第二章一元二次方程全章復(fù)習(xí)題型梳理題型梳理題型方法題型一一元二次方程的解題型二解一元二次方程題型三一元二次方程根的判別式的應(yīng)用題型四一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系題型五一元二次方程的應(yīng)用知識清單知識清單知識點01一元二次方程的解（重點）（1）一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有兩個解，但不一定有兩個實數(shù)解．這x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩實數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個等式求解未知量．a(chǎn)x12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．知識點02用直接配平方法求解一元二次方程（重點）形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．注意：①等號左邊是一個數(shù)的平方的形式而等號右邊是一個非負(fù)數(shù)．②降次的實質(zhì)是由一個二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程．③方法是根據(jù)平方根的意義開平方．知識點03用配方法求解一元二次方程（重點）（1）將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程兩邊同除以二次項系數(shù)，使二次項系數(shù)為1，并把常數(shù)項移到方程右邊；③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個負(fù)數(shù)，則判定此方程無實數(shù)解．要點詮釋：（1）配方法解一元二次方程的口訣：一除二移三配四開方；（2）配方法關(guān)鍵的一步是“配方”，即在方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方.知識點04用因式分解法求解一元二次方程（重點）（1）用因式分解法解一元二次方程的步驟①將方程右邊化為0；②將方程左邊分解為兩個一次式的積；③令這兩個一次式分別為0，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解.（2）常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要點詮釋：（1）能用分解因式法來解一元二次方程的結(jié)構(gòu)特點：方程的一邊是0，另一邊可以分解成兩個一次因式的積；（2）用分解因式法解一元二次方程的理論依據(jù)：兩個因式的積為0，那么這兩個因式中至少有一個等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意點：①必須將方程的右邊化為0；②方程兩邊不能同時除以含有未知數(shù)的代數(shù)式.知識點05一元二次方程的判別式（重難點）1.根的判別式2.根的判別式的應(yīng)用（1）不解方程判定方程根的情況；（2）根據(jù)參數(shù)系數(shù)的性質(zhì)確定根的范圍；（3）解與根有關(guān)的證明題．知識點06一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（難點）知識點07列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟1.審(審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等)；2.設(shè)(設(shè)未知數(shù)，有時會用未知數(shù)表示相關(guān)的量)；3.列(根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程)；4.解(解方程，注意分式方程需檢驗，將所求量表示清晰)；5.驗（檢驗方程的解能否保證實際問題有意義）6.答(寫出答案，切忌答非所問).知識點08幾種常見的一元二次方程應(yīng)用題類型（重點）1：增長率問題列一元二次方程解決增長(降低)率問題時，要理清原來數(shù)、后來數(shù)、增長率或降低率，以及增長或降低的次數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應(yīng)在原數(shù)的基礎(chǔ)上增長或降低兩次.(1)增長率問題：(2)降低率問題：2．面積問題此類問題屬于幾何圖形的應(yīng)用問題，解決問題的關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形分割或組合成規(guī)則圖形，根據(jù)圖形的面積或體積公式，找出未知量與已知量的內(nèi)在關(guān)系并列出方程.3．?dāng)?shù)字問題(1)任何一個多位數(shù)都是由數(shù)位和數(shù)位上的數(shù)組成.數(shù)位從右至左依次分別是：個位、十位、百位、千位……，它們數(shù)位上的單位從右至左依次分別為：1、10、100、1000、……，數(shù)位上的數(shù)字只能是0、1、2、……、9之中的數(shù)，而最高位上的數(shù)不能為0.因此，任何一個多位數(shù)，都可用其各數(shù)位上的數(shù)字與其數(shù)位上的單位的積的和來表示，這也就是用多項式的形式表示了一個多位數(shù).如：一個三位數(shù)，個位上數(shù)為a，十位上數(shù)為b，百位上數(shù)為c，則這個三位數(shù)可表示為：100c+10b+a.(2)幾個連續(xù)整數(shù)中，相鄰兩個整數(shù)相差1.如：三個連續(xù)整數(shù)，設(shè)中間一個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為x1，x+1.幾個連續(xù)偶數(shù)(或奇數(shù))中，相鄰兩個偶數(shù)(或奇數(shù))相差2.如：三個連續(xù)偶數(shù)(奇數(shù))，設(shè)中間一個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為x2，x+2.4．利潤（利息）問題利息問題(1)概念：本金：顧客存入銀行的錢叫本金.利息：銀行付給顧客的酬金叫利息.本息和：本金和利息的和叫本息和.期數(shù)：存入銀行的時間叫期數(shù).利率：每個期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫利率.(2)公式:利息=本金×利率×期數(shù)利息稅=利息×稅率本金×(1+利率×期數(shù))=本息和本金×[1+利率×期數(shù)×(1稅率)]=本息和(收利息稅時)利潤(銷售)問題利潤(銷售)問題中常用的等量關(guān)系：利潤=售價進(jìn)價(成本)總利潤=每件的利潤×總件數(shù)5．比賽統(tǒng)計問題比賽問題：解決此類問題的關(guān)鍵是分清單循環(huán)和雙循環(huán)

