2025/7/25單元1數(shù)據(jù)處理1任務(wù)4求解一元非線性方程求解一元非線性方程求根方法手工求解Excel求解自編軟件求解逐步掃描法(邁步法)二分法牛頓法弦截法2025/7/25單元1數(shù)據(jù)處理2任務(wù)4

求解一元非線性方程思考:以前所學(xué)知識的哪方面遇到過求解一元三次以上非線性問題?☆3x3-4x2-43x+84=0☆真實氣體p-V-T之間的關(guān)系如:vanderWaalsEq(p+a/V2)(V-b)=RT

V3-(b+RT/p)V2+aV/p-ab/p=0☆已知供熱量、氣體的恒壓摩爾熱容cp=f(T)=a+bT+cT2，求出口溫度T22025/7/25單元1數(shù)據(jù)處理3任務(wù)4

求解一元非線性方程一、一元非線性方程求根方法(一)逐步掃描法(邁步法)☆函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)連續(xù),且f(a)與f(b)異號,則區(qū)間(a,b)內(nèi)必定至少有一個實根;☆函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)連續(xù)并單調(diào)(上升或下降),則在區(qū)間(a,b)必定只有一個實根;☆選一步長h,計算函數(shù)f(a),f(a+h),f(a)與f(a+h)乘積,若乘積大于零,說明該區(qū)間內(nèi)無實根

計算f(a+2h),f(a+h)與f(a+2h)乘積,直至兩函數(shù)值的乘積小于或等于零,即直至相鄰兩個函數(shù)值異號,此時可把此區(qū)間的始點作為方程式根的近似值。這個方法叫邁步法或逐步掃描法。返回2025/7/25單元1數(shù)據(jù)處理4任務(wù)4求解一元非線性方程一、一元非線性方程求根方法(二)二分法設(shè)方程f(x)=0通過逐步掃描法已知有根區(qū)間為(x1,x2)①取x1與x2的中點x0，即:x0=(x1+x2)/2②檢查f(x0)與f(x1)的符號是否相同☆如為同號,根必在x0與x2之間,如圖(A)。令:x1=x0

☆如為異號,則根必在x1與x0之間,如圖(B)。令:

x2=x0

③再取新區(qū)間(x1,x2)的中點,重復(fù)以上步驟,直至x1與x2之間的距離小于某指定值

為止。

只要區(qū)間(x1,x2)內(nèi)有根,此法定能求出結(jié)果,但收斂速度較慢;

此法只能得到一個實根,需增加一個終值B,當有根區(qū)間的終點x2小于終值B,再施行邁步法求下一個實根的近似值,進而求出精確值,如此反復(fù),直至達到或超過終值B為止。返回2025/7/25單元1數(shù)據(jù)處理5任務(wù)4求解一元非線性方程一、一元非線性方程求根方法(三)牛頓法(Newton-Raphson)法假設(shè)方程f(x)=0有一個實根x*①取一初值x0,過x0作垂線交曲線f(x)于點P0,過P0點作曲線切線交x軸于x1點,顯然x1點較x0點更接近于根x*;②若

(x1－x0)/x0

＜

,則方程根x*=x1,否則按上述同樣方法過x1作x軸垂線交于曲線f(x)于點P1,過P1點作曲線f(x)的切線并于x軸相交于x2……，直到

(xk+1－xk)/xk

＜

為止,方程的根為:x*=xk+1

思考:曲線的斜率如何得到?返回2025/7/25單元1數(shù)據(jù)處理6任務(wù)4求解一元非線性方程一、一元非線性方程求根方法(四)弦截法思考:f

(x)很難求得?1)若已知非線性函數(shù)f(x)的根區(qū)間(x0,x1),過x0、x1作垂線交函數(shù)f(x)于P0、P1點,連接P0、P1交x軸于x2點;2)①若f(x2)=0,則方程的解為x*=x2;②若f(x2)

f(x1)＞0,如圖(A),則用x2代替x1;③若f(x2)

f(x1)＜0,如圖(B),則用x2代替x0;3)用新得到的兩個點用以上方法繼續(xù)迭代,直到相鄰兩次值滿足

(xk+1－xk)/xk)

