數(shù)學(xué)第第頁《平行四邊形》菱形第2課時A卷（基礎(chǔ)）一、選擇題1．下列說法正確的是（）A．對角線垂直的四邊形是菱形B．對角線互相平分的四邊形是菱形C．菱形的對角線相等且互相平分 D．菱形的對角線互相垂直且平分【答案】D【解析】由于對角線垂直且互相平分的四邊形是菱形，故A、B均錯誤；由于菱形的對角線垂直且互相平分，但不一定相等，故C錯誤，D正確．故選D．【知識點】菱形的判定與性質(zhì)．【難度】★【題型】選擇題2．如圖，O既是AB的中點，又是CD的中點，并且AB⊥CD．連接AC、BC、AD、BD，則這四條線段的大小關(guān)系是（）A．全相等 B．互不相等C．只有兩條相等 D．不能確定【答案】A【解析】由于對角線垂直且互相平分的四邊形是菱形，根據(jù)題意，可知四邊形ACBD是菱形，故AC＝BC＝AD＝BD．故選A．【知識點】菱形的判定與性質(zhì)．【難度】★【題型】選擇題3．如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AF＝6，則四邊形AEDF的周長是（）A．24 B．28 C．32 D．36【答案】A【解析】∵DE∥AC，DF∥AB，∴四邊形AEDF為平行四邊形，∠EAD＝∠FDA．∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD＝∠FDA．∴FA＝FD．∴平行四邊形AEDF為菱形．∵AF＝6，∴C菱形AEDF＝4AF＝4×6＝24．故選A．【知識點】菱形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定．【難度】★【題型】選擇題4．如圖，菱形ABCD的一邊中點M到對角線交點O的距離為10cm，則菱形ABCD的周長為（）A．40cm B．60cm C．80cm D．100cm【答案】C【解析】∵四邊形ABCD為菱形，∴O為AC的中點．又∵M為AB的中點，∴MO為△ABC的中位線．∴BC＝2MO＝20cm，∴菱形ABCD的周長＝4BC＝80cm．故選C．【知識點】菱形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；三角形中位線定理．【難度】★【題型】選擇題二、填空題5．______相等的四邊形是菱形．菱形的對角線______________，且每條對角線_________.對角線所在的直線是菱形的_______．【答案】四邊；互相平分且垂直；平分一組對角；對稱軸．【解析】四邊相等的四邊形是菱形．菱形的對角線互相平分且垂直，且每條對角線平分一組對角．菱形的面積等于兩條對角線長的乘積的一半．對角線所在的直線是菱形的對稱軸．故答案為：四邊；互相平分且垂直；平分一組對角；對稱軸．【知識點】菱形的判定與性質(zhì)．【難度】★【題型】填空題6．如圖，已知AB＝BC＝CD＝AD，∠DAC＝40°，那么∠B＝_____．【答案】100°．【解析】∵AB＝BC＝CD＝AD，∴四邊形ABCD是菱形．∴AD∥BC，AC平分∠DAB．∵∠DAC＝40°．∴∠DAB＝2∠DAC＝80°．∴∠B＝180°﹣∠DAB＝100°．故答案為：100°．【知識點】菱形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)．【難度】★【題型】填空題7．如圖，已知四邊形ABCD的對角線AC、BD互相垂直且互相平分，AB＝11，則四邊形ABCD的周長為____．【答案】44【解析】∵四邊形ABCD的對角線AC、BD互相垂直且互相平分，∴四邊形ABCD是菱形，則四邊形ABCD的周長為4AB＝4×11＝44．故答案為：44．【知識點】菱形的判定與性質(zhì)．【難度】★【題型】填空題8．如圖，①以點A為圓心2cm長為半徑畫弧分別交∠MAN的兩邊AM、AN于點B、D；②以點B為圓心，AD長為半徑畫弧，再以點D為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧交于點C；③分別連接BC、CD、AC．若∠MAN＝60°，則∠ACB的大小為______．【答案】30°【解析】由題意可得：AB＝BC＝CD＝AD＝2cm，∴四邊形ABCD是菱形．∴BC∥DA，∠CAB＝∠CAD＝∠MAN＝30°．∴∠ACB＝∠CAD＝30°．故答案為：30°．【知識點】菱形的判定與性質(zhì)．【難度】★【題型】填空題三、解答題9．拿出平行四邊形的活動框架，對角線是兩根橡皮筋．如果把DC沿CB方向平行移動，□ABCD的邊、內(nèi)角、對角線都隨著變化．當平移DC使BC＝AB時：（1）□ABCD四條邊的大小有什么關(guān)系？結(jié)合圖形說明理由．（2）對角線AC、BD的位置有什么關(guān)系？