高中數(shù)學解壓試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sinx\)的最小正周期是（）A.\(\frac{\pi}{2}\)B.\(\pi\)C.\(2\pi\)D.\(4\pi\)2.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(-1,m)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec\)，則\(m\)的值為（）A.\(2\)B.\(-2\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)3.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，\(a_{3}=5\)，則公差\(d\)為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)4.雙曲線\(\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1\)的漸近線方程是（）A.\(y=\pm\frac{3}{4}x\)B.\(y=\pm\frac{4}{3}x\)C.\(y=\pm\frac{2}{3}x\)D.\(y=\pm\frac{3}{2}x\)5.若\(\log_{2}x=3\)，則\(x\)的值為（）A.\(6\)B.\(8\)C.\(9\)D.\(16\)6.函數(shù)\(y=x^{2}+2x-3\)的對稱軸是（）A.\(x=-1\)B.\(x=1\)C.\(x=-2\)D.\(x=2\)7.已知\(\alpha\)為銳角，\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，則\(\cos\alpha\)的值為（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)8.直線\(y=x+1\)與圓\(x^{2}+y^{2}=1\)的位置關系是（）A.相切B.相交C.相離D.不確定9.從\(5\)名男生和\(3\)名女生中選\(2\)人參加比賽，至少有\(zhòng)(1\)名女生的選法有（）A.\(18\)種B.\(28\)種C.\(36\)種D.\(48\)種10.已知函數(shù)\(f(x)=2x+1\)，則\(f(3)\)的值為（）A.\(5\)B.\(6\)C.\(7\)D.\(8\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^{2}\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=|x|\)2.下列關于直線的斜率說法正確的是（）A.直線傾斜角為\(90^{\circ}\)時，斜率不存在B.斜率越大，直線越陡峭C.兩條直線斜率相等，則兩直線平行D.直線斜率可以是任意實數(shù)3.以下屬于基本初等函數(shù)的有（）A.冪函數(shù)B.指數(shù)函數(shù)C.對數(shù)函數(shù)D.三角函數(shù)4.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，則（）A.\(A\capB=\{2,3\}\)B.\(A\cupB=\{1,2,3,4\}\)C.\(A\subseteqB\)D.\(B\subseteqA\)5.對于橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)，以下說法正確的是（）A.長軸長為\(2a\)B.短軸長為\(2b\)C.焦距為\(2c\)（\(c^{2}=a^{2}-b^{2}\)）D.離心率\(e=\frac{c}{a}\)6.以下哪些是等比數(shù)列的性質（）A.\(a_{n}=a_{1}q^{n-1}\)（\(q\)為公比）B.若\(m+n=p+q\)，則\(a_{m}a_{n}=a_{p}a_{q}\)C.等比數(shù)列的公比不能為\(0\)D.前\(n\)項和\(S_{n}=\frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}(q\neq1)\)7.下列命題正確的是（）A.垂直于同一條直線的兩條直線平行B.平行于同一個平面的兩條直線可能相交C.若直線\(a\)平行于平面\(\alpha\)，直線\(b\)在平面\(\alpha\)內，則\(a\parallelb\)D.若兩個平面平行，一條直線在其中一個平面內，則這條直線與另一個平面平行8.已知\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，且\(a+b=1\)，則（）A.\(ab\leqslant\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{a}+\frac{1}\geqslant4\)C.\(a^{2}+b^{2}\geqslant\frac{1}{2}\)D.\(\sqrt{a}+\sqrt\leqslant\sqrt{2}\)9.以下哪些點在直線\(y=2x-1\)上（）A.\((0,-1)\)B.\((1,1)\)C.\((2,3)\)D.\((-1,-3)\)10.下列求導公式正確的是（）A.\((x^{n})^\prime=nx^{n-1}\)B.\((\sinx)^\prime=\cosx\)C.\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)D.\((e^{x})^\prime=e^{x}\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在定義域內是單調遞減函數(shù)。（）3.若\(a\gtb\)，則\(a^{2}\gtb^{2}\)。（）4.平面向量的數(shù)量積滿足結合律。（）5.拋物線\(y^{2}=2px(p\gt0)\)的焦點坐標是\((\frac{p}{2},0)\)。（）6.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項和\(S_{n}=n^{2}\)，則\(a_{n}=2n-1\)。（）7.兩條異面直線所成角的范圍是\([0,\frac{\pi}{2}]\)。（）8.函數(shù)\(y=\tanx\)的周期是\(\pi\)。（）9.若\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)），當\(a=0\)時，\(z\)是純虛數(shù)。（）10.直線\(Ax+By+C=0\)（\(A,B\)不同時為\(0\)）的斜率\(k=-\frac{A}{B}\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=\log_{3}(x-2)\)的定義域。答案：要使函數(shù)有意義，則\(x-2\gt0\)，解得\(x\gt2\)，所以定義域為\((2,+\infty)\)。2.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=2\)，\(a_{5}=10\)，求公差\(d\)和通項公式\(a_{n}\)。答案：由\(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)，\(a_{5}=a_{1}+4d\)，即\(10=2+4d\)，解得\(d=2\)。則\(a_{n}=2+(n-1)\times2=2n\)。3.求圓\((x-1)^{2}+(y+2)^{2}=9\)的圓心坐標和半徑。答案：圓的標準方程為\((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\)，其圓心坐標為\((a,b)\)，半徑為\(r\)。所以該圓圓心坐標為\((1,-2)\)，半徑\(r=3\)。4.已知\(\sin\alpha=\frac{4}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，求\(\cos\alpha\)和\(\tan\alpha\)的值。答案：因為\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，所以\(\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^{2}\alpha}=-\frac{3}{5}\)，\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\frac{4}{3}\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=x^{2}-4x+3\)的單調性。答案：函數(shù)\(y=x^{2}-4x+3=(x-2)^{2}-1\)，其圖象開口向上，對稱軸為\(x=2\)。在\((-\infty,2)\)上單調遞減，在\((2,+\infty)\)上單調遞增。2.討論直線\(y=kx+1\)與圓\(x^{2}+y^{2}=1\)的位置關系與\(k\)的取值關系。答案：圓心\((0,0)\)到直線\(y=kx+1\)即\(kx-y+1=0\)的距離\(d=\frac{1}{\sqrt{k^{2}+1}}\)。當\(d\lt1\)即\(k\neq0\)時，直線與圓相交；當\(d=1\)即\(k=0\)時，直線與圓相切；直線與圓不可能相離。3.討論等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項和公式\(S_{n}\)在\(q=1\)和\(q\neq1\)時的推導思路。答案：當\(q=1\)時，\(S_{n}=a_{1}+a_{1}+\cdots+a_{1}=na_{1}\)；當\(q\neq1\)時，\(S_{n}=a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{2}+\cdots+a_{1}q^{n-1}\)，\(qS_{n}=a_{1}q