郴州市2025年上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試卷高一數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.試卷分試題卷和答題卡.試卷共6頁(yè)，有四大題，共19小題，滿(mǎn)分150分.考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、準(zhǔn)考證號(hào)、考室號(hào)及座位號(hào)寫(xiě)在答題卡和試題卷的封面上.3.考生作答時(shí)，選擇題和非選擇題均須作答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.考生在答題卡上按答題卡中注意事項(xiàng)的要求答題.4.考試結(jié)束后，將試題卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題（本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知，為實(shí)數(shù)，（為虛數(shù)單位），則（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)相等的條件即可求解.【詳解】因?yàn)椋裕?故選：B.2.已知向量，，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由共線向量的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，，所以故選：A.3.在長(zhǎng)方體中，，，則直線和直線所成角的大小為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知找到異面直線所成角的平面角，再根據(jù)已知求其大小即可.【詳解】由長(zhǎng)方體結(jié)構(gòu)知且，則為平行四邊形，故，所以直線和直線所成角，即為或其補(bǔ)角，而，，，所以，則.故選：C4.某圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題可知圓錐底面半徑，高為等邊三角形的高為，再利用錐體體積公式即可求解.【詳解】因?yàn)閳A錐的軸截面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以圓錐底面半徑，高為等邊三角形的高為，則圓錐的體積.故選：C.5.如圖，矩形是水平放置的平面四邊形用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的直觀圖，其中，，則原四邊形的周長(zhǎng)為（）A.12 B.28 C. D.20【答案】D【解析】【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法及已知求出圓平行四邊形的邊長(zhǎng)，即可得.【詳解】由題設(shè)，易知，則，故，，所以，而，，所以原四邊形的周長(zhǎng)為20.故選：D6.的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，，則（）A.16 B. C. D.4【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理整理等式，再根據(jù)正弦和角公式求得角的正弦值，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求得角的正弦值，再結(jié)合正弦定理，可得答案【詳解】由，則，即，由，則，由，則，因?yàn)?所以，所以.故選：B.7.同時(shí)拋擲一白一紅兩枚質(zhì)地均勻的骰子，用表示白色骰子的點(diǎn)數(shù)，表示紅色骰子的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件“”，事件“為偶數(shù)”，事件“”，則下列結(jié)論正確的是（）A.與對(duì)立 B. C.與相互獨(dú)立 D.與相互獨(dú)立【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對(duì)立事件的定義，可判定A錯(cuò)誤；根據(jù)古典摡型的概率計(jì)算公式，可判定B正確；利用古典摡型的概率計(jì)算公式，結(jié)合，可判定C錯(cuò)誤；結(jié)合，可判定D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A中，當(dāng)時(shí)，，，事件與同時(shí)發(fā)生，所以事件與不對(duì)立，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，要使得為偶數(shù)，有6種情況；當(dāng)時(shí)，要使得為偶數(shù)，則，有3種情況；當(dāng)時(shí)，要使得為偶數(shù)，有6種情況，又由拋擲兩枚骰子，共有種情形，所以，所以B正確；對(duì)于C中，事件有：，共有5種情形，概率為，事件“”，有，共有18種情形，所以概率為，且，則，所以與不相互獨(dú)立，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，事件“為偶數(shù)”，事件“為奇數(shù)”，有共9種情形，所以概率為，又由，，可得，所以與不相互獨(dú)立，所以D錯(cuò)誤.