第十八章平行四邊形18.2特殊的平行四邊形1．矩形的定義：（1）有一個角是直角的平行四邊形叫做__________，也稱為長方形．（2）矩形的定義有兩個要素：①四邊形是__________；②有一個角是__________．二者缺一不可．【注意】不要錯誤地把定義理解為有一個角是直角的四邊形是矩形，矩形是特殊的平行四邊形．2．矩形的性質(zhì)：（1）矩形是特殊的平行四邊形，具有平行四邊形的所有性質(zhì)，即對邊互相平行，對邊相等，對角相等，對角線互相平分．（2）矩形的性質(zhì)可綜述為：①矩形的對邊__________；②矩形的對角相等且四個角都是__________；③矩形的對角線__________；學(xué)-科網(wǎng)④矩形是__________，對邊中點所確定的直線是它的__________，矩形有__________對稱軸．（3）矩形的兩條對角線將矩形分成兩對全等的等腰三角形，因此在解決相關(guān)問題時，常常用到等腰三角形的性質(zhì)，并且分成的四個等腰三角形的面積相等．3．直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于__________．【注意】定理的條件有兩個：一是直角三角形；二是斜邊上的中線．4．矩形的判定：（1）有一個角是直角的__________是矩形；（2）有三個角是__________的四邊形是矩形；（3）對角線__________的四邊形是矩形．【注意】（1）判定矩形的常見思路（2）用定義判定一個四邊形是矩形必須滿足兩個條件：一是有一個角是直角；二是平行四邊形．也就是說，有一個角是直角的四邊形不一定是矩形，必須加上“平行四邊形”這個條件，它才是矩形．（3）用對角線判定一個四邊形是矩形，也必須滿足兩個條件：一是對角線；二是平行四邊形．也就是說，對角線相等的四邊形不一定是矩形，必須加上“平行四邊形”這個條件，它才是矩形．5．菱形的定義：（1）有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做__________．菱形必須滿足兩個條件：一是四邊形必須是平行四邊形；二是鄰邊相等．不要錯誤地認(rèn)為有一組鄰邊相等的四邊形是菱形．（2）菱形是除矩形外的又一種特殊的平行四邊形，即有一組鄰邊相等的平行四邊形．菱形的定義既是菱形的性質(zhì)，也是菱形的判定方法．6．菱形的性質(zhì)：（1）菱形具有平行四邊形的所有性質(zhì)．（2）菱形的四條邊都__________．學(xué)-科網(wǎng)（3）菱形的兩條對角線__________，并且每一條對角線__________一組對角．（4）菱形是軸對稱圖形，它的兩條對角線所在的直線即是它的對稱軸．【注意】菱形的兩條對角線不是對稱軸，對角線所在直線才是菱形的對稱軸．因為對稱軸是直線，對角線是線段．菱形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，菱形被兩條對角線所分得的四個直角三角形全等．（5）菱形的面積等于__________乘積的一半．7．菱形的判定：（1）一組鄰邊__________的平行四邊形是菱形．（2）對角線__________的平行四邊形是菱形．（3）四條邊__________的四邊形是菱形．（4）對角線__________的四邊形是菱形．【注意】上述菱形的判定方法中，（1）和（2）是以平行四邊形為基礎(chǔ)的，（3）和（4）是以四邊形為基礎(chǔ)的．8．正方形的定義：（1）有一組鄰邊__________并且有一個角是__________的平行四邊形叫做正方形．（2）正方形是在平行四邊形的前提下定義的，它包含兩層意思：①有一組鄰邊相等的平行四邊形（即菱形）；②并且有一個角是直角的平行四邊形（即矩形）．（3）正方形不僅是特殊的平行四邊形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．9．正方形的性質(zhì)：（1）正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)，特別地：①正方形的四個角都是__________，四條邊都__________；②正方形的兩條對角線__________并且互相__________，每條對角線__________一組對角．