直角三角形全等的判定

（“斜邊、直角邊”定理）SSSSASASAAAS舊知回顧:我們學(xué)過(guò)的判定三角形全等的方法導(dǎo)入新課如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，直角邊是_____、_____，斜邊是______.CBAACBCAB思考：前面學(xué)過(guò)的四種判定三角形全等的方法,對(duì)直角三角形是否適用？ABCA′B′C′1.兩個(gè)直角三角形中，斜邊和一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)直角三角形全等嗎？為什么？2.兩個(gè)直角三角形中，有一條直角邊和一銳角對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)直角三角形全等嗎？為什么？3.兩個(gè)直角三角形中，兩直角邊對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)直角三角形全等嗎？為什么？口答：?jiǎn)栴}：如果這兩個(gè)三角形都是直角三角形，即∠B=∠E=90°，且AC=DF，BC=EF，現(xiàn)在能判定△ABC≌△DEF嗎？ABCDEF直角三角形全等的判定（“斜邊、直角邊”定理）一講授新課任意畫出一個(gè)Rt△ABC,使∠C=90°.再畫一個(gè)Rt△A′B′C′，使∠C′=90°,B′C′=BC,A′B′=AB,把畫好的Rt△A′B′C′剪下來(lái)，放到Rt△ABC上，它們能重合嗎？ABC作圖探究畫圖思路（1）先畫∠MC′

N=90°M

C′NABC（2）在射線C′M上截取B′C′=BCMC′ABCNB′MC′（3）以點(diǎn)B′為圓心，AB為半徑畫弧，交射線C′N于A′MC′ABCNB′A′（4）連接A′B′MC′ABCNB′A′思考：通過(guò)上面的探究，你能得出什么結(jié)論？知識(shí)要點(diǎn)“斜邊、直角邊”判定方法文字語(yǔ)言：

斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.幾何語(yǔ)言：

ABCA′B′C′在Rt△ABC和Rt△A′B′C′

中，∴Rt△ABC

≌Rt△A′B′C′(HL).“SSA”可以判定兩個(gè)直角三角形全等，但是“邊邊”指的是斜邊和一直角邊，而“角”指的是直角.AB=A′B′,BC=B′C′,典例精析

例1

如圖，AC⊥BC，BD⊥AD，AC﹦BD，求證：BC﹦AD.證明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，

∴∠C與∠D都是直角.

AB=BA,

AC=BD

.在Rt△ABC

和Rt△BAD中，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).∴BC﹦AD.ABDC應(yīng)用“HL”的前提條件是在直角三角形中.這是應(yīng)用“HL”判定方法的書寫格式.利用全等證明兩條線段相等，這是常見的思路.

變式1：如圖，∠ACB=∠ADB=90，要證明△ABC≌△BAD，還需一個(gè)什么條件？把這些條件都寫出來(lái)，并在相應(yīng)的括號(hào)內(nèi)填寫出判定它們?nèi)鹊睦碛?（1）

（）（2）

（）（3）

（）（4）

（）ABDCAD=BC∠DAB=∠CBABD=AC∠DBA=∠CABHLHLAASAAS如圖，AC、BD相交于點(diǎn)P,AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分別為C、D,AD=BC.求證：AC=BD.變式2HLAC=BDRt△ABD≌Rt△BAC例2

如圖，已知AD，AF分別是兩個(gè)鈍角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求證：BC＝BE.證明：∵AD，AF分別是兩個(gè)鈍角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．∴CD＝EF.∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．∴BD＝BF.∴BD－CD＝BF－EF，即BC＝BE.方法總結(jié)：證明線段相等可通過(guò)證明三角形全等解決，“HL”公理是直角三角形獨(dú)有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用時(shí)應(yīng)該抓住“直角”這個(gè)隱含的已知條件．如圖，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求證：BD平分EF.AFCEDBG變式訓(xùn)練1

AB=CD,

AF=CE.Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).BF=DERt△GBF≌Rt△GDE(AAS).∠BFG=∠DEG∠BGF=∠DGEFG=EGBD平分EF如圖，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.想想：BD平分EF嗎?變式訓(xùn)練2C

AB=CD,

AF=CE.Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).BF=DERt△GBF≌Rt△GDE(AAS).∠BFG=∠DEG∠BGF=∠DGEFG=EGBD平分EF如圖，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一條線段PQ＝AB，P、Q兩點(diǎn)分別在AC上和過(guò)A點(diǎn)且垂直于AC的射線AQ上運(yùn)動(dòng)，問(wèn)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AC上什么位置時(shí)△ABC才能和△APQ全等？【分析】本題要分情況討論：(1)Rt△APQ≌Rt△CBA，此時(shí)AP＝BC＝5cm，可據(jù)此求出P點(diǎn)的位置．(2)Rt△QAP≌Rt△BCA，此時(shí)AP＝AC，P、C重合．解：(1)當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到AP＝BC時(shí)，∵∠C＝∠QAP＝90°.在Rt△ABC與Rt△QPA中，∵PQ＝AB，AP＝BC，∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，∴AP＝BC＝5cm；能力拓展(2)當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到與C點(diǎn)重合時(shí)，AP＝AC.在Rt△ABC與Rt△QPA中，∵PQ＝AB，AP＝AC，∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)，∴AP＝AC＝10cm，∴當(dāng)AP＝5cm或10cm時(shí)，△ABC才能和△APQ全等．