故選：B.8.中，，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用二倍角公式化解得，根據(jù)內(nèi)角范圍可確定，由此可得的范圍，由正弦定理，根據(jù)和差及二倍角公式化解，根據(jù)單調(diào)性確定范圍即可.【詳解】，，或，又，，即不成立，則，又，所以，由正弦定理得，又，所以，即的取值范圍是.故選：C.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分.）9.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則以下說(shuō)法正確的有（）A.復(fù)數(shù)的虛部為 B.C.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為 D.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)虛部的概念、模長(zhǎng)計(jì)算公式、共軛復(fù)數(shù)的概念以及其幾何意義，可得答案【詳解】對(duì)于A，由可得其虛部為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，由可得其共軛復(fù)數(shù)為，故C正確；對(duì)于D，由可得其在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，易知該點(diǎn)位于第四象限，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，則下列說(shuō)法正確的有（）A. B.四邊形的面積為C.的外接圓的周長(zhǎng)為 D.【答案】ABC【解析】【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得即可求解選項(xiàng)A；根據(jù)四邊形的面積為求解選項(xiàng)B；利用正弦定理求解選項(xiàng)C；利用向量數(shù)量積公式求解選項(xiàng)D.【詳解】由題意得：，，A正確，，，，，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線，設(shè)垂足為點(diǎn)E，，，四邊形的面積為，B正確在直角三角形AEC中，，設(shè)外接圓的半徑為R，由正弦定理，解得，故外接圓的周長(zhǎng)為，C正確；，，，，D錯(cuò)誤故選：ABC11.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在平面內(nèi)，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.當(dāng)為線段中點(diǎn)時(shí)，平面截正方體所得的截面為平行四邊形B.當(dāng)四面體的頂點(diǎn)在一個(gè)體積為的球面上時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，取得最小值D.的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】A應(yīng)用平面基本性質(zhì)畫(huà)出截面，應(yīng)用面面平行的性質(zhì)判斷；B四面體的外接球即為的外接球，利用幾何關(guān)系及已知列方程求線段長(zhǎng)判斷；C將平面與平面展開(kāi)到一個(gè)平面內(nèi)，根據(jù)兩點(diǎn)間線段距離最短求解判斷；D在平面內(nèi)，過(guò)作，交延長(zhǎng)線于，連接，關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的直線在平面內(nèi)，其中為的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，應(yīng)用二倍角余弦公式求得，進(jìn)而確定最小時(shí)的位置，再應(yīng)用余弦定理求長(zhǎng)度判斷.【詳解】對(duì)于A：連接并延長(zhǎng)，交延長(zhǎng)線于，連接并延長(zhǎng)，交延長(zhǎng)線于，連接，交于，最后連接，即得平面截正方體所得的截面，由為線段中點(diǎn)，根據(jù)等比例關(guān)系有為的中點(diǎn)，易知，由平面平面，截面分別交平面、平面于，所以，故截面為平行四邊形，A正確；對(duì)于B：四面體的外接球即為的外接球，令，由正方形的外接圓半徑為，則外接球半徑，所以，則，即，可得，B正確；對(duì)于C：將平面與平面展開(kāi)到一個(gè)平面內(nèi)，如下圖，則最小為長(zhǎng)度，又，則，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：平面內(nèi)，過(guò)作，交延長(zhǎng)線于，連接，所以關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的直線在平面內(nèi)，其中為的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，易知，，，且，所以，當(dāng)時(shí)，此時(shí)在延長(zhǎng)線上，不符；所以，當(dāng)與重合時(shí)，最小，D正確.