（2）正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，對角線與邊的夾角是45°；正方形的兩條對角線把它分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形，有四條對稱軸．10．正方形的判定：（1）根據(jù)正方形的定義；（2）有一組鄰邊相等的__________是正方形；（3）有一個角是直角的__________是正方形；（4）既是矩形又是菱形的四邊形是正方形．K知識參考答案：1．（1）矩形；（2）平行四邊形；直角2．（2）①平行且相等；②直角；③互相平分且相等；④軸對稱圖形；對稱軸；兩條3．斜邊的一半4．（1）平行四邊形；（2）直角；（3）相等5．（1）菱形6．（2）相等；（3）互相垂直；平分；（5）兩條對角線的7．（1）相等；（2）互相垂直；（3）都相等；（4）互相垂直平分8．（1）相等；直角 9．（1）①直角；相等；②相等；垂直平分；平分10．（2）矩形；（3）菱形K—重點矩形的性質(zhì)與判定；菱形的性質(zhì)與判定；正方形呃性質(zhì)與判定K—難點利用矩形的性質(zhì)進行證明和計算；矩形判定定理的證明及運用；正方形的性質(zhì)、判定的應(yīng)用方法K—易錯對矩形的判定方法的理解一、矩形的性質(zhì)1．有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形，即：矩形＝平行四邊形＋一個內(nèi)角是直角．2．矩形是特殊的平行四邊形，具有平行四邊形的所有性質(zhì)，即對邊互相平行，對邊相等，對角相等，對角線互相平分．【例1】如圖，在矩形ABCD中，，則BD的長為A．5 B．10 C．12 D．13【答案】B【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∠BOC=120°，∴AO=BO，∠AOB=60°，∴△AOB是等邊三角形，∴BO=AB=5，∴BD=2BO=10．故選B．二、矩形的判定1．定義法；2．對角線相等的平行四邊形是矩形；3．對角線平分且相等的四邊形是矩形；4．有三個角是直角的三角形是矩形．【例2】下列說法正確的是A．有一組對角是直角的四邊形一定是矩形B．有一組鄰角是直角的四邊形一定是矩形C．對角線互相平分的四邊形是矩形D．對角互補的平行四邊形是矩形【答案】D【解析】∵有一組對角是直角的四邊形不一定是矩形，∴選項A不正確；∵有一組鄰角是直角的四邊形不一定是矩形，∴選項B不正確；∵對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，∴選項C不正確；∵對角互補的平行四邊形一定是矩形，∴選項D正確；故選D．三、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)1．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；2．直角三角形斜邊上的中線把直角三角形分成兩個等腰三角形，這兩個等腰三角形的面積相等；【例3】已知直角三角形的兩直角邊長分別為5和12，則此直角三角形斜邊上的中線長為A． B．6 C．13 D．四、矩形中的折疊問題矩形折疊問題中，折疊前后的兩個圖形對應(yīng)邊相等，通常建立模型利用勾股定理進行求解．【例4】如圖，長方形紙片中，，，折疊紙片使邊與對角線重合，折痕為，則的長為A．1 B． C． D．2【答案】B【解析】如圖，設(shè)點A落在BD上的點A′處，連接GA′，∵≌，∴，．，在中，∵，，，∴，∴，設(shè)，在中，∵，∴，∴，，，解得：，∴AG=A′G=．故選B．五、菱形的性質(zhì)及應(yīng)用1．菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)．2．菱形的四條邊都相等，菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角．【例5】在菱形ABCD中，M，N分別是邊BC，CD上的點，且AM=AN=MN=AB，則∠C的度數(shù)為A．120° B．100°C．80° D．60°【答案】B六、菱形的面積菱形的面積=底×高=對角線乘積的一半．【例6】已知一個菱形的周長是，兩條對角線的比是4∶3，則這個菱形的面積是A． B． C． D．