福建省長汀縣新橋中學2025屆高二數(shù)學第一學期期末調(diào)研模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列結(jié)論中正確的個數(shù)為（）①，；②；③A.0 B.1C.2 D.32．拋物線有如下光學性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線，O為坐標原點，一條平行于x軸的光線從點射入，經(jīng)過C上的點A反射后，再經(jīng)C上另一點B反射后，沿直線射出，經(jīng)過點N．下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則平分C.若，則 D.若，延長AO交直線于點D，則D，B，N三點共線3．下列拋物線中，以點為焦點的是（）A. B.C. D.4．已知三維數(shù)組，，且，則實數(shù)（）A.-2 B.-9C. D.25．若且，則下列選項中正確的是（）A B.C. D.6．2018年，倫敦著名的建筑事務(wù)所steynstudio在南非完成了一個驚艷世界的作品一一雙曲線建筑的教堂，白色的波浪形屋頂像翅膀一樣漂浮，建筑師通過雙曲線的設(shè)計元素賦予了這座教堂輕盈，極簡和雕塑般的氣質(zhì)，如圖．若將此大教堂外形弧線的一段近似看成焦點在y軸上的雙曲線下支的一部分，且該雙曲線的上焦點到下頂點的距離為18，到漸近線距離為12，則此雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.7．甲、乙、丙、丁、戊共5名同學進行勞動技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次．甲和乙去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都沒有得到冠軍．”對乙說：“你當然不會是最差的．”從這兩個回答分析，5人的名次排列方式共有（）種A.54 B.72C.96 D.1208．若直線與直線垂直，則a的值為（）A.2 B.1C. D.9．在區(qū)間內(nèi)隨機地取出兩個數(shù)，則兩數(shù)之和小于的概率是（）A. B.C. D.10．在數(shù)列中，，則的值為（）A. B.C. D.以上都不對11．小王與小張二人參加某射擊比賽預(yù)賽的五次測試成績?nèi)缦卤硭?，設(shè)小王與小張成績的樣本平均數(shù)分別為和，方差分別為和，則（）第一次第二次第三次第四次第五次小王得分（環(huán)）910579小張得分（環(huán)）67557A. B.C. D.12．設(shè)α，β是兩個不同的平面，m，n是兩條不重合的直線，下列命題中為真命題的是（）A如果，，n∥β，那么B.如果，，，那么α∥βC.如果m∥n，，，那么α∥βD.如果m∥n，，，那么二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若在數(shù)列的每相鄰兩項之間插入此兩項的和，可形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷進行構(gòu)造，又可以得到新的數(shù)列．現(xiàn)將數(shù)列1，2進行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1，3，2；第2次得到數(shù)列1，4，3，5，2；依次構(gòu)造，第次得到數(shù)列1，，，，…，，2；記則______，設(shè)數(shù)列的前n項和為，則______14．若方程表示的曲線是雙曲線，則實數(shù)m的取值范圍是___；該雙曲線的焦距是___15．如圖，在棱長為1的正方體中，點M為線段上的動點，下列四個結(jié)論：①存在點M，使得直線AM與直線夾角為30°；②存在點M，使得與平面夾角的正弦值為；③存在點M，使得三棱錐體積為；④存在點M，使得，其中為二面角的大小，為直線與直線AB所成的角則上述結(jié)論正確的有______．（填上正確結(jié)論的序號）16．已知圓，直線與圓C交于A，B兩點，且，則______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等比數(shù)列{an}中，a1=1，且2a2是a3和4a1的等差中項.數(shù)列{bn}滿足b1=1，b7=13，且bn+2+bn=2bn+1.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)求數(shù)列{an+bn}前n項和Tn.18．（12分）已知是等差數(shù)列的前n項和，且，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前n項和19．（12分）已知橢圓的一個頂點恰好是拋物線的焦點，橢圓C的離心率為.（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；（Ⅱ）從橢圓C在第一象限內(nèi)的部分上取橫坐標為2的點P，若橢圓C上有兩個點A，B使得的平分線垂直于坐標軸，且點B與點A的橫坐標之差為，求直線AP的方程.20．（12分）已知橢圓過點，且離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直交橢圓于兩點，判斷點與以線段為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由.21．