2025年7月25日第二類拉格朗日方程問題的提出非自由質(zhì)系靜力學(xué)非自由質(zhì)系動力學(xué)平衡方程牛頓力學(xué)未知約束力未知數(shù)太多聯(lián)立求解分析力學(xué)虛位移原理廣義坐標(biāo)無未知約束力方程數(shù)和自由度數(shù)相等牛頓力學(xué)分析力學(xué)動量方程主動力有勢達(dá)-拉原理廣義坐標(biāo)主動力有勢第一章：曲線坐標(biāo)描述法空間一點位置可以由三個獨立變量描述：能夠唯一確定質(zhì)點系可能位置的獨立參數(shù)稱為廣義坐標(biāo)。例如單擺的擺角。廣義坐標(biāo)數(shù)為根據(jù)需要可以任選k個可以確定質(zhì)系可能位置的獨立參數(shù)作為廣義坐標(biāo)，它們可以是距離、角度、面積等。廣義坐標(biāo)如果只有完整約束，廣義坐標(biāo)的變化就不再受任何約束限制。廣義坐標(biāo)形式的達(dá)朗貝爾-拉格朗日原理理想完整約束系統(tǒng)：廣義坐標(biāo)為：q1,q2,…,qn質(zhì)系動力學(xué)普遍方程：廣義慣性力完整系統(tǒng)廣義主動力和廣義慣性力相互平衡！拉格朗日關(guān)系式對t求導(dǎo)對

求偏導(dǎo)對qk求偏導(dǎo)第二類拉格朗日方程如主動力都是有勢力：第二類拉格朗日方程L=T–V—拉格朗日函數(shù)，或動勢主動力為勢力時的拉格朗日方程第二類拉格朗日方程部分主動力有勢：V為有勢力的勢能，Qk為非勢力的廣義力；拉格朗日方程的方程數(shù)等于質(zhì)系自由度數(shù)，是最少量方程；不需要考慮理想約束的約束反力；只需要分析速度，不需分析加速度；拉格朗日方程是標(biāo)量方程，避免復(fù)雜的矢量運算；所有問題的解題步驟相同，不需要特殊的技巧。拉格朗日方程的特點應(yīng)用拉格朗日方程的解題步驟為：判斷系統(tǒng)是否為完整約束，主動力是否有勢，以決定能否應(yīng)用拉格朗日方程以及應(yīng)用何種形式的拉格朗日方程。確定系統(tǒng)的自由度數(shù)，選擇合適的廣義坐標(biāo)。進(jìn)行速度分析，按所選的廣義坐標(biāo)，寫出系統(tǒng)動能、勢能或廣義力。把動能、廣義力或拉格朗日函數(shù)代入拉格朗日方程。拉格朗日方程應(yīng)用舉例行星齒輪機(jī)構(gòu)在水平面內(nèi)運動。質(zhì)量為m的均質(zhì)曲柄AB帶動行星齒輪II在固定齒輪I上純滾動。齒輪II的質(zhì)量為m2，半徑為r2。定齒輪I的半徑為r1。桿與輪鉸接處的摩擦力忽略不計。當(dāng)曲柄受力偶矩為M的常力偶作用時，用拉格朗日方程求曲柄的角加速度。例1其它解法？解：一個自由度，取φ為廣義坐標(biāo)。用拉格朗日方程求橢圓擺的運動微分方程φxxyABO例2解：取x和φ為廣義坐標(biāo)系統(tǒng)的勢能為系統(tǒng)的動能為系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為mAgmBgN解討論

與動量定理對比φxxyABONmAgmBg討論

與動量矩定理對比φxxyABONmAgmBg例3：2017年期末競賽題第二題：鉛錘面內(nèi)有一如圖所示的離心式調(diào)速器，上端質(zhì)量為M，繞轉(zhuǎn)動軸的慣量為I，四根桿長均為l；粗實線所示兩根桿均質(zhì)，質(zhì)量為m；其余各部件的質(zhì)量和慣量不計，所有摩擦不計；上端在外力矩T的作用下開始運動，求系統(tǒng)的運動微分方程或方程組；繞鉛錘軸的轉(zhuǎn)動角速度為ω時，外力矩T以及鉸A處桿AB對上端的所有約束反力。解旋轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)上建一個旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系。分析系統(tǒng)特性：兩個自由度、理想約束、三個剛體、三維運動、存在有勢力和非勢力。選取廣義坐標(biāo)：列寫系統(tǒng)動能。轉(zhuǎn)盤：桿件：用剛體動能的公式如何？列寫勢能：解解如角速度為ω恒定：半徑為R的圓環(huán)在力偶矩為M的力偶作用下以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動，質(zhì)量為m的小環(huán)可在圓環(huán)上自由滑動。已知圓環(huán)對y軸的轉(zhuǎn)動慣量為J，忽略摩擦力。求為使圓環(huán)勻角速轉(zhuǎn)動所需施加的力偶矩M（表示成θ的函數(shù)）。例4解：解除勻速轉(zhuǎn)動約束條件，代之于作用力。系統(tǒng)具有兩個自由度，取θ和φ為廣義坐標(biāo)。約束條件：討論