【答案】B【解析】∵菱形四邊相等，∴邊長為．∵兩邊對角線的比是4∶3，根據(jù)勾股定理，得對角線長為和．∴．故選B．七、菱形的判定菱形四種判定方法中，兩種是以平行四邊形為基礎(chǔ)的，另兩種是以四邊形為基礎(chǔ)的．【例7】如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,CB=CD,E是CD上一點，BE交AC于F，連接DF．（1）求證：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE；（2）若AB∥CD，試證明四邊形ABCD是菱形．【解析】（1）在△ABC和△ADC中，∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC=∠DAC，在△ABF和△ADF中，∵AB=AD，∠BAC=∠DAC，AF=AF，∴△ABF≌△ADF，∴∠AFB=∠AFD．∵∠CFE=∠AFB，∴∠AFD=∠CFE；（2）∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∵∠BAC=∠DAC，∴∠ACD=∠CAD，∴AD=CD，∵AB=AD，CB=CD，∴AB=CB=CD=AD，∴四邊形ABCD是菱形．八、正方形的性質(zhì)正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)，正方形的四個角都是直角，四條邊都相等，正方形的兩條對角線相等并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角．【例8】如圖，正方形ABCD滿足∠AEB=90°，AE=12，BE=16，則陰影部分的面積是A．400 B．192C．208 D．304【答案】D【解析】在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AE=12，BE=16，由勾股定理得：AB==20，則正方形ABCD的邊長為20，所以陰影部分的面積為20×20–×12×16=304，故選D．九、正方形的判定1．對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；2．對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形；3．對角線互相垂直的矩形是正方形；4．對角線相等的菱形是正方形．【例9】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC垂直平分線分別交BC，AB于D、E，過C作CF∥AB，交BC的垂直平分線于F，連接BF．（1）判定四邊形BECF的形狀，并證明；（2）當(dāng)∠A滿足什么條件時，四邊形BECF是正方形？證明你的結(jié)論．【解析】（1）四邊形BECF是菱形，∵EF是BC垂直平分線，∴FB=FC，EB=EC，∴∠EBC=∠ECB，∵CF∥AB，∴∠FCB=∠EBC，∴∠FCB=∠ECB，在△FCD和△ECD中，，∴△FCD≌△ECD，∴CF=CE，∴FB=FC=CE=BE，∴四邊形BECF是菱形．（2）當(dāng)∠A=45°時，四邊形BECF是正方形，∵∠ACB=90°，EF是BC垂直平分線，∴EF∥AC，∴∠FEB=∠A=45°，∵四邊形BECF是菱形，∴∠FEB=∠FEC=45°，∴∠BEC=90°，∴四邊形BECF是正方形．1．下列條件中，能判定一個四邊形為菱形的條件是A．對角線互相平分的四邊形 B．對角線互相垂直且平分的四邊形C．對角線相等的四邊形 D．對角線相等且互相垂直的四邊形2．菱形的對角線長分別為3和4，則該菱形的面積是A．6 B．8 C．12 D．243．在四邊形中，能判定這個四邊形是正方形的條件是A．對角線相等，對邊平行且相等B．一組對邊平行，一組對角相等C．對角線互相平分且相等，對角線互相垂直D．一組鄰邊相等，對角線互相平分4．如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，∠ADB=30°，AB=4，則OC=A．5 B．4 C．3.5 D．35．如圖，已知在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AE⊥BD于點E，若∠DAE∶∠BAE=3∶1，則∠EAC的度數(shù)是A．