×(eq\f(1,2)×1×2)×1＝π＋eq\f(1,3).故選A.反思與感悟此類問(wèn)題的關(guān)鍵是把三視圖還原為空間幾何體，再就是代入公式計(jì)算，注意錐體與柱體兩者的體積公式的區(qū)別．解答組合體問(wèn)題時(shí)，要注意知識(shí)的橫向聯(lián)系，善于把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題，運(yùn)用方程思想與函數(shù)思想解決，融計(jì)算、推理、想象于一體．跟蹤訓(xùn)練4如圖，是一個(gè)獎(jiǎng)杯的三視圖(單位：cm)，底座是正四棱臺(tái)，求這個(gè)獎(jiǎng)杯的體積．解三視圖復(fù)原的幾何體下部是底座是正四棱臺(tái)，中部是圓柱，上部是球．這個(gè)獎(jiǎng)杯的體積V＝eq\f(1,3)h(S上＋eq\r(S上S下)＋S下)＋22π·16＋eq\f(4π,3)×33＝336＋100π(cm3)．1．已知一個(gè)銅質(zhì)的五棱柱的底面積為16cm2，高為4cm，現(xiàn)將它熔化后鑄成一個(gè)正方體的銅塊(不計(jì)損耗)，那么鑄成的銅塊的棱長(zhǎng)是()A．2cmB．3cmC．4cmD．8cm答案C解析∵銅質(zhì)的五棱柱的底面積為16cm2，高為4cm，∴銅質(zhì)的五棱柱的體積V＝16×4＝64(cm3)，設(shè)熔化后鑄成一個(gè)正方體的銅塊的棱長(zhǎng)為acm，則a3＝64，解得a＝4cm，故選C.2.已知高為3的棱柱ABC—A1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為1的正三角形(如圖)，則三棱錐B1—ABC的體積為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),6) D.eq\f(\r(3),4)答案D解析V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×3＝eq\f(\r(3),4).3．將棱長(zhǎng)為2的正方體木塊削成一個(gè)體積最大的球，則這個(gè)球的表面積為()A．2π B．4πC．8π D．16π答案B解析體積最大的球是其內(nèi)切球，即球的半徑為1，所以表面積為S＝4π×12＝4π.4．如圖，一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑相等，這時(shí)圓柱、圓錐、球的體積之比為_(kāi)_______．答案3∶1∶2解析設(shè)球的半徑為R，則V柱＝πR2·2R＝2πR3，V錐＝eq\f(1,3)πR2·2R＝eq\f(2,3)πR3，V球＝eq\f(4,3)πR3，故V柱∶V錐∶V球＝2πR3∶eq\f(2,3)πR3∶eq\f(4,3)πR3＝3∶1∶2.5．某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為_(kāi)_______．答案3π解析由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)半徑為1的半球，其表面積為半個(gè)球面面積與截面面積的和，即eq\f(1,2)×4π＋π＝3π.1．柱體、錐體、臺(tái)體的體積之間的內(nèi)在關(guān)系為V柱體＝Sheq\o(―,\s\up7(S′＝S))V臺(tái)體＝eq\f(1,3)h(S＋eq\r(SS′)＋S′)eq\o(→,\s\up7(S′＝0))V錐體＝eq\f(1,3)Sh.2．在三棱錐A－BCD中，若求點(diǎn)A到平面BCD的距離h，可以先求VA－BCD，h＝eq\f(3V,S△BCD).這種方法就是用等體積法求點(diǎn)到平面的距離，其中V一般用換頂點(diǎn)法求解，即VA－BCD＝VB－ACD＝VC－ABD＝VD－ABC，求解的原則是V易求，且△BCD的面積易求．3．求幾何體的體積，要注意分割與補(bǔ)形．將不規(guī)則的幾何體通過(guò)分割或補(bǔ)形將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體求解．4．利用球的半徑、球心到截面圓的距離、截面圓的半徑可構(gòu)成直角三角形，進(jìn)行相關(guān)計(jì)算．5．解決球與其他幾何體的切接問(wèn)題時(shí)，通常先作截面，將球與幾何體的各量體現(xiàn)在平面圖形中，再進(jìn)行相關(guān)計(jì)算．課時(shí)作業(yè)一、選擇題1．如果軸截面為正方形的圓柱的側(cè)面積是4π，那么圓柱的體積等于()A．πB．2πC．4πD．8π答案B解析設(shè)圓柱母線長(zhǎng)為l，底面半徑為r，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l＝2r，,2πrl＝4π，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝2.))∴V圓柱＝πr2l＝2π.2．如圖，在正方體中，四棱錐S－ABCD的體積占正方體體積的()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D．不確定答案B解析由于四棱錐S－ABCD的高與正方體的棱長(zhǎng)相等，底面是正方形，根據(jù)柱體和錐體的體積公式，得四棱錐S－ABCD的體積占正方體體積的eq\f(1,3)，故選B.3．如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為()A.eq\f(9,2)π＋12 B.eq\f(9,2)π＋18C．