小環(huán)的相對運動規(guī)律物理意義？質(zhì)點相對于非慣性參考系運動的微分方程向圓環(huán)切向投影討論

矢量力學(xué)解法約束反力對y軸的矩為零第二類拉格朗日方程：用拉格朗日方程列寫系統(tǒng)的運動微分方程。例5解：取x和xr為廣義坐標(biāo)。C討論OxC機(jī)械能守恒水平動量守恒積分積分已知：

m,M,k,a。求：系統(tǒng)運動微分方程。例6解：選x,xr為廣義坐標(biāo)xr的坐標(biāo)原點宜選在彈簧靜平衡位置處！討論能否直接找出系統(tǒng)的守恒量？即能否直接找出拉格朗日方程的積分結(jié)果？作業(yè)第七章：3、7、9、11、思考題：如右圖所示，質(zhì)量M的對稱剛體，可繞固定點O做定點運動。O點到剛體質(zhì)心距離為l，剛體內(nèi)對稱軸上有一光滑滑槽，里邊有一質(zhì)量m小球由剛度k的彈簧連到O點。用拉格朗日方程建立系統(tǒng)微分方程。給出首次積分，分析其物理意義。om第一類拉格朗日方程2025年7月25日帶乘子拉格朗日方程(第一類…)N–質(zhì)點/剛體總數(shù)

r–完整約束的總數(shù)s–非完整約束的總數(shù)自由度數(shù):廣義坐標(biāo)數(shù)為：非完整約束質(zhì)點系的廣義坐標(biāo)與自由度：帶乘子拉格朗日方程(第一類…)完整約束，廣義坐標(biāo)相互獨立考慮廣義坐標(biāo)不獨立的情況：系統(tǒng)含非完整約束，選取多余的廣義坐標(biāo)更方便研究問題，如閉環(huán)系統(tǒng)。考慮最簡單情況：含1個非完整約束（或者廣義坐標(biāo)有1個冗余），由關(guān)系式，求等時變分得：不妨假設(shè)b1不為零，一定可以選取使得：廣義坐標(biāo)q2,…,qN相互獨立前面已經(jīng)有：與約束聯(lián)立，求解N+1個未知數(shù)。合起來有：如果有多個非完整約束或冗余的廣義坐標(biāo)，把所有獨立的都加到方程上，與多個冗余約束聯(lián)立求解。如果主動力都是有勢力，則稱為廣義約束反力。與約束聯(lián)立，求解N+r個未知數(shù)。圖示機(jī)構(gòu)在水平面內(nèi)運動，A與B質(zhì)量均為m，忽略桿的質(zhì)量，不考慮摩擦，試寫出運動微分方程例1

例1

用冗余約束的方法聯(lián)立求解：作業(yè)第七章：18哈密頓(Hamilton)正則方程定義Hamilton函數(shù)：勢能僅依賴于廣義坐標(biāo)及時間，拉格朗日函數(shù)（動能）對廣義速度的海斯式非零，可解出廣義速度：考慮雙面、理想約束，主動力均為有勢力的質(zhì)點系：拉格朗日方程為n個二階常微分方程，以廣義坐標(biāo)為變量。廣義動量：哈密頓正則方程推導(dǎo)例1求無主動力作用自由質(zhì)點的哈密頓函數(shù)。設(shè)質(zhì)點質(zhì)量m。反解廣義速度得：帶入哈密頓函數(shù)得：哈密頓正則方程推導(dǎo)這2N個一階微分方程稱為Hamilton正則方程。循環(huán)積分？可以直接看出來。廣義能量積分？L不顯含t，則H也不顯含t。哈密頓正則方程推導(dǎo)哈密頓正則方程首次積分循環(huán)積分：廣義能量積分：拉格朗日函數(shù)不顯含t時哈密頓函數(shù)也不顯含t，因此小車的車輪在水平地面上作純滾動，每個輪子的質(zhì)量為m1，半徑為r，車架質(zhì)量不計。車上有一質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，彈簧剛度系數(shù)為k，物塊質(zhì)量為m2，物塊與平板間的摩擦忽略不計。求哈密頓正則方程和首次積分。例2選取x和xr為廣義坐標(biāo)。解廣義動量為：反解廣義速度：哈密頓函數(shù)為：廣義動量守恒；廣義能量守恒；哈密頓函數(shù)本身是廣義能量。正則方程：劉維爾定理（Liouville'stheorem）哈密頓系統(tǒng)的運動過程中相體積保持不變。相空間（PhaseSpace）的概念：邊界里邊的相點能否跑出邊界？考察相空間相點的散度：哈密頓系統(tǒng)的相空間相當(dāng)于不可壓縮流體。劉維爾定理（Liouville'stheorem）哈密頓系統(tǒng)的運動中，沿著相軌跡，相點密度保持不變。例3：相體積演化過程彈簧振子單擺哈密頓原理哈密頓原理積分變分原理與微分變分原理：考慮理想、雙面、完整約束質(zhì)點系。哈密頓原理：質(zhì)點系約束為理想、雙面、完整；所有主動力為有勢力。則：哈密頓作用量的等時變分在正路上等于零。即：正路旁路因此，等時變分時d和δ可以交換。質(zhì)點在正路上r，則相同時刻在旁路上為：質(zhì)點在正路上，則相同時刻在旁路上為：定義哈密頓作用量：在兩個端點，變分滿足：如用廣義坐標(biāo)表示：正路旁路例4初速度為v0，角度α拋質(zhì)點m。分別計算正路與O到B直線勻速運動的哈密頓作用量。拋物線：直線：哈密頓原理與拉格朗日函數(shù)的等價性從拉格朗日方程推導(dǎo)哈密頓原理：哈密頓原理與拉格朗日函數(shù)的等價性從哈密頓原理推導(dǎo)拉格朗日方程：廣義坐標(biāo)變分獨立，例5：積分變分原理在近似計算中的應(yīng)用x(0)=0，x(1)=1，用近似法求質(zhì)點的運動方程。下面近似求解。用三段直線近似方程的解。設(shè)各段右邊x的值為：α1，α2，1，則例5例5也可用四段直線近似