結(jié)合圖形說明理由．【答案】（1）□ABCD四條邊相等，理由見解析過程．（2）對角線AC、BD互相垂直，理由見解析過程．【解析】（1）□ABCD四條邊相等．理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AD＝BC．∵BC＝AB，∴AB＝BC＝CD＝AD．∴四邊形ABCD是菱形．∴□ABCD四條邊相等．（2）對角線AC、BD互相垂直．理由如下：由（1）知四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．∴對角線AC、BD互相垂直．【知識點】菱形的判定與性質(zhì)；生活中的平移現(xiàn)象．【難度】★【題型】解答題10．校園內(nèi)有一塊四邊形的花坪造型，課外活動小組實地測量，并記錄數(shù)據(jù)，根據(jù)造型畫如圖的四邊形ABCD，其中AB＝BC＝CD＝DA＝3米，∠B＝30°．（1）請判斷四邊形ABCD的形狀，并加以證明；（2）求花坪造型的面積．【答案】（1）四邊形ABCD是菱形，理由見解析；（2）4.5平方米．【解析】（1）四邊形ABCD是菱形，證明如下：∵AB＝BC＝CD＝DA＝3，∴四邊形ABCD是菱形．（2）解：過點A作AE⊥BC于點E，∵AB＝3米，∠B＝30°，∴AE＝1.5米．∴花坪造型的面積為：3×1.5＝4.5（平方米）．【知識點】菱形的判定與性質(zhì)．【難度】★【題型】解答題B卷（鞏固）一、選擇題1．依據(jù)所標數(shù)據(jù)（度為所在角的度數(shù)，數(shù)字為所在邊的長度），下列平行四邊形不一定是菱形的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】A．平行四邊形的一個角為60°，不能確定邊的長度，不一定是菱形，故A不一定是菱形；B．∵四邊形是平行四邊形，又32+42＝52，對角線相互垂直，所以平行四邊形是菱形；C．由題意，平行四邊形有一組鄰邊相等，由菱形的定義可知該平行四邊形是菱形；D．因為“等角對等邊”，故平行四邊形有一組鄰邊相等，故是菱形．故選A．【知識點】菱形的判定．【難度】★★【題型】選擇題2．如圖，點E，F(xiàn)分別在□ABCD的邊AB，BC上，AE＝CF，增加下列其中一個條件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③DE＝DF；能使四邊形ABCD是菱形的條件有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【解析】①∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（AAS）．∴AD＝CD．∴□ABCD為菱形；②∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C．在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（ASA）．∴AD＝CD．∴□ABCD為菱形；③由AE＝CF，DE＝DF，∠A＝∠C，不能判定△ADE≌△CDF，∴不能得出AD＝CD．∴不能使□ABCD為菱形；綜上所述，能使四邊形ABCD是菱形的條件個數(shù)為2個，故選C．【知識點】菱形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．【難度】★★【題型】選擇題3．如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，添加下列條件仍不能判斷四邊形ABCD是菱形的是（）A．AB＝AD B．AO2+BO2＝AB2 C．AC＝BD D．∠BAC＝∠ACB【答案】C【解析】∵AB＝AD，∴平行四邊形ABCD是菱形，故A正確；∵AO2+BO2＝AB2，∴△AOB是直角三角形．∴AC⊥BD．∴平行四邊形ABCD是菱形，故B正確；∵AC＝BD，∴平行四邊形ABCD是矩形，故C錯誤；∵∠BAC＝∠ACB，∴AB＝BC，∴平行四邊形ABCD是菱形，故D正確．故選C．【知識點】菱形的判定；勾股定理的逆定理；平行四邊形的性質(zhì)．【難度】★★【題型】選擇題4．如圖，在□ABCD中，AB＝BC＝5．對角線BD＝8，則□ABCD的面積為（）A．20 B．24 C．40 D．48【答案】B【解析】如圖所示，連接AC交BD于O，在□ABCD中，AB＝BC＝5，∴四邊形ABCD是菱形．∴AC⊥BD，又∵對角線BD＝8，∴BO＝4．在Rt△AOB中，AO＝＝＝3．∴AC＝2AO＝6．∴菱形ABCD的面積為＝＝24．故選B．【知識點】菱形的判定與性質(zhì)；勾股定理．