18° B．36°C．45° D．72°6．在一個直角三角形中，已知兩直角邊分別為6cm，8cm，則下列結(jié)論不正確的是A．斜邊長為10cm B．周長為25cmC．面積為24cm2 D．斜邊上的中線長為5cm7．在四邊形ABCD中，對角線互相平分，若添加一個條件使得四邊形ABCD是矩形，則這個條件可以是A． B． C． D．8．如圖，在長方形ABCD中，AB=3，BC=4，若沿折痕EF折疊，使點C與點A重合，則折痕EF的長為A． B． C． D．159．如圖，菱形ABCD的對角線交于點O，AC=8cm，BD=6cm，則菱形的高為A．cm B．cm C．cm D．cm10．如圖，在菱形ABCD中，P、Q分別是AD、AC的中點，如果PQ=3，那么菱形ABCD的周長是A．30 B．24 C．18 D．611．在菱形ABCD中，AE⊥BC于點E，AF⊥CD于點F，且E、F分別為BC、CD的中點，則∠EAF等于A．60° B．55° C．45° D．30°12．如圖，四邊形ABCD是正方形，以CD為邊作等邊三角形CDE，BE與AC相交于點M，則∠AMD的度數(shù)是A．75° B．60° C．54° D．67.5°_________．14．如圖是一個平行四邊形，當(dāng)∠α的度數(shù)為________度時，兩條對角線長度相等．15．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，點E、F分別是AO、AD的中點，若AB=6cm，BC=8cm，則△AEF的周長為________cm．16．如圖，在菱形ABCD中，AB=4，線段AD的垂直平分線交AC于點N，△CND的周長是10，則AC的長為__________．17．如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠ABC=45°，則點D的坐標(biāo)為__________．18．如圖，等邊三角形在正方形內(nèi)，連接，則__________．19．已知菱形ABCD中，對角線AC=16cm，BD=12cm，BE⊥DC于點E，求菱形ABCD的面積和BE的長．20．如圖，已知四邊形ABCD是正方形，延長BC到E，在CD上截取CF=CE，BF交DE于G，求證：BG⊥DE．21．已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，點E是AC的中點．（1）求證：△BED是等腰三角形：學(xué)-科網(wǎng)（2）當(dāng)∠BCD=________°時，△BED是等邊三角形．22．如圖，四邊形中，，，，是邊的中點，連接延長與的延長線相交于點，連接．（）求證：四邊形是平行四邊形．（）已知，求四邊形的面積．23．如圖，在矩形ABCD中，AD=12，AB=7，DF平分∠ADC，AF⊥EF．（1）求證：AF=EF；（2）求EF長．24．如圖，在矩形ABCD中，M，N分別是邊AD，BC的中點，E，F(xiàn)分別是線段BM，CM的中點．（1）求證：△ABM≌△DCM；（2）當(dāng)AB∶AD=__________時，四邊形MENF是正方形，并說明理由．25．如圖，矩形ABCD沿著AE折疊，使D點落在BC邊上的F點處，如果，則等于A．15° B．30° C．45° D．60°26．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC邊上的高，E、F分別是AB、AC邊的中點，若AB=8，AC=6，則△DEF的周長為A．12 B．13 C．14 D．1527．如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD相交于點O，DH⊥AB于H，連接OH，∠DHO=20°，則∠CAD的度數(shù)是A．20° B．25° C．30° D．40°28．如圖，以A點為圓心，以相同的長為半徑作弧，分別與射線AM，AN交于B，C兩點，連接BC，再分別以B，C為圓心，以相同長（大于BC）為半徑作弧，兩弧相交于點D，連接AD，BD，CD．則下列結(jié)論錯誤的是A．AD平分∠MAN B．AD垂直平分BCC．∠MBD=∠NCD D．四邊形ACDB一定是菱形29．如圖，正方形ABCD的邊長為9，將正方形折疊，使頂點D落在BC邊上的點E處，折痕為GH，若BE∶EC=2∶1，則線段CH的長是A．