（12分）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，且，，.（1）求證：平面PAC；（2）已知點M是線段PD上的一點，且，當三棱錐的體積為1時，求實數(shù)的值.22．（10分）已知拋物線C：焦點F的橫坐標等于橢圓的離心率.（1）求拋物線C的方程；（2）過(1，0)作直線l交拋物線C于A，B兩點，判斷原點與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷大小，從而得解；【詳解】解：令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，即，，故①正確；令，，則，所以當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即恒成立，所以，故②正確；令，，當時，當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，當且僅當時取等號，故③錯誤；故選：C2、D【解析】根據(jù)求出焦點為、點坐標，可得直線的方程與拋物線方程聯(lián)立得點坐標，由兩點間的距離公式求出可判斷AC；時可得，．由可判斷B；求出點坐標可判斷D.【詳解】如圖，若，則，C的焦點為，因為，所以，直線的方程為，整理得，與拋物線方程聯(lián)立得，解得或，所以，所以，選項A錯誤；時，因為，所以．又，，所以不平分，選項B不正確；若，則，C的焦點為，因為，所以，直線的方程為，所以，所以，選項C錯誤；若，則，C的焦點為，因為，所以，直線的方程為，所以，直線的方程為，延長交直線于點D，所以則，所以D，B，N三點共線，選項D正確；故選：D.3、A【解析】由題意設(shè)出拋物線的方程，再結(jié)合焦點坐標即可求出拋物線的方程.【詳解】∵拋物線為，∴可設(shè)拋物線方程為，∴即，∴拋物線方程為，故選：A.4、D【解析】由空間向量的數(shù)量積運算即可求解【詳解】∵，，，，，，且，∴，解得故選：D5、C【解析】對于A，作商比較，對于B，利用基本不等式的推廣式判斷，對于C，利用在單位圓中，內(nèi)接正邊形的面積小于內(nèi)接正邊形的面積判斷，對于D，利用放縮法判斷【詳解】，故錯誤；，故錯誤；在單位圓中，內(nèi)接正邊形的面積小于內(nèi)接正邊形的面積（必修三閱讀材料割圓術(shù)），則，故正確；，故錯誤故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查不等式的綜合應(yīng)用，考查基本不等式的推廣式的應(yīng)用，考查放縮法的應(yīng)用，對于C項解題的關(guān)鍵是利用了在單位圓中，內(nèi)接正邊形的面積小于內(nèi)接正邊形的面積求解，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想，屬于難題6、A【解析】設(shè)出雙曲線的方程，根據(jù)已知條件列出方程組即可求解.【詳解】設(shè)雙曲線的方程為，由雙曲線的上焦點到下頂點的距離為18，即，上焦點的坐標為，其中一條漸近線為，上焦點到漸近線的距離為，則，解得，，即，故選：.7、A【解析】根據(jù)題意，分2種情況討論：①、甲是最后一名，則乙可以為第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三個名次，②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三個名次，由加法原理計算可得答案【詳解】根據(jù)題意，甲乙都沒有得到冠軍，而乙不是最后一名，分2種情況討論：①甲是最后一名，則乙可以為第二、三、四名，即乙有3種情況，剩下的三人安排在其他三個名次，有種情況，此時有種名次排列情況；②甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有種情況，剩下的三人安排在其他三個名次，有種情況，此時有種名次排列情況；則一共有種不同的名次情況，故選：A8、A【解析】根據(jù)兩條直線垂直的條件列方程，解方程求得的值.【詳解】由于直線與直線垂直，所以，解得.故選：A9、C【解析】利用幾何概型的面積型，確定兩數(shù)之和小于的區(qū)域，進而根據(jù)面積比求概率.【詳解】由題意知：若兩個數(shù)分別為，則，如上圖示，陰影部分即為，∴兩數(shù)之和小于的概率.故選：C10、C【解析】由數(shù)列的遞推公式可先求數(shù)列的前幾項，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)列的周期性的特點，進而可求.【詳解】解：，數(shù)列是以3為周期的數(shù)列故選：【點睛】本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的項，解題的關(guān)鍵是由遞推關(guān)系發(fā)現(xiàn)數(shù)列的周期性的特點，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】根據(jù)圖表數(shù)據(jù)可以看出小王和小張的平均成績和成績波動情況.【詳解】解：從圖表中可以看出小王每次的成績均不低于小張，但是小王成績波動比較大，故設(shè)小王與小張成績的樣本平均數(shù)分別為和，方差分別為和.可知故選：C12、C【解析】AB.利用兩平面的位置關(guān)系判斷；CD.利用面面平行的判定定理判斷；【詳解】A.如果，，n∥β，那么α，β相交或平行；故錯誤；B.如果，，，那么α，β垂直，故錯誤；C.