【難度】★★【題型】選擇題5．如圖，在∠AOB中，以點O為圓心，任意長為半徑作弧，交射線OA于點C，交射線OB于點D，再分別以C、D為圓心，OC的長為半徑，兩弧在∠AOB的內(nèi)部交于點E，作射線OE，若OC＝10，OE＝16，則C、D兩點之間距離為（）A．10B．12C．13D．【答案】B【解析】由作圖過程可知：OC＝OD，OC＝CE＝DE．∵OC＝OD＝DE＝CE，∴四邊形ODEC是菱形．如圖，連接CD交OE于點F，∵四邊形OCED是菱形，∴OE⊥CD，OF＝FE＝OE＝8，OC＝10，∴CF＝DF＝6∴CD＝12．故選B．【知識點】菱形的判定與性質(zhì)．【難度】★★【題型】選擇題6．如圖，△ABC中，AC＝，BC＝4，AB＝，點D是AB的中點，EB∥CD，EC∥AB，則四邊形CEBD的周長是（）A． B．8 C． D．【答案】C【解析】∵EB∥CD，EC∥AB，∴四邊形CEBD是平行四邊形．在△ABC中，∵AC＝，BC＝4，AB＝，（）2+42＝2+16＝18＝（3）2，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．∵點D是AB的中點，∴DC＝AD＝DB＝AB＝．∴四邊形CEBD是菱形．∴四邊形CEBD的周長＝4DB＝4×＝6．故選C．【知識點】菱形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理的逆定理．【難度】★★【題型】選擇題7．如圖1，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于O，要在對角線BD上找兩點M、N，使得四邊形AMCN是菱形，現(xiàn)有圖2中的甲、乙兩種方案，則正確的方案是（）A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲乙都不是【答案】C【解析】∵四邊形ABCD是菱形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC⊥BD．∵BM＝DN，∴OM＝ON．∴四邊形AMCN是菱形．故方案甲正確；∵四邊形ABCD是菱形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC⊥BD，∠BAC＝∠DAC．∵AM，AN是∠BAC和∠DAC的平分線，∴∠MAC＝∠NAC．∵∠AOM＝∠AON＝90°，在△AOM和△AON中，，∴△AOM≌△AON（ASA）．∴OM＝ON．∴四邊形AMCN是平行四邊形．∵AC⊥MN，∴四邊形AMCN是菱形．故方案乙正確．故選C．【知識點】菱形的判定與性質(zhì)．【難度】★★【題型】選擇題二、填空題8．如圖，直線l是四邊形ABCD的對稱軸，若AD＝CB，下面四個結(jié)論中：①AD∥CB；②AC⊥BD；③AO＝OC；④AB⊥BC，一定正確的結(jié)論的序號是_______．【答案】①②③【解析】∵直線l是四邊形ABCD的對稱軸，∴AD＝AB，CD＝CB．∵AD＝CB，∴AD＝CB＝AB＝CD．∴四邊形ABCD是菱形．∴①AD∥CB，正確；②AC⊥BD，正確；③AO＝OC，正確；④AB不一定垂直于BC，錯誤．故答案為：①②③．【知識點】菱形的判定與性質(zhì)．【難度】★★【題型】填空題9．小明借助沒有刻度的直尺，按照下圖的順序作出了∠O的平分線OP，他這樣做的數(shù)學(xué)原理是___________________________．【答案】菱形的每一條對角線都平分它的一組對角【解析】如圖．∵直尺的對邊互相平行，∴AP∥OB，OA∥BP．∴四邊形AOBP是平行四邊形．∵直尺的寬度相同，∴AP與OB間的距離＝OA與BP間的距離．∵□AOBP的面積不變．∴OA＝OB．∴□AOBP是菱形．∴OP平分∠AOB．故答案為：菱形的每一條對角線都平分它的一組對角．【知識點】菱形的判定與性質(zhì)．【難度】★★【題型】填空題10．如圖所示，把兩個等寬的紙條按圖示放置，如果重疊部分的四邊形的兩條對角線的長分別是+1，－1，則重疊部分的四邊形面積是_____．【答案】1【解析】過點D作DE⊥AB于點E，作DF⊥BC于點F，∵把兩個等寬的紙條按圖示放置，∴AD∥BC，AB∥CD，DE＝DF．∴四邊形ABCD是平行四邊形．∵S四邊形ABCD＝AB?DE＝BC?DF，∴AB＝BC．∴四邊形ABCD是菱形．∴S菱形ABCD＝AC?BD＝×（+1）（－1）＝1．故答案為：1．【知識點】菱形的判定與性質(zhì)．【難度】★★【題型】填空題三、解答題11．如圖，菱形ABCD對角線交于點O，BE∥AC，AE∥BD，EO與AB交于點F．（1）試判斷四邊形AEBO的形狀，并說明你的理由；（2）求證：EO＝DC．