高中階段數(shù)學(xué)試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sinx\)的最小正周期是（）A.\(\frac{\pi}{2}\)B.\(\pi\)C.\(2\pi\)D.\(4\pi\)2.若集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\capB\)等于（）A.\(\{1,2\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{3,4\}\)D.\(\{1,4\}\)3.直線\(y=2x+1\)的斜率為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(-1\)D.\(-2\)4.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則公差\(d\)為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)5.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(2,m)\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，則\(m\)的值為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(4\)D.\(-4\)6.拋物線\(y^2=4x\)的焦點坐標(biāo)是（）A.\((1,0)\)B.\((0,1)\)C.\((2,0)\)D.\((0,2)\)7.若\(\cos\alpha=-\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)是第二象限角，則\(\sin\alpha\)的值為（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{5}\)D.\(-\frac{3}{5}\)8.函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)的極大值點是（）A.\(1\)B.\(-1\)C.\(0\)D.\(2\)9.不等式\(x^2-3x+2\lt0\)的解集是（）A.\((1,2)\)B.\((-\infty,1)\cup(2,+\infty)\)C.\((-2,-1)\)D.\((-\infty,-2)\cup(-1,+\infty)\)10.從\(5\)名學(xué)生中選\(2\)名參加數(shù)學(xué)競賽，不同的選法有（）A.\(10\)種B.\(20\)種C.\(60\)種D.\(120\)種二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是奇函數(shù)（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=\cosx\)D.\(y=e^x\)2.下列屬于基本不等式的是（）A.\(a^2+b^2\geq2ab\)B.\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}(a,b\gt0)\)C.\(a^3+b^3\geqa^2b+ab^2\)D.\(a+b\geq2\sqrt{ab}\)3.直線\(l\)過點\((1,2)\)且斜率為\(2\)，則直線\(l\)的方程可以是（）A.\(y-2=2(x-1)\)B.\(2x-y=0\)C.\(y=2x\)D.\(x-2y+3=0\)4.橢圓\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)的性質(zhì)正確的是（）A.長軸長為\(6\)B.短軸長為\(4\)C.離心率為\(\frac{\sqrt{5}}{3}\)D.焦點坐標(biāo)為\((\pm\sqrt{5},0)\)5.對于數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)，以下說法正確的是（）A.若\(a_{n+1}-a_n=d\)（\(d\)為常數(shù)），則\(\{a_n\}\)是等差數(shù)列B.若\(a_{n+1}=qa_n\)（\(q\)為常數(shù)），則\(\{a_n\}\)是等比數(shù)列C.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)D.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}(q\neq1)\)6.下列函數(shù)中，在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增的是（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\lnx\)C.\(y=2^x\)D.\(y=\frac{1}{x}\)7.已知\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow=(x_2,y_2)\)，則下列向量運算正確的是（）A.\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow=(x_1+x_2,y_1+y_2)\)B.\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow=(x_1-x_2,y_1-y_2)\)C.\(\lambda\overrightarrow{a}=(\lambdax_1,\lambday_1)\)D.\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=x_1x_2+y_1y_2\)8.以下哪些是正方體的特征（）A.六個面都是正方形B.十二條棱都相等C.八個頂點D.對角線都相等9.對于函數(shù)\(y=f(x)\)，下列說法正確的是（）A.若\(f(a)=0\)，則\(x=a\)是函數(shù)\(y=f(x)\)的零點B.函數(shù)\(y=f(x)\)的零點就是方程\(f(x)=0\)的根C.