3 B．4 C．5 D．630．如圖，正方形ABCD的面積為1，則以相鄰兩邊中點連線EF為邊正方形EFGH的周長為A． B．2 C．+1 D．2+131．如圖，在矩形ABCD中，E是AB邊上的中點，將△BCE沿CE翻折得到△FCE，連接AF．若∠EAF=75°，那么∠BCF的度數(shù)為__________．32．如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，E為BC上一點，CE=5，F(xiàn)為DE的中點．若△CEF的周長為18，則OF的長為____________．33．如圖，點P是正方形ABCD的對角線BD上一點，PE⊥BC于點E，PF⊥CD于點F，連接EF.給出下列五個結(jié)論：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=EC．其中正確結(jié)論的序號是____________．34．如圖，正方形ABCD中，AB=，點E、F分別在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°．（1）求證：DF+BE=EF；（2）求∠EFC的度數(shù)；（3）求△AEF的面積．35．如圖1，四邊形ABCD是平行四邊形，BD是它的一條對角線，過頂點A、C分別作AM⊥BD，CN⊥BD，M，N為垂足．（1）求證：AM=CN；（2）如圖2，在對角線DB的延長線及反向延長線上分別取點E，F(xiàn)，使BE=DF，連接AE、CF，試探究：當(dāng)EF滿足什么條件時，四邊形AECF是矩形？并加以證明．36．（2018·浙江臺州）下列命題正確的是A．對角線相等的四邊形是平行四邊形B．對角線相等的四邊形是矩形C．對角線互相垂直的平行四邊形是菱形D．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形37．（2018·江蘇淮安）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD的長分別為6和8，則這個菱形的周長是A．20 B．24 C．40 D．4838．（2018·山東煙臺）對角線長分別為6和8的菱形ABCD如圖所示，點O為對角線的交點，過點O折疊菱形，使B，B′兩點重合，MN是折痕．若B'M=1，則CN的長為A．7 B．6 C．5 D．439．（2018·四川內(nèi)江）如圖，將矩形ABCD沿對角線BD折疊，點C落在點E處，BE交AD于點F，已知∠BDC=62°，則∠DFE的度數(shù)為A．31° B．28° C．62° D．56°40．（2018·湖北宜昌）如圖，正方形ABCD的邊長為1，點E，F(xiàn)分別是對角線AC上的兩點，EG⊥AB．EI⊥AD，F(xiàn)H⊥AB，F(xiàn)J⊥AD，垂足分別為G，I，H，J．則圖中陰影部分的面積等于A．1 B． C． D．41．（2018·黑龍江牡丹江）如圖，E為矩形ABCD的邊AB上一點，將矩形沿CE折疊，使點B恰好落在ED上的點F處，若BE=1，BC=3，則CD的長為A．6 B．5 C．4 D．342．（2018·廣西貴港）如圖，在菱形ABCD中，AC=6，BD=6，E是BC邊的中點，P，M分別是AC，AB上的動點，連接PE，PM，則PE+PM的最小值是A．6 B．3 C．2 D．4.543．（2018·湖南湘潭）如圖，已知點E、F、G．H分別是菱形ABCD各邊的中點，則四邊形EFGH是A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四邊形44．（2018·浙江嘉興）用尺規(guī)在一個平行四邊形內(nèi)作菱形，下列作法中錯誤的是A． B．C． D．45．（2018·四川甘孜州）如圖，在菱形中，對角線與相交于點于點，交于點，則的長為__________．46．（2018·遼寧錦州）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點A作AH⊥BC于點H，連接OH.若OB=4，S菱形ABCD=24，則OH的長為__________．47．（2018·四川攀枝花）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形內(nèi)部有一動點P滿足S△PAB=S矩形ABCD，則點P到A、B兩點的距離之和PA+PB的最小值為__________．