．6．傳播問題傳播問題：題型方法題型方法【題型一】一元二次方程的解A．1，2 B．1，0 C．，0 D．1【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程的根，熟練掌握一元二次方程的根是解題的關(guān)鍵故選：D．A．4 B． C．3 D．【答案】B【分析】本題考查了由一元二次方程的解求參數(shù)，熟練掌握方程的解的定義是解題的關(guān)鍵．將已知根代入方程，解關(guān)于的一元一次方程即可．故選：B．【答案】2025【分析】本題考查了一元二次方程的解，解決本題的關(guān)鍵是將x代入到方程中求出關(guān)于a、b的等式．故答案為：2025．【答案】(1)【分析】本題考查一元二次方程的解，熟練掌握一元二次方程的解是使方程成立的未知數(shù)的值，是解題的關(guān)鍵：故答案為：；【題型二】解一元二次方程A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【分析】本題主要考查配方法，熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵．此題可根據(jù)配方法，在方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意得：方程兩邊同時加上4．故選：C．A． B．2 C．或2 D．0【答案】A故選：．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，一元二次方程的一般形式，直接開平方法解一元二次方程，解一元一次不等式等知識點，熟練掌握一元二次方程的定義及一元二次方程的一般形式是解題的關(guān)鍵．【分析】本題考查一元二次方程的定義，解一元二次方程，理解一元二次方程的基本定義是解題關(guān)鍵．根據(jù)一次項的定義先確定一次項，然后確定系數(shù)，解方程即可．【變式3】（2425八年級下·北京海淀·期中）解方程【分析】本題考查了解一元二次方程．（1）用直接開平方法解一元二次方程即可；（2）用配方法解一元二次方程即可．【題型三】一元二次方程根的判別式的應(yīng)用A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．只有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根【答案】A有兩個不相等的實數(shù)根．故選：A．【答案】故答案為：．【答案】見解析【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式．熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．無論m為何值，原方程都有兩個不相等的實數(shù)根．【分析】本題考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判別式；先計算根的判別式，根據(jù)條件判斷只有①滿足，再解一元二次方程，即可求解．∴條件①滿足，條件②不滿足，故選條件①．

【題型四】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系A(chǔ)．1 B． C．2 D．【答案】D【詳解】解：設(shè)另一個根為，故選：D．【答案】11故答案為：11(1)求證：方程總有兩個實數(shù)根；(2)若方程有一個根小于1，求k的取值范圍．【答案】(1)見解析【分析】本題考查了根的判別式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是掌握根的判別式；方程總有兩個實數(shù)根．方程有一根小于1，(1)若方程有兩個相等的實數(shù)根，求p的值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系等知識，熟練掌握一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式等于0求解即可得；∵都為正整數(shù)，∴都為偶數(shù)，∴為偶數(shù)．【題型五】一元二次方程的應(yīng)用【例5】（2425九年級上·河北廊坊·階段練習(xí)）某賽季籃球職業(yè)聯(lián)賽，采用雙循環(huán)制（每兩隊之間都進(jìn)行兩場比賽），比賽總場數(shù)為240場，若設(shè)參賽隊伍有x支，則可列方程為（

）【答案】C【分析】本題考查了實際問題與一元二次方程，根據(jù)總比賽場數(shù)作為等量關(guān)系列方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)參賽隊伍有x支，根據(jù)參加籃球職業(yè)聯(lián)賽的每兩隊之間都進(jìn)行兩場比賽，共要比賽240場，列出方程即可．【詳解】解：設(shè)參賽隊伍有x支，故選：C．【舉一反三】【變式1】（2425九年級上·重慶合川·期中）某超市一月份的營業(yè)額為200萬元，三月份的營業(yè)額為288萬元，如果平均每月的增長率為，則由題意列方程為（