【答案】（1）見解析過程；（2）見解析過程．【解析】（1）四邊形AEBO是矩形．理由如下：∵BE∥AC，AE∥BD，∴四邊形AEBO是平行四邊形．又∵菱形ABCD對角線交于點O，∴AC⊥BD，即∠AOB＝90°．∴四邊形AEBO是矩形．（2）∵四邊形AEBO是矩形，∴EO＝AB．在菱形ABCD中，AB＝DC．∴EO＝DC．【知識點】菱形的性質(zhì)；矩形的判定．【難度】★★【題型】解答題12．如圖，在□ABCD中，對角線BD的垂直平分線交CD于點E，交AB于點F，連接BE，DF．求證：四邊形BEDF是菱形．【答案】證明見解析過程．【解析】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD∥AB．∴∠EDO＝∠FBO．∵EF是BD的垂直平分線，∴BO＝DO，∠EOD＝∠FOB＝90°．在△DEO和△BFO中，，∴△DEO≌△BFO（ASA）．∴OE＝OF．又∵OB＝OD，∴四邊形BEDF是平行四邊形．∵EF⊥BD，∴平行四邊形BEDF是菱形．【知識點】菱形的判定；線段垂直平分線的性質(zhì)；平行四邊形的判定．【難度】★★【題型】解答題13．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD為△ABC的中線．BE∥DC，BE＝DC，連接CE．（1）求證：四邊形BDCE為菱形；（2）連接DE，若∠ACB＝60°，BC＝4，求DE的長．【答案】（1）見解析過程；（2）4．【解析】（1）證明：∵BE∥AC，BE＝DC，∴四邊形BDCE為平行四邊形．∵∠ABC＝90°，BD為AC邊上的中線，∴．∴四邊形BDCE為菱形.（2）解：如圖，連接DE交BC于O點．∵四邊形BDCE為菱形，BC＝4，∴，∵∠ACB＝60°，∴∠EDC＝90°－∠ACB＝30°．∴DC＝2OC＝4，DO＝OC＝2．∴．【知識點】菱形的判定與性質(zhì)；含30°角直角三角形的性質(zhì)；直角三角形斜邊中線定理．【難度】★★【題型】解答題14．如圖，在□ABCD中，AD＞AB，AE平分∠BAD，交BC于點E，過點E作EF∥AB交AD于點F．（1）求證：四邊形ABEF是菱形；（2）若菱形ABEF的周長為16，∠EBA＝120°，求AE的大?。敬鸢浮浚?）見解析；（2）AE＝4．【解析】（1）證明：∵□ABCD，∴BC∥AD，即BE∥AF．∵EF∥AB，∴四邊形ABEF為平行四邊形．∵AE平分∠BAF，∴∠EAB＝∠EAF．∵BC∥AD，∴∠BEA＝∠EAF．∴∠BEA＝∠BAE．∴AB＝BE．∴四邊形ABEF是菱形．（2）解：連接BF交AE于點O，則BF⊥AE于點O．∵BA＝BE，∠EBA＝120°，∴∠BEA＝∠BAE＝30°．∵菱形ABEF的周長為16，∴AB＝4．在Rt△ABO中∠BAO＝30°，∴BO＝AB＝2．∴AO＝．∴AE＝．【知識點】菱形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)．【難度】★★【題型】解答題15．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延長線于點F．（1）求證：四邊形ADCF是菱形；（2）若AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面積．【答案】（1）見解析過程；（2）96．【解析】（1）證明：∵E是AD的中點，∴AE＝DE．∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE．在△AEF和△DEB中，∵，∴△AEF≌△DEB（AAS）．∴AF＝DB．∵D是BC的中點，∴BD＝CD．∴AF＝CD．∴四邊形ADCF是平行四邊形．∵∠BAC＝90°，D是BC的中點，∴AD＝CD＝BC，∴四邊形ADCF是菱形；（2）解：設(shè)AF到CD的距離為h，∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，∴S菱形ADCF＝CD?h＝BC?h＝S△ABC＝AB?AC＝×12×16＝96．【知識點】菱形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；三角形中位線定理．【難度】★★【題型】解答題C卷（拓展）一、選擇題1．如圖，已知點E、F分別是四邊形ABCD的邊AD、BC的中點，G、H分別是對角線BD、AC的中點，要使四邊形EGFH是菱形，則四邊形ABCD需滿足的條件是（）A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AD＝BC【答案】A【解析】∵點E、F分別是四邊形ABCD的邊AD、BC的中點，G、H分別是對角線BD、AC的中點，∴EG＝FH＝AB，EH＝FG＝CD．