2025年7月25日質(zhì)系動(dòng)能定理質(zhì)系的動(dòng)能質(zhì)系的動(dòng)能—質(zhì)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能之和：剛體平動(dòng)：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：一般情況：建立質(zhì)心平動(dòng)參考系Cxyz，則：剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)：質(zhì)系的動(dòng)能柯尼希定理—質(zhì)系的動(dòng)能等于質(zhì)系跟隨質(zhì)心平動(dòng)的動(dòng)能與相對(duì)質(zhì)心平動(dòng)參考系運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能之和作平面運(yùn)動(dòng)的剛體：剛體一般運(yùn)動(dòng)？例1質(zhì)量為m1，半徑為r的均質(zhì)圓柱體在質(zhì)量為m2，半徑為R的半圓形滑槽內(nèi)作純滾動(dòng)。滑槽作直線平動(dòng)，彈簧剛度系數(shù)為k。求系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能。解：系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，選x和θ為廣義坐標(biāo)。質(zhì)系動(dòng)能的微分等于作用在質(zhì)系上所有力的元功之和。質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理質(zhì)系動(dòng)能定理質(zhì)系動(dòng)能定理的積分形式質(zhì)系從狀態(tài)1到狀態(tài)2的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其動(dòng)能的改變量等于作用于質(zhì)系的所有力在這段路程中所作功的代數(shù)和。動(dòng)能定理的各種形式當(dāng)質(zhì)系在勢(shì)力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，有勢(shì)力所作的功：機(jī)械能守恒：內(nèi)力雖然不能改變質(zhì)系的動(dòng)量和動(dòng)量矩，但可能改變它的能量；外力能改變質(zhì)系的動(dòng)量和動(dòng)量矩，但不一定能改變其能量。實(shí)例分析哪些力改變了系統(tǒng)的動(dòng)量?哪些力改變了系統(tǒng)的能量?后輪驅(qū)動(dòng)FAFB半徑為R，質(zhì)量為m的均質(zhì)半圓柱體在固定平面上無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)。半圓柱體質(zhì)心C與圓心O1之間的距離為e，對(duì)質(zhì)心的回轉(zhuǎn)半徑為ρC。試列寫(xiě)該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。例2解：系統(tǒng)具有一個(gè)自由度，選θ為廣義坐標(biāo)。故可得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程：C*解

平面運(yùn)動(dòng)微分方程列寫(xiě)平面運(yùn)動(dòng)微分方程需補(bǔ)充2個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程其它解法？例3圖示重物A的質(zhì)量為m，當(dāng)其下降時(shí)，借無(wú)重且不可伸長(zhǎng)的繩使?jié)L子C沿水平軌道純滾動(dòng)。繩子跨過(guò)不計(jì)質(zhì)量的定滑輪D并繞在滑輪B上。滑輪B與滾子C固結(jié)為一體。已知滑輪B的半徑為R，滾子C的半徑為r，二者總質(zhì)量為M，其對(duì)與圖面垂直的軸O的回轉(zhuǎn)半徑為ρ。求重物A的加速度。

C*取系統(tǒng)為研究對(duì)象，A的位置為廣義坐標(biāo)解dT=ωvov解

解法二取A為研究對(duì)象：AmgTaMgFNC*T取磙子為研究對(duì)象：功率方程功率—單位時(shí)間內(nèi)所作的功作用在剛體上的力偶的功率12r21功率方程功率方程輸入有用無(wú)用輸入有用無(wú)用機(jī)器勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)：動(dòng)能定理：輸入有用無(wú)用功率平衡例12車床的電動(dòng)機(jī)功率P輸入=5.4kW。傳動(dòng)零件之間的摩擦損耗功率占輸入功率的30%。工件的直徑d=100mm，轉(zhuǎn)速n=42r/min。試求允許的最大切削力。輸入輸入無(wú)用有用輸入無(wú)用有用有用解：作業(yè)第三章：21、32、34、質(zhì)系普遍定理的綜合應(yīng)用2025年7月25日質(zhì)系普遍定理的綜合應(yīng)用普遍定理提供了解決質(zhì)系動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的一般方法。普遍定理動(dòng)量（動(dòng)量矩）方法