）【答案】A故選：A．【變式2】（2425九年級上·河北保定·期末）在2024年12月的日歷表上用一個方框圈出4個數(shù)（如圖所示），若圈出的四個數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為513，則這個最小數(shù)為．【答案】19故答案為：19．【變式3】（2425九年級上·貴州六盤水·期末）某公司2月份銷售新上市的產(chǎn)品25套，由于該產(chǎn)品的經(jīng)濟(jì)適用性，銷售量快速上升，4月份該公司銷售產(chǎn)品達(dá)到36套．(1)求該公司這兩個月銷售產(chǎn)品的月均增長率；(2)若銷售產(chǎn)品每套盈利2萬元，則平均每月可售30套，為了盡快減少庫存，該公司決定采用適當(dāng)?shù)慕祪r措施．調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果產(chǎn)品每套每降價0．1萬元，那么公司平均每月可多售出4套．若該公司想在5月份獲利70萬元，則每套產(chǎn)品應(yīng)降價多少萬元？【答案】(1)(2)1萬元【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)該公司這兩個月銷售A產(chǎn)品的月均增長率，根據(jù)2月份及4月份該公司產(chǎn)品的銷售量，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；【詳解】（1）設(shè)該公司這兩個月銷售A產(chǎn)品的月均增長率，依題意得：該公司這兩個月銷售A產(chǎn)品的月均增長率．（2）設(shè)每套A產(chǎn)品應(yīng)降價萬元，依題意得：答：每套A產(chǎn)品應(yīng)降價萬元．好題必刷好題必刷一、單選題A．3 B．2 C． D．【答案】B故選：B．A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根C．無實數(shù)根 D．無法判定根的情況【答案】B∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選：B．【答案】C【分析】本題考查配方法解一元二次方程，通過配方將方程轉(zhuǎn)化為完全平方形式，需根據(jù)一次項系數(shù)確定配方的常數(shù)項，并保持等式成立，熟練掌握配方法解一元二次方程是解此題的關(guān)鍵．故選：C．A．2023 B．2020 C．2021 D．2022【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程的解，整體代入是解題的關(guān)鍵．故選：D．5．（2324九年級上·四川綿陽·期中）《九章算術(shù)》中記載著：今有戶不知高、廣，竿不知長短．橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出．問戶高、廣、邪各幾何？簡譯為：今有一扇門，不知門的高和寬．另有一竹竿，也不知竹竿的長短．竹竿橫著放時比門的寬長4尺，竹竿豎著放時比門的高長2尺，竹竿斜著放時與門的對角線恰好相等，求門的高、寬和對角線的長各是多少?若設(shè)門的對角線長為尺，則可列方程為（

）【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，正確理解題意、找準(zhǔn)相等關(guān)系是解題的關(guān)鍵；設(shè)門的對角線長為尺，根據(jù)：竹竿橫著放時比門的寬長4尺，竹竿豎著放時比門的高長2尺，竹竿斜著放時與門的對角線恰好相等，結(jié)合勾股定理即可列出方程，得到答案．故選：D．二、填空題【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的一般形式及有關(guān)概念，先移項，得到其一般式，由此得到答案．它的一次項系數(shù)是，故答案為：．【答案】5，故答案為：5．【答案】9故答案為：9．【分析】此題考查的是根據(jù)一元二次方程根的情況，求參數(shù)的取值范圍，掌握一元二次方程的定義以及根的判別式是解決此題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程的定義以及根的判別式即可求出答案．三、解答題10．（2025九年級上·全國·專題練習(xí)）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋骸痉治觥浚?）移項開方．（2）移項配方開方．（3）整理方程后配方開方．（4）先展開后配方開方．【點睛】本題考查了一元二次方程的解法，根據(jù)不同方程特點選合適的解法是解題的關(guān)鍵．11．（2425八年級下·山東泰安·期中）用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠?2)方程沒有實數(shù)根【分析】本題考查解一元二次方程，根據(jù)方程特點選擇合適的方法是解題的關(guān)鍵．（1）運(yùn)用直接開方法求解即可；（2）運(yùn)用公式法求解即可；（3）將方程整理后，運(yùn)用公式法求解即可；（4）運(yùn)用因式分解法求解即可．∴該方程沒有實數(shù)根．∴該方程有兩個不相等的實數(shù)根，【分析】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，以及二次根式的化簡，熟練掌握一