關于拋物線的題目及答案一、選擇題（每題3分，共15分）1.已知拋物線方程為\(y=ax^2+bx+c\)，其中\(zhòng)(a\)、\(b\)、\(c\)為常數(shù)，且\(a\neq0\)。下列說法正確的是：A.拋物線一定經(jīng)過原點。B.拋物線一定經(jīng)過點\((0,c)\)。C.拋物線一定經(jīng)過點\((1,a)\)。D.拋物線一定經(jīng)過點\((-1,a)\)。答案：B2.對于拋物線\(y=x^2-4x+4\)，其頂點坐標為：A.\((2,0)\)B.\((-2,0)\)C.\((2,4)\)D.\((-2,4)\)答案：A3.若拋物線\(y=ax^2+bx+c\)與\(x\)軸有兩個交點，則：A.\(a=0\)B.\(b^2-4ac>0\)C.\(b^2-4ac=0\)D.\(b^2-4ac<0\)答案：B4.拋物線\(y=-2x^2+4x-2\)的開口方向是：A.向上B.向下C.向左D.向右答案：B5.拋物線\(y=x^2+2x+1\)的對稱軸是：A.\(x=-1\)B.\(x=1\)C.\(x=0\)D.\(x=-2\)答案：A二、填空題（每題4分，共20分）6.拋物線\(y=3x^2-6x+3\)的頂點坐標是\(\boxed{(1,0)}\)。7.拋物線\(y=-x^2+4x-3\)與\(x\)軸的交點坐標是\(\boxed{(1,0)}\)和\(\boxed{(3,0)}\)。8.拋物線\(y=2x^2-8x+8\)的焦點坐標是\(\boxed{(2,-2)}\)。9.拋物線\(y=-2x^2+4x-1\)的頂點到\(x\)軸的距離是\(\boxed{1}\)。10.拋物線\(y=x^2-6x+9\)的準線方程是\(\boxed{x=3}\)。三、計算題（每題10分，共20分）11.已知拋物線\(y=ax^2+bx+c\)經(jīng)過點\((1,2)\)和\((2,3)\)，且頂點在\(x\)軸上，求拋物線的方程。解：由于拋物線的頂點在\(x\)軸上，所以頂點的\(y\)坐標為0。設頂點坐標為\((h,0)\)，則拋物線的方程可以寫為\(y=a(x-h)^2\)。由于拋物線經(jīng)過點\((1,2)\)和\((2,3)\)，我們可以列出以下方程組：\[\begin{cases}a(1-h)^2=2\\a(2-h)^2=3\end{cases}\]解這個方程組，我們可以得到\(h=1.5\)和\(a=1\)。因此，拋物線的方程為\(y=(x-1.5)^2\)。12.已知拋物線\(y=x^2-4x+c\)與\(x\)軸有兩個交點，求\(c\)的取值范圍。解：由于拋物線與\(x\)軸有兩個交點，所以判別式\(b^2-4ac>0\)。對于給定的拋物線，\(a=1\)，\(b=-4\)，所以：\[(-4)^2-4\cdot1\cdotc>0\]解這個不等式，我們得到\(c<4\)。因此，\(c\)的取值范圍是\(c<4\)。四、證明題（每題10分，共10分）13.證明：拋物線\(y=x^2+2x+1\)的焦點在\(x\)軸上。證明：拋物線\(y=x^2+2x+1\)可以重寫為\(y=(x+1)^2\)。這是一個開口向上的拋物線，其頂點在\((-1,0)\)。由于拋物線的焦點在對稱軸上，而這個拋物線的對稱軸是\(x=-1\)，所以焦點的\(x\)坐標也是\(-1\)。又因為拋物線開口向上，焦點在頂點上方，所以焦點的\(y\)坐標是正數(shù)。因此，焦點在\(x\)軸上。五、應用題（每題10分，共10分）14.一個開口向上的拋物線拱橋，其方程為\(y=2x^2-8x+8\)。橋的最大高度是多少？解：拋物線的最大高度即為其頂點的\(y\)坐標。對于拋物線\(y=2x^2-8x+8\)，我們可以通過完成平方來找到頂點：\[y=