＜

為止,弦截法的迭代格式為返回2025/7/25單元1數(shù)據(jù)處理7任務(wù)4求解一元非線性方程二、手工求解一元非線性方程例1-8常壓氣相反應(yīng)體系某一組分平衡分壓p(單位atm)符合以下方程:4p3－1.640p2+1.640p－0.410=0,試求其分壓的數(shù)值?思考:p的大致范圍?解:以Newton迭代法為例步驟1：令： y=4p3－1.640p2+1.640p－0.410 (1)則: y

=12p2－3.280p+1.640 (2)步驟2:確定p的初值,取為p0=0.3步驟3:將p0=0.3代入式(1),(2)計算得：y=0.04240、y

=1.73600步驟4:

步驟5:計算p0、p1之間相對誤差

1

步驟6：判斷

1,滿足計算結(jié)果,否則重復(fù)步驟3~6,直到滿足要求。

2025/7/25單元1數(shù)據(jù)處理8任務(wù)4求解一元非線性方程二、手工求解一元非線性方程例1-8常壓氣相反應(yīng)體系某一組分平衡分壓p(單位atm)符合以下方程:4p3－1.640p2+1.640p－0.410=0,試求其分壓的數(shù)值?表3-1例3-1手工Newton迭代法計算數(shù)據(jù)匯總表

迭代次序y計算值y'

計算值p計算值

迭代誤差計算值判斷10.042401.736000.275588.141E-02>10-3，需重新計算20.00111091.647420.274902.447E-03>10-3，需重新計算37.568E-071.645170.274901.673E-06<10-3，滿足精度返回2025/7/25單元1數(shù)據(jù)處理9任務(wù)4求解一元非線性方程三、采用Excel求解一元非線性方程

例1-8常壓氣相反應(yīng)體系某一組分平衡分壓p(單位atm)符合以下方程:4p3－1.640p2+1.640p－0.410=0,試求其分壓的數(shù)值?(1)Excel單變量求解具體過程步驟1:單元格中輸入:=4*A2^3－1.640*A2^2+1.640*A2－0.410步驟2:單擊工具

選擇單變量求解

單變量求解對話框2025/7/25單元1數(shù)據(jù)處理10任務(wù)4求解一元非線性方程三、采用Excel求解一元非線性方程例1-4-1(1)Excel單變量求解具體過程步驟3:點擊確定按鈕,答案出現(xiàn)在單元格A2中“0.2749”說明:B2中的值為0時,說明此根為一精確解。若為某一很小的數(shù)可采取以下方法操作調(diào)整:單擊工具選擇“選項”

出現(xiàn)“選項”卡,選擇其中“重新計算”,可將其中最多迭代次數(shù)和最大誤差值進行修改,如將最多迭代次數(shù)由“100”改為“10000”,最大誤差由“0.001”改為“0.0000001”等,這樣可使計算精度得到提高。

2025/7/25單元1數(shù)據(jù)處理11任務(wù)4求解一元非線性方程三、采用Excel求解一元非線性方程例1-4-1(2)應(yīng)用牛頓迭代法計算原理，采用VBA自編迭代函數(shù)求解①打開Excel

工具

宏

VisualBasic編輯器

插入

模塊

過程,輸入函數(shù)名“Newton3”,如右下圖所示

②在編輯窗口編寫VBA代碼,如下圖所示2025/7/25單元1數(shù)據(jù)處理12任務(wù)4求解一元非線性方程三、采用Excel求解一元非線性方程例1-4-1(2)應(yīng)用牛頓迭代法計算原理，采用VBA自編迭代函數(shù)求解③在Excel表格中分別輸入方程初值、迭代精度及方程中各系數(shù)之值;