∵當EG＝FH＝GF＝EH時，四邊形EGFH是菱形．∴當AB＝CD時，四邊形EGFH是菱形．故選A．【知識點】菱形的判定；三角形中位線定理．【難度】★★★【題型】選擇題2．如圖，□ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AD＝AC，M、N、P分別是OA、OB、CD的中點，下列結(jié)論：①CN⊥BD；②MN＝NP；③四邊形MNCP是菱形；④ND平分∠PNM．其中正確的有（）A．1個B．2個C．3個D．4個【答案】C【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD，OA＝OC＝AC．∵AD＝AC，∴OC＝BC．∵N是OB的中點，∴CN⊥BD，①正確；∵M、N分別是OA、OB的中點，∴MN是△AOB的中位線，∴MN∥AB，MN＝AB．∵CN⊥BD，∴∠CND＝90°．∵P是CD的中點，∴NP＝CD＝AB．∴MN＝NP，②正確；∵MN∥AB，AB∥CD，∴MN∥CD．又∵NP＝PC，MN＝NP，∴MN＝PC．∴四邊形MNCP是平行四邊形，但無法證明四邊形MNCP是菱形；③錯誤；∵MN∥CD，∴∠PDN＝∠MND．∵NP＝PD，∴∠PDN＝∠PND．∴∠MND＝∠PND．∴ND平分∠PNM，④正確；故正確的有3個，故選C．【知識點】菱形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理；平行四邊形的性質(zhì)．【難度】★★★【題型】選擇題二、填空題3．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°．△ABD和△ACE都是等邊三角形，F(xiàn)為AB的中點，連接DE交AB于點G，EF與AC交于點H．以下結(jié)論：①EF⊥AC；②四邊形ADFE為菱形；③AD＝4AG；④FH＝BD．其中，正確的結(jié)論有________．（填寫所有正確結(jié)論的序號）【答案】①③④．【解析】①如圖，連接CF，∵∠ACB＝90°，F(xiàn)為AB中點，∴CF＝AB＝AF，∴點F在AC的垂直平分線上，∵△ACE是等邊三角形，∴AE＝CE，∴點E在AC的垂直平分線上，∴EF⊥AC，故①正確；②∵△ABD是等邊三角形，F(xiàn)是AB中點，∴DF⊥AB，∴AD＞DF，∴四邊形ADFE不可能是菱形，故②不正確；③∵△ABD是等邊三角形，∴AB＝AD＝BD，∠DAB＝60°，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，∴∠DAB＝∠ABC＝60°，∴AD∥BC，∵AC⊥EF，∠ACB＝90°，∴EF∥AD，∵△ACE是等邊三角形，EF⊥AC，∴∠AEC＝∠CAE＝60°，∠AEF＝30°，∴EF＝2AF＝AB，∴AD＝EF，∴四邊形ADFE是平行四邊形，∴AG＝AF＝AB＝AD，∴AD＝4AG，故③正確；④∵∠BAC＝30°，∴FH＝AF＝AB＝BD，∴FH＝BD，故④正確；正確的結(jié)論有①③④，故答案為：①③④．【知識點】菱形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形．【難度】★★★【題型】填空題4．如圖，菱形ABCD中，AC與BD交于點O，CD＝2OB，E為CD延長線上一點，使得DE＝CD，連結(jié)BE，分別交AC、AD于點F、G，連結(jié)OG，AE，則下列結(jié)論：①BC⊥BE；②AF＝3OF；③四邊形ODEG與四邊形OBAG的面積相等；④由點A、B、D、E構(gòu)成的四邊形是菱形．其中正確的結(jié)論有.（填序號）【知識點】菱形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；三角形外角的性質(zhì)．【答案】①③④．【解析】∵四邊形ABCD是菱形，∴BC＝CD＝AB，AB∥CD，OB＝OD．∵CD＝2OB，∴BC＝DC＝BD．∴△BDC是等邊三角形．∴∠BCD＝60°．∵DE＝CD，∴DE＝BD．∴∠DBE＝∠DEB．∵∠BCD＝∠DBE+∠DEB＝60°，∴∠DBE＝∠DEB＝30°．∴∠EBC＝90°．∴BC⊥BE，故①正確；∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．∵∠OBF＝30°，∴BF＝2OF．∵∠ABF＝∠E＝30°，∠BAF＝∠BCA＝30°，∴∠ABF＝∠BAF．∴BF＝AF．∴AF＝2OF，故②錯誤；∵AB＝CD＝DE，AB∥CD，∴△ABD和△DEB等底等高，故面積相等．∴△ABD和