第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《第一章特殊平行四邊形》單元測(cè)試卷及答案學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知菱形的面積為8，它的一條對(duì)角線長為，則菱形的邊長為（

）A．2 B． C． D．42．如圖，在菱形中，與交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．3．如圖，四邊形和四邊形都是正方形．連接．若點(diǎn)F是線段上的一點(diǎn)，且，則（

）A．5 B． C． D．4．如圖，矩形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)C作，垂足為點(diǎn)E．若，．則矩形的面積為（

）A．24 B．12 C．10 D．85．如圖，矩形被分割成兩個(gè)全等的小矩形和三個(gè)正方形后仍是中心對(duì)稱圖形．若已知矩形的周長為20，則能夠求出長度的線段是（）A． B． C． D．6．如圖，正方形的邊長為3，E為邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作，且，在點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過程中，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑長為（

）A． B． C．6 D．7．如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，中間是個(gè)小正方形，此圖形中連結(jié)四條線段得到陰影部分，若，，，為各直角邊中點(diǎn)，且小正方形面積為4，陰影部分面積為（

）A．2 B．4 C．6 D．88．如圖，的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，添加下列條件仍不能判定是矩形的是（

）A． B． C． D．9．下列說法正確的是（

）A．對(duì)角線相等的四邊形是矩形B．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形C．對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形D．對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形10．如圖，矩形周長為8，且．連接，將沿折疊得，交于點(diǎn)P，作，交于點(diǎn)G．下列說法中正確的有（