48．（2018·遼寧葫蘆島）如圖，在菱形OABC中，點B在x軸上，點A的標(biāo)為（2，3），則點C的坐標(biāo)為__________．49．（2018·四川廣安）如圖，四邊形ABCD是正方形，M為BC上一點，連接AM，延長AD至點E，使得AE=AM，過點E作EF⊥AM，垂足為F，求證：AB=EF．50．（2018·湖南郴州）如圖，在ABCD中，作對角線BD的垂直平分線EF，垂足為O，分別交AD，BC于E，F(xiàn)，連接BE，DF．求證：四邊形BFDE是菱形．51．（2018·遼寧沈陽）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD交于點O．過點C作BD的平行線，過點D作AC的平行線，兩直線相交于點E．（1）求證：四邊形OCED是矩形；（2）若CE=1，DE=2，ABCD的面積是__________．1．【答案】B【解析】A選項中，根據(jù)“對角線互相平分”只能判定該四邊形是平行四邊形；B選項中，根據(jù)“對角線互相垂直平分”能判定該四邊形是菱形；C選項中，根據(jù)“對角線相等”不能判定該四邊形是菱形；D選項中，根據(jù)“對角線相等且互相垂直”不能判定該四邊形是菱形．故選B．4．【答案】B【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC，∠BAD=90°，∴AC=BD=2AB=8，∴OC=AC=4．故選B．5．【答案】C【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，OA=AC，OB=BD，AC=BD，∴OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∵∠DAE∶∠BAE=3∶1，∴∠BAE=×90°=22.5°，∵AE⊥BD，∴∠AEB=90°，∴∠OAB=∠OBA=90°–22.5°=67.5°，∴∠EAC=67.5°–22.5°=45°．故選C．6．【答案】B【解析】∵在一個直角三角形中，已知兩直角邊分別為6cm，8cm，∴直角三角形的面積=×6×8=24（cm2），故選項C不符合題意；∴斜邊故選項A不符合題意；∴斜邊上的中線長為5cm，故選項D不符合題意；∵三邊長分別為6cm，8cm，10cm，∴三角形的周長=24cm，故選項B符合題意，故選B．8．【答案】B【解析】如圖，連接AF．根據(jù)折疊的性質(zhì)，得EF垂直平分AC，則設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理，得，解得．在中，根據(jù)勾股定理，得AC=5，則AO=2.5．在中，根據(jù)勾股定理，得根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可以證明則故選B．9．【答案】B【解析】∵菱形ABCD的對角線∴AC⊥BD，OA=AC=4cm，OB=BD=3cm，根據(jù)勾股定理，（cm）．設(shè)菱形的高為h，則菱形的面積，即，解得，即菱形的高為cm．故選B．10．【答案】B【解析】∵P、Q分別是AD、AC的中點，∴PQ是△ADC的中位線，∴DC=2PQ=6．又∵在菱形ABCD中，AB=BC=AD=CD，∴C菱形ABCD=6+6+6+6=24．故選B．11．【答案】A【解析】如圖，連接AC，∵AE⊥BC于點E，AF⊥CD于點F，且E、F分別為BC、CD的中點，∴AB=AC，AD=AC．又∵在菱形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∴AB=BC=CD=AD=AC．∴△ABC和△ADC都是等邊三角形．∴∠BAC=∠DAC=60°，∴∠EAC=∠BAC=30°，∠FAC=∠DAC=30°，∴∠EAF=∠EAC+∠FAC=60°．故選A．12．【答案】B【解析】如圖，連接BD，由已知條件可得；∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°，BC=EC，∴∠EBC=∠BEC=（180°–∠BCE）=15°，∵∠BCM=∠BCD=45°，∴∠BMC=180°–（∠BCM+∠EBC）=120°，∴∠AMB=180°–∠BMC=60°，∵正方形ABCD是關(guān)于AC對稱的，M在AC上，∴BM=DM，∴∠AMD=∠AMB=60°，故選B．