—向量方程能量方法

—標(biāo)量方程分析問(wèn)題和審題過(guò)程：分析運(yùn)動(dòng)，判斷自由度選取廣義坐標(biāo)，建立坐標(biāo)系受力分析，畫(huà)受力圖。分析未知約束力的規(guī)律：是否做功？力矩是否為零？在某個(gè)方向上的分量是否為零？分析已知量和未知量選取相應(yīng)的普遍定理動(dòng)能/動(dòng)量（矩）定理

–已知主動(dòng)力求運(yùn)動(dòng)動(dòng)量（矩）定理

–已知運(yùn)動(dòng)求力質(zhì)系普遍定理的綜合應(yīng)用質(zhì)系動(dòng)量定理質(zhì)系動(dòng)量矩定理絕對(duì)運(yùn)動(dòng)相對(duì)運(yùn)動(dòng)質(zhì)量不變系統(tǒng)剛體系平面運(yùn)動(dòng)剛體固定點(diǎn)或質(zhì)心：任意動(dòng)點(diǎn)：變質(zhì)量系？設(shè)圓柱表面上有一條光滑的螺旋槽，其升角為45o

，質(zhì)量與柱相等的小球可沿著槽運(yùn)動(dòng)，圓柱可繞豎直軸AB無(wú)摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)初始時(shí)刻圓柱和小球都靜止，求小球在下滑過(guò)程中對(duì)槽的側(cè)向壓力N。N例1先研究動(dòng)力學(xué)正問(wèn)題，求運(yùn)動(dòng)，再研究動(dòng)力學(xué)反問(wèn)題，求壓力。盡可能用動(dòng)能定理求解。系統(tǒng)兩個(gè)自由度，機(jī)械能守恒。設(shè)小球相對(duì)速度為u設(shè)小球下降了h，則勢(shì)能變?yōu)榻鈱?duì)AB軸動(dòng)量矩守恒(1)和(2)聯(lián)立解出:設(shè)側(cè)向壓力為N，則對(duì)于圓柱有N例2勻質(zhì)滾子的質(zhì)量為m，半徑為R，放在粗糙的水平地板上，如圖所示。在滾子的鼓輪上繞以繩，在繩子上作用有常力T，作用線與水平方向夾角為α。已知鼓輪的半徑為r，滾子對(duì)軸O的回轉(zhuǎn)半徑為ρO，滾子由靜止開(kāi)始作純滾動(dòng)。試求滾子的角加速度和受到的約束反力。

運(yùn)動(dòng)學(xué)分析：自由度？廣義坐標(biāo)？受力分析：畫(huà)受力圖

約束力的特點(diǎn)：不做功對(duì)C點(diǎn)的力矩為零方法選擇：動(dòng)能定理＋動(dòng)量定理動(dòng)量矩定理＋動(dòng)量定理ωmgαATOrRCNF解vBeBαAOrRωPNFmg質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理解

解法二αAOrRTNFmgDB相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)量矩定理：圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)方向？半徑為R的半球殼靠在光滑墻上，無(wú)初速滑下。假設(shè)半球殼始終在圖示的豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。圓心為O與半球殼質(zhì)心為C，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中OC與水平方向夾角為θ

，初始時(shí)刻θ＝0，求脫離墻后半球殼的角速度和質(zhì)心速度（用θ

表示）。例3解：這是動(dòng)力學(xué)正問(wèn)題1)研究對(duì)象：半球殼2)受力分析：重力，反力

脫離墻以后3)運(yùn)動(dòng)分析：脫離前，繞O定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

脫離后，平面運(yùn)動(dòng)取圖示固定坐標(biāo)系oxy4)列方程：(1)脫離前：

或者其中(a)脫離前：(b)脫離條件：脫離：設(shè)脫離時(shí)刻為或者(c)脫離后：其中由x方向方程知：由由機(jī)械能守恒得：由于，故，即當(dāng)很小時(shí)，運(yùn)動(dòng)微分方程可近似寫(xiě)成：這是頻率為的振動(dòng)。長(zhǎng)為l、質(zhì)量為m的均質(zhì)細(xì)桿靜止直立于光滑水平面上。當(dāng)桿受微小干擾而倒下時(shí)，求桿剛剛到達(dá)地面時(shí)的角速度和地面約束力。例4AθCωvAmgN運(yùn)動(dòng)學(xué)分析：自由度數(shù)？廣義坐標(biāo)？受力分析：畫(huà)受力圖