故選：ABD三、填空題（共3小題，每小題5分，滿(mǎn)分15分.）12.已知一組數(shù)據(jù)：3，5，7，1，4，6，9，2，則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是________.【答案】6.5##【解析】【分析】首先將數(shù)據(jù)從小到大進(jìn)行排序，然后根據(jù)百分位的計(jì)算公式確定其位置，最后根據(jù)位置得出第75百分位數(shù).【詳解】對(duì)原始數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)椋阂驗(yàn)?，所以?5百分位數(shù)為第6個(gè)和第7個(gè)的平均數(shù)，即，所以這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是，故答案：.13.在正三棱臺(tái)中，，，棱臺(tái)的高為，則該棱臺(tái)的體積為_(kāi)_______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)臺(tái)體體積公式計(jì)算可解.【詳解】，.故答案為：.14.在三棱錐中，和均為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，二面角的大小為60°，則三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意作出球心，利用正弦定理求得四邊形外接圓直徑，根據(jù)勾股定理即可求外接球半徑，得到表面積.【詳解】設(shè)的外心為，過(guò)分別作平面和平面的垂線，則垂線交點(diǎn)即為三棱錐的外接球的球心，設(shè)中點(diǎn)為，，則就是二面角的平面角，，又和均為邊長(zhǎng)為等邊三角形，所以，又，所以為等邊三角形，則四邊形外接圓直徑，所以三棱錐的外接球半徑，則外接球的表面積.故答案為：.四、解答題（本大題共5個(gè)小題，共77分，解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15.如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別是，的三等分點(diǎn)，且，.設(shè)，.（1）用，表示，；（2）若，，求.【答案】（1）（2）8【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的線性運(yùn)算可求；（2）由已知先求解，然后利用，展開(kāi)計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】已知，，點(diǎn)是中點(diǎn)，則，又因?yàn)?，所以，根?jù)向量減法的三角形法則，因?yàn)?，且，所以，又，根?jù)向量減法的三角形法則；【小問(wèn)2詳解】已知，則，，又因?yàn)?，則，所以，所以.16.為了進(jìn)一步推動(dòng)體育強(qiáng)國(guó)和健康中國(guó)的建設(shè)，國(guó)家體育總局辦公廳印發(fā)了《2025年群眾體育工作要點(diǎn)》，為了解某地高中學(xué)生體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)，從該地區(qū)28000名學(xué)生中抽取500人，得到日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)的頻率分布表，如下：分組頻數(shù)頻率1200.2416015503135300.06合計(jì)5001（1）求和的值；（2）估計(jì)該地區(qū)高中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長(zhǎng)（精確到0.1）；（3）從和兩組中用分層抽樣的方法共抽取了7人，再?gòu)倪@7人中隨機(jī)抽取2人，求這兩人來(lái)自不同的組的概率.【答案】（1）；（2）0.9小時(shí)（3）【解析】【分析】（1）由頻率分布表，結(jié)合頻率計(jì)算公式即可求解；（2）根據(jù)頻率分布表，結(jié)合平均數(shù)計(jì)算公式即可求解；（3）根據(jù)分層抽樣，可得組抽取3人，組抽取4人，利用列舉法，可知7人中隨機(jī)抽取2人，共有21種情況，其中這兩人來(lái)自不同的組共有12種情況，即可求解.