13．【答案】2【解析】∵AE平分∠BAD交BC邊于點E，∴∠BAE=∠EAD，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC=5，∴∠DAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=3，∴EC=BC–BE=5–3=2，故答案為：2．14．【答案】90【解析】設(shè)∠α的度數(shù)為m度時，該平行四邊形的兩條對角線長度相等.∵對角線相等的平行四邊形是矩形，∴當(dāng)∠α的度數(shù)為m度時，該平行四邊形應(yīng)為矩形，∵該平行四邊形為矩形，∴∠α的度數(shù)應(yīng)為90°，∴m=90．故答案為：90．15．【答案】9【解析】由勾股定理得，AC===10（cm），∵四邊形ABCD是矩形，∴OA=OD=AC=×10=5（cm），∵點E、F分別是AO、AD的中點，∴EF=OD=cm，AF=×8=4（cm），AE=OA=cm，∴△AEF的周長=+4+=9（cm）．故答案為：9．16．【答案】6【解析】∵菱形ABCD中，AB=4，AD的垂直平分線交AC于點N，∴CD=AB=4，AN=DN，∵△CDN的周長=CN+CD+DN=10，∴CN+4+AN=10，∴CN+AN=AC=6．故答案為：6．17．【答案】（2+，）【解析】過點D作DE⊥x軸，垂足為E．在中，，∴，∴，∴點D坐標(biāo)為，故答案為：．18．【答案】15°【解析】∵△是正三角形，∴．又∵正方形，∴，，∴，∴，∴．故答案為：15°．19．【解析】如圖，∵菱形ABCD的對角線相交于點O，AC=16cm，BD=12cm，∴AC⊥BD于點O，CO=8cm，DO=6cm，S菱形=（cm2），∴CD=（cm），∵BE⊥CD于點E，∴BE·CD=96，即10BE=96，∴BE=（cm）．20．【解析】BC=CD，∠BCF=∠DCE=90°，CF=CE，∴△BCF≌△DCE，∴∠FBC=∠EDC.又∵∠BFC=∠DFG，∴∠DGF=∠BCF=90°，即BG⊥DE．22．【解析】（）∵，∴，∴，又∵，，∴≌，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形．（）如圖，過作于，∴∠DHB=∠A=∠ABH=90°，∴四邊形ADHB是矩形，∴，∵，∴，在中，∵，∴，∴．23．【解析】（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=∠ADC=90°，AB=DC=7，BC=AD=12，∴∠BAF+∠AFB=90°，∵DF平分∠ADC，∴∠ADF=∠CDF=45°，∴△DCF是等腰直角三角形，∴FC=DC=7，∴AB=FC，∵AF⊥EF，∴∠AFE=90°，∴∠AFB+∠EFC=90°，∴∠BAF=∠EFC，在△ABF和△FCE中，，∴△ABF≌△FCE（ASA），∴EF=AF；（2）BF=BC–FC=12–7=5，在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF=，則EF=AF=．24．【解析】（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠A=∠D=90°.∵M為AD的中點，∴AM=MD，∴△ABM≌△DCM.（2）1∶2，理由：∵AB∶AD=1∶2，∴AB=AD．∵AM=AD，∴AB=AM，∴∠ABM=∠AMB．∵∠A=90°，∴∠AMB=45°.∵△ABM≌△DCM，∴BM=CM，∠DMC=∠AMB=45°，∴∠BMC=90°.∵E，F(xiàn)，N分別是BM，CM，BC的中點，∴EN∥CM，F(xiàn)N∥BM，EM=MF，∴四邊形MENF是菱形．∵∠BMC=90°，∴菱形MENF是正方形．25．【答案】A【解析】因為∠EAF是△DAE沿AE折疊而得，所以∠EAF=∠DAE．又因為在矩形中即又所以故選A．26．【答案】A【解析】在△ABC中，由勾股定理可得：AD是BC邊上的高，E、F分別是AB、AC邊的中點，則：的周長為：．故選A．27．