）①；②的周長為定值4；③一定是等邊三角形；④當(dāng)變大時(shí)，也變大．A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④二、填空題11．如圖，在菱形中，，，點(diǎn)是對(duì)角線上的一個(gè)的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．12．如圖1是方格繪成的七巧板圖案，每個(gè)小方格的邊長為1，現(xiàn)將它剪拼成一個(gè)“天平”造型放入一個(gè)矩形框架中（如圖2），天平的上下兩側(cè)以及左右兩側(cè)均與框架重合，則該矩形框架的周長為．13．如圖，在正方形中，點(diǎn)，分別在，上，點(diǎn)，關(guān)于對(duì)稱，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且點(diǎn)，關(guān)于對(duì)稱，的延長線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則．14．我們知道：四邊形具有不穩(wěn)定性．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊在軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，，固定點(diǎn)，，把矩形沿軸正方向推，使點(diǎn)落在軸正半軸上點(diǎn)處，則點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為．15．如圖，矩形的四個(gè)頂點(diǎn)恰好落在正方形的四條邊上，且與正方形的對(duì)角線平行，若，則矩形的周長等于．三、解答題16．如圖，在菱形中，．點(diǎn)E，點(diǎn)F分別在邊上，連接，交于點(diǎn)G，且滿足．(1)若，，求的度數(shù)；(2)求證：；(3)求證：．17．如圖，在正方形中，點(diǎn)E是對(duì)角線上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，C重合），連接，．過點(diǎn)E作，的垂線，垂足分別為點(diǎn)F，點(diǎn)G，連接與相交于點(diǎn)O．(1)求證：；(2)圓圓說：“直線”，你認(rèn)為圓圓的說法是否正確？請(qǐng)說明理由；(3)若，，求的長度．18．如圖1，在中，為邊上的高，上有一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，使得，且點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接．(1)若，求證：；(2)求（用含的式子來表示）；(3)如圖2，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，求的值．19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形的頂點(diǎn)，，將矩形的一個(gè)角沿直線折疊，使得點(diǎn)落在對(duì)角線上的點(diǎn)E處，折痕與x軸交于點(diǎn)D．(1)線段的長度為_____；(2)求直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(3)求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(4)若點(diǎn)Q在線段上，在線段上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)D，E，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．20．【問題情境】（1）數(shù)學(xué)探究課上，某興趣小組探究含角的菱形的性質(zhì)．如圖1，菱形的邊長為，，則_____，_____．【操作發(fā)現(xiàn)】（2）如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，小亮在菱形的對(duì)角線上任取一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），連接，以為邊向左側(cè)作菱形，且，連接．①求證：．②隨著點(diǎn)位置的改變，的度數(shù)是否發(fā)生變化？若不變，求出的度數(shù)；若變化，請(qǐng)說明理由．【拓展延伸】（3）在（2）中，連接，若，直接寫出的長．參考答案題號(hào)12345678910答案CDDBABDCCB1．C【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)菱形面積公式求出另一條對(duì)角線的長度，再利用勾股定理計(jì)算邊長．【詳解】解：如圖，∵，，∴，∵是菱形，∴，，∴．故選：C．2．D【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由可知，設(shè)，則，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，即，求出x的值，進(jìn)一步即可求出答案．【詳解】解：，，設(shè)，則，四邊形是菱形，，，即，，解得，即，，，故選：D．3．D【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)得，整理得，得，則，運(yùn)用勾股定理算出，根據(jù)等面積法進(jìn)行列式計(jì)算得，再證明四邊形是矩形，得，，運(yùn)用勾股定理，在中，，即可作答．【詳解】解：∵四邊形和四邊形都是正方形．，∴，，則，，即，∴，∴，∵，且∴即過點(diǎn)G作，過點(diǎn)G作，如圖所示：∴，∴，即，∴，∴，∵，，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴，在中，，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．4．B【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)矩形對(duì)角線的性質(zhì)得到，由，根據(jù)即可求解．【詳解】解：∵矩形，，∴，∵，∴．故選：B．5．A【分析】本題考查的是矩形，正方形的性質(zhì)，中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)，根據(jù)題意設(shè)兩個(gè)大的正方形的邊長為，小正方形的邊長為，再進(jìn)一步求解即可．【詳解】解：∵矩形被分割成兩個(gè)全等的小矩形和三個(gè)正方形后仍是中心對(duì)稱圖形．∴兩個(gè)大的正方形相同，兩個(gè)矩形相同，設(shè)兩個(gè)大的正方形的邊長為，小正方形的邊長為，∴小矩形的兩邊分別為，，大的矩形兩邊長分別為，，∵已知矩形的周長為20，∴,解得：，∴兩個(gè)大的正方形的邊長為，∴能夠求出長度的線段是，故選A6．B【分析】過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，連接，證明，則，證明是等腰直角三角形，得到，即點(diǎn)在的角平分線上運(yùn)動(dòng)，以為邊，在右側(cè)作正方形，連接，則，在點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過程中，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑為正方形的對(duì)角線,求出的長即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，連接，∵四邊形是正方形，∴，∴∵，，∴，∴，∵，∴∴，∵，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴平分，即點(diǎn)在的角平分線上運(yùn)動(dòng)，以為邊，在右側(cè)作正方形，連接，則在點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過程中，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑為正方形的對(duì)角線,∵正方形的邊長為3，∴∴即點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑長為，故選：B【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，證明點(diǎn)在的角平分線上運(yùn)動(dòng)是解題的關(guān)鍵．7．D【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．由題意可得小正方形的邊長為2，再由四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，，，，為各直角邊中點(diǎn)，可得，再由三角形面積公式即可求解．【詳解】解：∵小正方形面積為4，∴，∵四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，，，，為各直角邊中點(diǎn)，∴，∴陰影部分面積為，故選：D．8．C【分析】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握矩形的判定方法是解題的關(guān)鍵．由矩形的判定方法分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判定即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，A、∵，∴平行四邊形是矩形，故選項(xiàng)A不符合題意；B、∵，∴平行四邊形是矩形，故選項(xiàng)B不符合題意；C、，∴平行四邊形是菱形，故選項(xiàng)C符合題意；D、∵，∴，∵四邊形ABCD是平行四邊形，，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴平行四邊形是矩形，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：C．9．C【分析】本題考查的是矩形，菱形，正方形的判定，根據(jù)矩形、菱形、正方形的判定定理，逐一分析選項(xiàng)是否正確即可．【詳解】解：A．對(duì)角線相等的四邊形不一定是矩形，例如等腰梯形對(duì)角線相等，但不是矩形．必須是對(duì)角線相等的平行四邊形才是矩形，故A錯(cuò)誤．