約束力特點(diǎn)：水平方向?yàn)榱悴蛔龉Ψ椒ㄟx擇動(dòng)能定理

＋

動(dòng)量定理由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可知，直桿在倒下過(guò)程中其質(zhì)心將鉛直下落。(1)求桿剛剛到達(dá)地面時(shí)的角速度由機(jī)械能守恒定理得：桿剛剛到達(dá)地面時(shí)，A點(diǎn)為瞬心：解AθCωvA(2)求桿剛剛到達(dá)地面時(shí)的地面約束力將上式沿鉛垂方向投影，得聯(lián)立求解得ACaCωmgNaA相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)量矩定理ABCθlω0質(zhì)量為m長(zhǎng)為l的均質(zhì)桿AC的C端與質(zhì)量為M半徑為r的均質(zhì)圓盤B的質(zhì)心用光滑鉸鏈連接，在鉛垂平面內(nèi)繞桿的A端轉(zhuǎn)動(dòng)。初始時(shí)θ=θ0，桿的角速度為零，圓盤的角速度為ω0。求桿運(yùn)動(dòng)到鉛垂位置時(shí)圓盤和桿的角速度。例5運(yùn)動(dòng)學(xué)分析：自由度？廣義坐標(biāo)？受力分析，畫(huà)受力圖分析約束力的特點(diǎn)：系統(tǒng)：約束力對(duì)A軸的力矩為零圓盤：約束力對(duì)C軸的力矩為零約束力不做功方法選擇圓盤對(duì)C軸的動(dòng)量矩守恒系統(tǒng)對(duì)A軸的動(dòng)量矩定理機(jī)械能守恒MgmgRAxRAy解法一CMgω0RCxRCy取圓盤為研究對(duì)象圓盤對(duì)Cz軸的動(dòng)量矩守恒ABCMgmgθlω0RAxRAy系統(tǒng)機(jī)械能守恒：解法二取系統(tǒng)為研究對(duì)象。圓盤對(duì)A點(diǎn)的動(dòng)量矩為：ABCMgmgθlω0RAxRAy由圓盤對(duì)Cz軸的動(dòng)量矩守恒已得：ωB

=

–ω0系統(tǒng)對(duì)A點(diǎn)的動(dòng)量矩為：動(dòng)量矩定理例6已知：鉛垂墻面光滑，圓柱作純滾動(dòng)。當(dāng)θ=45°時(shí)系統(tǒng)由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。求：此瞬時(shí)圓柱質(zhì)心A的加速度。mM運(yùn)動(dòng)學(xué)分析：自由度？廣義坐標(biāo)？受力分析：畫(huà)受力圖

約束力特點(diǎn)不做功方法選擇動(dòng)能定理NPFPNBmgCMgNPFPNBmgCDMgvBvAω2ω1vC解由動(dòng)能定理得在初始瞬時(shí)有：θ=45°，vA=0，故有：討論如先將θ=45°代入動(dòng)能表達(dá)式后再微分，即：由動(dòng)能定理也能得到：但此方法是否正確？例7已知：質(zhì)量為m1的勻質(zhì)細(xì)桿AB鉸接于質(zhì)量為m2的可在光滑水平面上移動(dòng)的平車上。初始時(shí)系統(tǒng)靜止，桿處于鉛垂位置。求：桿與水平面成θ角時(shí)，桿的角速度。運(yùn)動(dòng)學(xué)分析：自由度？廣義坐標(biāo)？受力分析，畫(huà)受力圖

約束力的特點(diǎn)在x軸零不做功方法選擇動(dòng)量定理動(dòng)能定理m2gm1gωBθvACxOyN1N2解聯(lián)立求解得：動(dòng)能定理（機(jī)械能守恒）水平方向動(dòng)量守恒ωBθvAC行星齒輪機(jī)構(gòu)在水平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。質(zhì)量為m的均質(zhì)曲柄AB帶動(dòng)行星齒輪II在固定齒輪I上純滾動(dòng)。齒輪II的質(zhì)量為m2，半徑為r2。定齒輪I的半徑為r1。桿與輪鉸接處的摩擦力忽略不計(jì)。當(dāng)曲柄受力偶矩為M的常力偶作用時(shí)，