函數(shù)\(y=f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)上有\(zhòng)(f(a)f(b)\lt0\)，則\(y=f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)至少有一個零點D.二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）的零點個數(shù)可能為\(0\)，\(1\)，\(2\)10.下列屬于排列問題的是（）A.從\(10\)個人中選\(2\)個人分別去參加兩項不同活動B.從\(10\)個人中選\(2\)個人參加一項活動C.從\(10\)個不同元素中取出\(2\)個元素排成一列D.從\(10\)個不同元素中取出\(2\)個元素組成一組三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.函數(shù)\(y=\log_2x\)的定義域是\((0,+\infty)\)。（）3.若\(a\gtb\)，則\(a^2\gtb^2\)。（）4.異面直線所成角的范圍是\((0,\frac{\pi}{2}]\)。（）5.向量\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)的夾角為\(\theta\)，則\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow\vert\cos\theta\)。（）6.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，若\(a_1=1\)，\(q=2\)，則\(a_3=4\)。（）7.函數(shù)\(y=\cos(x+\frac{\pi}{2})=\sinx\)。（）8.圓\((x-1)^2+(y-2)^2=9\)的圓心坐標(biāo)是\((1,2)\)，半徑是\(3\)。（）9.若\(f(x)\)是偶函數(shù)，則\(f(-x)=f(x)\)。（）10.從\(n\)個不同元素中取出\(m\)個元素的組合數(shù)\(C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=3x^2-2x+1\)的對稱軸和頂點坐標(biāo)。-答案：對于二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)，對稱軸公式為\(x=-\frac{2a}\)。此函數(shù)\(a=3\)，\(b=-2\)，則對稱軸\(x=\frac{1}{3}\)。把\(x=\frac{1}{3}\)代入函數(shù)得\(y=3\times(\frac{1}{3})^2-2\times\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}\)，頂點坐標(biāo)為\((\frac{1}{3},\frac{2}{3})\)。2.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)是第一象限角，求\(\cos\alpha\)和\(\tan\alpha\)的值。-答案：因為\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)是第一象限角，所以\(\cos\alpha=\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=\frac{4}{5}\)，\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{3}{4}\)。3.求直線\(2x-y+1=0\)與直線\(x+y-4=0\)的交點坐標(biāo)。-答案：聯(lián)立方程組\(\begin{cases}2x-y+1=0\\x+y-4=0\end{cases}\)，兩式相加消去\(y\)得\(3x-3=0\)，解得\(x=1\)，把\(x=1\)代入\(x+y-4=0\)得\(y=3\)，交點坐標(biāo)為\((1,3)\)。4.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(a_3=6\)，求其前\(5\)項和\(S_5\)。-答案：先求公差\(d\)，\(a_3=a_1+2d\)，即\(6=2+2d\)，解得\(d=2\)。由等差數(shù)列求和公式\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)，\(n=5\)時，\(S_5=5\times2+\frac{5\times4}{2}\times2=30\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=x^3-3x\)的單調(diào)性。-答案：對函數(shù)求導(dǎo)得\(y^\prime=3x^2-3=3(x+1)(x-1)\)。令\(y^\prime\gt0\)，解得\(x\lt-1\)或\(x\gt1\)，此時函數(shù)單調(diào)遞增；令\(y^\prime\lt0\)，解得\(-1\ltx\lt1\)，此時函數(shù)單調(diào)遞減。2.在等比數(shù)列中，如何根據(jù)已知條件求通項公式？-答案：若已知首項\(a_1\)和公比\(q\)，則通項公式\(a_n=a_1q^{n-1}\)。若已知數(shù)列中兩項\(a_m\)，\(a_n\)（\(m\neqn\)），先由\(\frac{a_n}{a_m}=q^{n-m}\)求出\(q\)，再代入\(a_n=a_1q^{n-1}\)結(jié)合\(a_m\)求出\(a_1\)，進而得通項公式。3.橢圓和雙曲線在定義、性質(zhì)上有哪些異同點？-答案：相同點：都是圓錐曲線。不同點：定義上，橢圓是到兩定點距離和為定值，雙曲線是到兩定點距離差的絕對值為定值。性質(zhì)方面，橢圓離心率\(0\lte\lt1\)，雙曲線\(e\gt1\)；橢圓有長、短軸，雙曲線有實、虛軸。4.舉例說明如何運用基本不等式求最值。-答案：例如求\(y=x+\frac{4}{x}(x\gt0)\)的最小值。由基本不等式\(a+b\geq2\sqrt{ab}(a,b\gt0)\)，這里\(a=x\)，\(b=\frac{4}{x}\)，則\(y=x+\frac{4}{x}\geq2\sqrt{x\times\frac{4}{x}}=