如果m∥n，，則，又，那么α∥β，故C正確；D錯誤，故選:C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.81②.【解析】根據(jù)數(shù)列的構(gòu)造寫出前面幾次得到的新數(shù)列，尋找規(guī)律，構(gòu)造等比數(shù)列，求出通項公式，再進行求和.【詳解】第1次得到數(shù)列1，3，2，此時；第2次得到數(shù)列1，4，3，5，2，此時；第3次得到數(shù)列1，5，4，7，3，8，5，7，2，此時；第4次得到數(shù)列1，6，5，9，4，11，7，10，3，11，8，13，5，12，7，9，2，此時，故81，且故，又，所以數(shù)列是以為首項，公比為3的等比數(shù)列，所以，故，所以故答案為：81，14、①.②.2【解析】由題意可得，由此可解得m的范圍，進一步將方程化為標準方程即可求得焦距【詳解】由所表示的曲線是雙曲線，可知，解得，當時，方程可變?yōu)椋?，此時雙曲線焦距為，當時，m不存在，不合題意；故雙曲線的焦距：故答案為：；15、②③【解析】對①：由連接，，由平面，即可判斷；對③：設(shè)到平面的距離為，則，所以即可判斷；對④：以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，利用向量法求出與，比較大小即可判斷；對②：設(shè)與平面夾角為，利用向量法求出，即可求解判斷.【詳解】解：對①：連接，，在正方體中，由平面，可得，又，，所以平面，所以，故①錯誤；對③：設(shè)到平面的距離為，則，所以，故③正確；對④：以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，則，0，，，0，，，，，，，，所以，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，取，，，又，1，是平面的一個法向量，又二面角為銳二面角或直角，所以，，，又，，，故④錯誤對②：由④的解析知，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，設(shè)與平面夾角為，令，即，又，解得或，故②正確.故答案為：②③.16、-2【解析】將圓的一般方程化為標準方程，結(jié)合垂徑定理和勾股定理表示出圓心到弦的距離，再由點到直線的距離公式表示出圓心到弦的距離，解方程即可求得的值.【詳解】解：將圓的方程化為標準方程可得，圓心為，半徑圓C與直線相交于、兩點,且，由垂徑定理和勾股定理得圓心到直線的距離為，由點到直線距離公式得，所以，解得，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2).【解析】(1)根據(jù)已知條件求出等比數(shù)列的公比，然后利用等比數(shù)列通項公式求解即可；(2)根據(jù)已知求出數(shù)列的通項公式，再結(jié)合(1)中結(jié)論并利用分組求和法求解即可.【詳解】(1)設(shè)等比數(shù)列公比為q，因為，所以，因為是和的等差中項，所以，即，解得，所以.故答案為：.(2)因為，所以為等差數(shù)列，因為，，所以公差，故.所以.故答案為：.18、（1）（2）【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項、公差，由列出關(guān)于首項、公差的方程組，解方程組可得與的值，從而可得數(shù)列的通項公式；（2）由（1）可知，利用裂項相消法可求數(shù)列的前n項和.小問1詳解】依題意：設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，則解得所以數(shù)列的通項公式為【小問2詳解】由（1）可知因為，所以，所以.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由題意可得關(guān)于參數(shù)的方程，解之即可得到結(jié)果；（Ⅱ）設(shè)直線AP的斜率為k，聯(lián)立方程結(jié)合韋達定理可得A點坐標，同理可得B點坐標，結(jié)合橫坐標之差為，可得直線方程.【詳解】（Ⅰ）由拋物線方程可得焦點為，則橢圓C的一個頂點為，即.由，解得.∴橢圓C的標準方程是；（Ⅱ）由題可知點，設(shè)直線AP的斜率為k，由題意知，直線BP的斜率為，設(shè)，，直線AP的方程為，即.聯(lián)立方程組消去y得.∵P，A為直線AP與橢圓C的交點，∴，即.把換成，得.∴，解得，當時，直線BP的方程為，經(jīng)驗證與橢圓C相切，不符合題意；當時，直線BP的方程為，符合題意.∴直線AP得方程為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：兩條直線關(guān)于直線對稱，兩直線的傾斜角互補，斜率互為相反數(shù).20、(1)(2)點G在以AB為直徑的圓外【解析】解法一：（Ⅰ）由已知得解得所以橢圓E的方程為（Ⅱ）設(shè)點AB中點為由所以從而.所以.,故所以，故G在以AB為直徑的圓外解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）設(shè)點，則由所以從而所以不共線，所以銳角.故點G在以AB為直徑的圓外考點：1、橢圓的標準方程；2、直線和橢圓的位置關(guān)系；3、點和圓的位置關(guān)系21、（1）證明見解析（2）3【解析】（1）證明出，且，從而證明出線面垂直；（2）先用椎體體積公式求出，利用體積之比得到線段之比，從而得到的值.【小問1詳解】證明：∵平面ABCD，且平