B．對(duì)角線互相垂直的四邊形不一定是菱形，例如箏形對(duì)角線垂直，但并非菱形．必須是對(duì)角線垂直的平行四邊形才是菱形，故B錯(cuò)誤．C．對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，且對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故C正確．D．對(duì)角線垂直且相等的四邊形不一定是正方形，需同時(shí)滿足垂直、相等且平分，故D錯(cuò)誤．故選：C10．B【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，再結(jié)合，可得，進(jìn)而判斷①正確，連接，令與交于點(diǎn)，再證，可證得則的周長，進(jìn)而判斷②正確，無法證明溫恩等邊三角形，進(jìn)而判斷③錯(cuò)誤；由題意得，，則在中，，整理得，進(jìn)而判斷④正確．【詳解】解：在矩形中，，，，∵矩形周長為8，∴，則，∵，∴,∴，∵，∴，∴，∴，故①正確；由折疊可知，，∵∴，則∴，則的周長，故②正確；無法證明為等邊三角形，故③錯(cuò)誤；∵，，在中，，整理得：，∴當(dāng)變大時(shí)，也變大，故④正確，綜上，正確的有①②④，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查矩形與折疊問題，勾股定理，等腰三角形的判定，理解并掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．11．【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、垂線段最短、以及含角的直角三角形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是通過構(gòu)造輔助線，將的最小值問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離問題，利用勾股定理求解．【詳解】解：如圖，自點(diǎn)A作，垂足為Q，交于點(diǎn)P，∵，∴，又菱形對(duì)角線平分，則．∴．在上任取一點(diǎn)（不同于點(diǎn)P），連接，同理可證：．∵，即∴因此，點(diǎn)P是使可取得最小值的動(dòng)點(diǎn)．∵在直角三角形中，，則，∴，∴，即的最小值為．故答案為：．12．【分析】本題考查七巧板，勾股定理，矩形的性質(zhì)．由勾股定理求出的長，得到的長，由圖形得到的長，即可解決問題．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴矩形框架的周長為．故答案為：．13．【分析】如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得，，結(jié)合正方形的性質(zhì)證明是等邊三角形，得，推出，，在中，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理和等邊對(duì)等角推出，，繼而求出，在中，進(jìn)一步求出，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，∵點(diǎn)，關(guān)于對(duì)稱，點(diǎn)，關(guān)于對(duì)稱，∴，，∵四邊形是正方形，∴，，，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，，在中，，，，，∴，∴，，∴，，∴，在中，，，，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等邊對(duì)等角等知識(shí)點(diǎn)，通過作輔助線構(gòu)造直角三角形、證明是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．14．【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，勾股定理．由已知條件得到，，，根據(jù)勾股定理得到，再根據(jù)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，∴，，由題意得：，，∴，∵，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：．15．【分析】本題主要考查了正方形和矩形的性質(zhì)，設(shè)，則，證明是等腰直角三角形得，，再證明是等腰直角三角形得，由此即可得出矩形的周長．【詳解】解：設(shè)，∵四邊形是正方形，且，∴，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，由勾股定理得：，∵四邊形是矩形，∴，∴，在中，，∴是等腰直角三角形，∴，由勾股定理得：，∴，∴矩形的周長為：．故答案為：．16．(1)(2)見解析(3)見解析【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）由菱形的性質(zhì)得到，再由平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求解即可；（2）根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理得到，則可證明，再由菱形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明，則可證明；（3）延長到H，使得，連接，證明，得到，則可證明，得到；過點(diǎn)C作于T，則，由勾股定理得，，則，再根據(jù)線段的和差關(guān)系證明即可．【詳解】（1）解：∵四邊形是菱形，∴，∴，又∵，∴；（2）證明：∵，，∴，∵，∴，∵四邊形是菱形，∴，，∴，∴；（3）證明：如圖所示，延長到H，使得，連接，∵四邊形是菱形，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴；如圖所示，過點(diǎn)C作于T，∴，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，∴．17．(1)證明見解析(2)圓圓的說法正確，證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)證明即可得到結(jié)論；（2）延長交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)H，如圖，證明，四邊形為矩形，可得，可得，可得，進(jìn)一步可得結(jié)論；（3）證明都為等腰直角三角形，可得，，，，結(jié)合，可得．【詳解】（1）證明：∵正方形，∴，，∵，∴，∴；（2）證明：圓圓的說法正確，理由如下：延長交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)H，如圖，∵，∴，過點(diǎn)E作，的垂線，垂足分別為點(diǎn)F，點(diǎn)G，，∴四邊形為矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即；（3）解：∵正方形，∴，，，∵，∴都為等腰直角三角形，∵，，∴，，∴，，∵四邊形為矩形，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，化為最簡二次根式等等；證明是解題的關(guān)鍵．18．(1)見解析(2)(3)【分析】（1）由直角三角形斜邊的中線等于斜線的一半可得出，結(jié)合已知條件可得出．（2）取的中點(diǎn)，連接，先證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而可得出垂直平分，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出，由等角對(duì)等邊可得出，由直角三角形兩銳角互余即可得出答案．（3）連接，由（2）結(jié)合對(duì)頂角相等得出，進(jìn)而可得出，由等角對(duì)等邊可得出，由（2）知，可得出，再得出為的中位線，，再判定四邊形為平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)得出，進(jìn)一步即可得出．【詳解】（1）證明：F為的中點(diǎn)，，，，．（2）解：取的中點(diǎn)，連接，，，，，，，，垂直平分，，，，．（3）解：連接，由（2）知，，．由（2）知，，又為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中位線，，，四邊形為平行四邊形，．，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形中位線有關(guān)的求解問題，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)等整知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，掌握這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵．19．(1)10(2)(3)(4)存在，【分析】（1）由矩形的性質(zhì)可得出點(diǎn)的坐標(biāo)及，的長，利用勾股定理可求出的長；（2）設(shè)，則，，，利用勾股定理可求出值，進(jìn)而可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)，的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（3）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，由，可得出，利用面積法可求出的長，在中，利用勾股定理可求出的長，進(jìn)而可得出點(diǎn)的坐標(biāo)；（4）根據(jù)，求出直線的解析式，根據(jù)點(diǎn)的縱坐標(biāo)求出其橫坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：由題意，得：點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，故答案為：10；（2）解：設(shè)，則，，，∵，∴∴，即，∴，∴，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為．設(shè)直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，將，代入，得：