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)頻率分布表，結(jié)合頻率的計(jì)算，得，；【小問(wèn)2詳解】根據(jù)樣本平均數(shù)公式可得，所以估計(jì)該地區(qū)高中學(xué)生日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)約為0.9小時(shí)；【小問(wèn)3詳解】?jī)山M頻率之比為，共抽取7人，由分層抽樣可知：組抽取3人，組抽取4人，設(shè)組的3人分別為，，，組的4人分別為，，，，從7人中隨機(jī)抽取2人的所有基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21個(gè)，其中兩人來(lái)自不同組的基本事件有：，，，，，，，，，，，共12個(gè)，所以?xún)扇藖?lái)自不同組的概率.17.如圖，和都垂直于平面，且，是的中點(diǎn).為等邊三角形.（1）證明：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由中位線定理與平行四邊形性質(zhì)，可得線線平行，再根據(jù)面面垂直的判定與性質(zhì)，可得線面平行，從而可得答案；（2）由三棱錐的體積公式求得底面等邊三角形的邊長(zhǎng)，再根據(jù)線面角的定義在圖中明確限面角，利用勾股定理以及銳角三角函數(shù)，可得答案【小問(wèn)1詳解】證明：取的中點(diǎn)，連接，.因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，平面，平面，故又，故且.所以四邊形是平行四邊形，所以因?yàn)槭堑冗吶切?，是中點(diǎn)，所以因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平面又平面平面，平面，所以平面，所以平?【小問(wèn)2詳解】設(shè)邊長(zhǎng)為，則，又平面且，所以，解得.由（1）知，平面，連接.所以為直線與平面所成角.因平面，平面，所以.由勾股定理知：.同理，.因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以.由（1）知平面，平面，則.由（1）易知.所以，在中，.即直線與平面所成角的正弦值為.18.錯(cuò)題重做是一種有效的學(xué)習(xí)策略，它可以幫助學(xué)生更好地理解和掌握知識(shí).某班級(jí)數(shù)學(xué)老師利用DeepSeek設(shè)計(jì)了一個(gè)錯(cuò)題重做網(wǎng)頁(yè)小游戲.并在班級(jí)發(fā)起錯(cuò)題重做挑戰(zhàn)賽.甲和乙兩人組成“郴隊(duì)”參加挑戰(zhàn)賽.每輪比賽中，甲和乙各抽取一道錯(cuò)題，他們做對(duì)與否互不影響，且各輪結(jié)果也互不影響.（1）若甲每輪做對(duì)的概率為，乙每輪做對(duì)的概率為.求“郴隊(duì)”在兩輪比賽中做對(duì)2題的概率；（2）若甲和乙第一輪做對(duì)的概率分別為，，第二輪做對(duì)的概率分別為，.求“郴隊(duì)”在兩輪比賽中做對(duì)3題的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）（2）設(shè)“甲第輪做對(duì)”為事件，“乙第輪做對(duì)”為事件，，應(yīng)用獨(dú)立乘法公式、互斥事件加法求概率；【小問(wèn)1詳解】設(shè)“甲第輪做對(duì)”為事件，“乙第輪做對(duì)”為事件，，已知，，且與相互獨(dú)立，各輪之間也相互獨(dú)立.“郴隊(duì)”在兩輪比賽中做對(duì)2題有三種情況：情況一：甲做對(duì)2題，乙做對(duì)0題的概率為.情況二：甲做對(duì)0題，乙做對(duì)2題的概率為.情況三：甲做對(duì)1題，乙做對(duì)1題甲做對(duì)1題的概率為乙做對(duì)1題的概率為所以甲做對(duì)0題，乙做對(duì)2題的概率為.因?yàn)檫@三種情況互斥，所以“郴隊(duì)”在兩輪比賽中做對(duì)2題.【小問(wèn)2詳解】設(shè)“甲第輪做對(duì)”為事件，“乙第輪做對(duì)”為事件，.已知，，，，且各事件相互獨(dú)立.“郴隊(duì)”在兩輪比賽中做對(duì)3題有兩種情況：情況一：甲做對(duì)2題，乙做對(duì)1題甲做對(duì)2題的概率為乙做對(duì)1題的概率為所以甲做對(duì)2題，乙做對(duì)1題的概率為.情況二：甲做對(duì)1題，乙做對(duì)2題甲做對(duì)1題的概率為乙做對(duì)2題的概率為所以甲做對(duì)1題，乙做對(duì)2題的概率為.由于這兩種情況互斥，所以“郴隊(duì)”在兩輪比賽中做對(duì)3題的概率為.19.在2025年斯諾克世界錦標(biāo)賽中，中國(guó)選手趙心童展現(xiàn)了卓越的球技，成為首位獲得世錦賽冠軍的中國(guó)選手，同時(shí)也是亞洲首位斯諾克世錦賽冠軍.假設(shè)在一次模擬的斯諾克比賽中，球桌的尺寸為矩形，斯諾克選手需要從一個(gè)特定角度擊球，使球從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，最終進(jìn)入袋口，如圖所示.其中，，，，足夠長(zhǎng).（1）若，求；（2）若，交于點(diǎn)，設(shè)，，其中，，求的最大值.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）若，則，在中，根據(jù)余弦定理即可求出；（2）法一，由三點(diǎn)共線的推論，列出向