2．2直接證明與間接證明2.2.1綜正當和分析法自主學習新知突破1．結(jié)合已經(jīng)學過的數(shù)學實例，理解直接證明的兩種基本辦法——綜正當和分析法．2．理解綜正當、分析法的思考過程、特點．3．會綜合運用綜正當、分析法解決數(shù)學問題．1．閱讀下列例題：例：若實數(shù)a，b滿足a＋b＝4，證明2a＋2b≥8.[問題1]本題運用什么公式證明的？[提示1]基本不等式．[問題2]本題的證明次序是什么？[提示2]從已知到結(jié)論．[問題1]本題證明從哪里開始？[提示1]從結(jié)論開始．[問題2]證題思路是什么？[提示2]謀求上一步成立的充足條件．1．綜正當?shù)亩x運用___________和某些數(shù)學_________、________、_________等，通過一系列的__________，最后推導出所要證明的__________成立，這種證明辦法叫做綜正當．綜正當已知條件定義定理公理推理論證結(jié)論(P表達__________、已有的_________、__________、__________等，Q表達________________)已知條件定義定理公理所要證明的結(jié)論1．綜正當證明問題的環(huán)節(jié)第一步：分析條件，選擇方向．認真分析題目的已知條件(涉及隱含條件)，分析已知與結(jié)論之間的聯(lián)系與區(qū)別，選擇有關(guān)的公理、定理、公式、結(jié)論，擬定恰當?shù)慕忸}辦法．第二步：轉(zhuǎn)化條件，組織過程．把題目的已知條件，轉(zhuǎn)化成解題所需要的語言，重要是文字、符號、圖形三種語言之間的轉(zhuǎn)化．組織過程時要有清晰的思路，嚴密的邏輯，簡潔的語言．第三步：適宜調(diào)節(jié)，回想反思．解題后回想解題過程，可對部分環(huán)節(jié)進行調(diào)節(jié)，有些語言可做適宜的修飾，反思總結(jié)解題辦法的選用．1．分析法的定義從要證明的_________，逐步謀求使它成立的_________，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為鑒定一種明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止，這種證明辦法叫做分析法．分析法

結(jié)論出發(fā)充足條件2．應用分析法證明問題的模式用分析法證明命題“若P，則Q”時的模式以下：為了證明命題Q為真，只需證明命題P1為真，從而有…只需證明命題P2為真，從而有……只需證明命題P為真，而已知P為真，故Q必為真．1．用分析法證明：欲使①A＞B，只需②C<D，這里②是①的()A．充足條件 B．必要條件C．充要條件 D．即不充足也不必要條件解析：②?①，∴②是①的充足條件．答案：A2．下面敘述對的的是()A．綜正當、分析法是直接證明的辦法B．綜正當是直接證法，分析法是間接證法C．綜正當、分析法所用語調(diào)都是必定的D．綜正當、分析法所用語調(diào)都是假定的解析：直接證明涉及綜正當和分析法．答案：A答案：a2＋b2－2ab≥0

(a－b)2≥0

(a－b)2≥04．已知a，b，c，d∈R，求證：(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．證明：∵左邊＝a2c2＋2abcd＋b2d2≤a2c2＋(a2d2＋b2c2)＋bbd2＝(a2＋b2)(c2＋d2)＝右邊，∴(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．合作探究課堂互動綜正當?shù)膽?1.綜正當是數(shù)學證明中最慣用的一種辦法，本題巧妙地應用了“1”的代換及基本不等式．2．綜正當證明不等式慣用“兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不不大于它們的幾何平均數(shù)”這一結(jié)論，運用時要結(jié)合題目條件，有時要適宜變形．3．綜正當證明不等式所依賴的重要是不等式的基本性質(zhì)和已知的重要不等式，其中慣用的有以下幾個：

分析法的應用

[思路點撥]

本題含有絕對值符號，可用分析法證明． 用分析法證明不等式時應注意的問題：(1)分析法證明不等式的根據(jù)是不等式的基本性質(zhì)、已知的重要不等式和邏輯推理的基本理論；(2)分析法證明不等式的思維是從要證不等式出發(fā)，逐步謀求使它成立的充足條件，最后得到的充足條件是已知(或已證)的不等式；(3)用分析法證明數(shù)學命題時，一定要恰本地用好反推符號“?”或“要證明”、“只需證明”、“即證明”等詞語．分析法與綜正當?shù)木C合應用[思路點撥]解答本題的核心是運用對數(shù)運算法則和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化成證明整式不等式． 1.“分析綜正當”解決數(shù)學問題：“分析綜正當”又叫混合型分析法，是同時從已知條件與結(jié)論出發(fā)，尋找其之間的聯(lián)系而溝通思路的辦法．在解題過程中，分析法和綜正當是統(tǒng)一的，不能把分析法和綜正當孤立起來使用，分析和綜合相輔相成，有時先分析后綜合，有時先綜合后分析．分析綜正當?shù)霓k法構(gòu)造如圖所示：

2．“分析綜正當”證明的環(huán)節(jié)：在解決問題時，我們經(jīng)常把綜正當和分析法綜合起來使用．根據(jù)條件的構(gòu)造特點去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論P；根據(jù)結(jié)論的構(gòu)造特點去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論Q.若由Q能夠推出P成立，就可證明結(jié)論成立，其證明模式可用以下框圖表達：(其中Q1代表結(jié)論，P1代表要證的條件)．特別提示：在平時的證明問題中，普通不是單純地使用某一種證明辦法，更多的是綜合使用幾個辦法．3．已知a，b，c∈R且不全相等，求證：a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca.證明：證法一：(分析法)要證a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca，只需證2(a2＋b2＋c2)＞2(ab＋bc＋ca)，只需證(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(c2＋a2－2ca)＞0，只需證(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＞0，由于a，b，c∈R，因此(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(c－a)2≥0.又由于a，b，c不全相等，因此(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＞0.因此原不等式a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca成立．證法二：(綜正當)由于a，b，c∈R，因此(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(c－a)2≥0.又由于a，b，c不全相等，因此(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2>0.因此(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(c2＋a2－2ca)>0，因此2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)，因此a2＋b2＋c