9π＋42 D．36π＋18答案B解析由三視圖可知該幾何體是一個(gè)長(zhǎng)方體和球構(gòu)成的組合體，其體積V＝eq\f(4,3)π(eq\f(3,2))3＋3×3×2＝eq\f(9,2)π＋18.4．如圖，ABC－A′B′C′是體積為1的棱柱，則四棱錐C－AA′B′B的體積是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)答案C解析∵VC－A′B′C′＝eq\f(1,3)VABC－A′B′C′＝eq\f(1,3)，∴VC－AA′B′B＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).5．一平面截一球得到直徑為6cm的圓面，球心到這個(gè)圓面的距離是4cm，則該球的體積是()A.eq\f(100π,3)cm3 B.eq\f(208π,3)cm3C.eq\f(500π,3)cm3 D.eq\f(416\r(3)π,3)cm3答案C解析如圖，根據(jù)題意，|OO1|＝4cm，|O1A|＝3cm，∴|OA|＝R＝eq\r(|OO1|2＋|O1A|2)＝5(cm)，故球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(500π,3)(cm3)．故選C.6．一個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為2cm的球面上，如果正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為2cm，那么該棱柱的表面積為()A．(2＋4eq\r(2))cm2 B．(4＋8eq\r(2))cm2C．(8＋16eq\r(2))cm2 D．(16＋32eq\r(2))cm2答案C解析∵一個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為2cm的球面上，正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為2cm，球的直徑為正四棱柱的體對(duì)角線，∴正四棱柱的體對(duì)角線為4，正四棱柱的底面對(duì)角線長(zhǎng)為2eq\r(2)，∴正四棱柱的高為eq\r(16－8)＝2eq\r(2)，∴該棱柱的表面積為2×22＋4×2×2eq\r(2)＝8＋16eq\r(2)，故選C.7.如圖，在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()A.eq\f(2,3)πB.eq\f(4,3)πC.eq\f(5,3)πD．2π答案C解析由題意，旋轉(zhuǎn)而成的幾何體是圓柱，挖去一個(gè)圓錐(如圖)，該幾何體的體積為π×12×2－eq\f(1,3)×π×12×1＝eq\f(5,3)π.8．一個(gè)表面積為36π的球外切于一圓柱，則圓柱的表面積為()A．45πB．27πC．36πD．54π答案D解析因?yàn)榍虻谋砻娣e為36π，所以球的半徑為3，因?yàn)樵撉蛲馇杏趫A柱，所以圓柱的底面半徑為3，高為6，所以圓柱的表面積S＝2π×32＋2π×3×6＝54π.二、填空題9．如圖，三棱柱A1B1C1－ABC中，已知D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，AA1的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐A－FED的體積為V1，三棱柱A1B1C1－ABC的體積為V2，則V1∶V2的值為_(kāi)_______．答案eq\f(1,24)解析設(shè)三棱柱的高為h，∵F是AA1的中點(diǎn)，則三棱錐F－ADE的高為eq\f(h,2)，∵D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴S△ADE＝eq\f(1,4)S△ABC，∵V1＝eq\f(1,3)S△ADE·eq\f(h,2)，V2＝S△ABC·h，∴eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(1,6)S△ADE·h,S△ABC·h)＝eq\f(1,24).10．圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形，若其弧長(zhǎng)為2πcm，半徑為eq\r(2)cm，則該圓錐的體積為_(kāi)__cm3.答案eq\f(π,3)解析∵圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)為2πcm，半徑為eq\r(2)cm，故圓錐的底面周長(zhǎng)為2πcm，母線長(zhǎng)為eq\r(2)cm，則圓錐的底面半徑為1，高為1，則圓錐的體積V＝eq\f(1,3)·π·12·1＝eq\f(π,3).11．已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖、側(cè)視圖均是由三角形與半圓構(gòu)成，俯視圖由圓與內(nèi)接三角形構(gòu)成，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)可得此幾何體的體積為_(kāi)_______．答案eq\f(\r(2)π,6)＋eq\f(1,6)解析由已知的三視圖可知原幾何體的上方是三棱錐，下方是半球，∴V＝eq\f(1,3)×(eq\f(1,2)×1×1)×1＋[eq\f(4,3)π(eq\f(\r(2),2))3]×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)＋eq\f(\r(2)π,