【答案】A【解析】∵四邊形ABCD是菱形，∴OB=OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴OH=OB=BD，∵∠DHO=20°，∴∠OHB=90°–∠DHO=70°，∴∠ABD=∠OHB=70°，∴∠CAD=∠CAB=90°–∠ABD=20°．故選A．28．【答案】D【解析】A、由作法可得AD平分∠MAN，所以A選項的結(jié)論正確；B、因為AB=AC，DB=DC，所以AD垂直平分BC，所以B選項的結(jié)論正確；C、因為AB=AC，DB=DC，所以∠ABC=∠ACB，∠DBC=∠DCB，則∠ABD=∠ACD，所以∠MBD=∠NCD，所以C選項的結(jié)論正確；D、BA不一定等于BD，所以四邊形ABDC不一定是菱形，所以D選項的結(jié)論錯誤．故選D．29．【答案】B【解析】設(shè)CH=x，因為BE∶EC=2∶1，BC=9，所以，EC=3，由折疊知，EH=DH=9–x，在Rt△ECH中，由勾股定理，得：，解得：x=4，即CH=4．故選B．30．【答案】B【解析】如圖，連接BD，∵正方形的面積為1，∴其邊長為1，∴在中，由勾股定理得，∵點分別為和的中點，又∵四邊形是正方形，∴正方形的周長為．故選B．31．【答案】30°【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∵E為邊AB的中點，∴AE=BE，由折疊的性質(zhì)可得：∠EFC=∠B=90°，∠FEC=∠CEB，∠FCE=∠BCE，F(xiàn)E=BE，∴AE=FE，∴∠EFA=∠EAF=75°，∴∠BEF=∠EAF+∠EFA=150°，∴∠CEB=∠FEC=75°，∴∠FCE=∠BCE=90°–75°=15°，∴∠BCF=30°，故答案為：30°．32．【答案】3.5【解析】∵CE=5，△CEF的周長為18，∴CF+EF=18–5=13．∵F為DE的中點，∴DF=EF．∵∠BCD=90°，∴CF=DE，∴EF=CF=DE=6.5，∴DE=2EF=13，∴CD==12．∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=CD=12，O為BD的中點，∴OF是△BDE的中位線，∴OF=（BC–CE）=×（12–5）=3.5．故答案為：3.5．33．【答案】①②④⑤【解析】如圖，連接PC，（1）∵PE⊥BC于點E，PF⊥CD于點F，∠C=90°可得四邊形PECF是矩形，∴CP=EF，∵正方形ABCD關(guān)于BD對稱，點P在BD上，∴AP=CP，∴AP=EF，故①正確；（2）延長AP交EF于點H，過點P作PM⊥AB于點M，則由已知易得PM=PE，∠PMA=∠EPF=90°，結(jié)合AP=EF，可得△APM≌△FEP，∴∠EFP=∠PAM，∵∠PAM+∠APM=90°，∠APM=∠FPH，∴∠FPH+∠EFP=90°，∴∠PHF=90°，∴AP⊥EF，即②正確；（3）∵當(dāng)點P在BD上不同的位置時，△APD的形狀不一樣，∴△APD不一定是等腰三角形，故③錯誤；（4）由（2）可知△APM≌△FEP,∴∠BAP=∠PFE，故④正確；（5）如圖，由已知易得∠BDF=45°，∠DFP=90°，∴PD=PF，又∵PF=CE，∴PD=CE，故⑤正確.綜上所述，上述5個結(jié)論中，正確的是①②④⑤．故答案為：①②④⑤．34．【解析】（1）如圖，延長EB至G，使BG=DF，連接AG，∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠ABG=∠ADF=∠BAD=90°，∵BG=DF，∴△ABG≌△ADF，∴AG=AF，∵∠BAE=30°，∠DAF=15°，∴∠FAE=∠GAE=45°，∵AE=AE，∴△FAE≌△GAE，∴EF=EG=GB+BE=DF+BE；（2）∵在△ADF中，∠D=90°，∠DAF=15°，∴∠AFD=90°–15°=75°，∵△ABG≌△ADF，△AGE≌△AFE，∴∠AFE=∠AGE=∠AFD=75°，∴∠EFC=180°–∠DFA–∠AFE=180°–75°–75°=30°；（3）∵AB=BC=，∠BAE=30°，∴BE=1，CE=–1，∵∠EFC=30°，∴CF=3–，∴S△CEF=CE?CF=2–3，由（1）知，△ABG≌△ADF，△FAE≌△GAE，∴S△AEF=S正方形ABCD–S△ADF–S△AEB–S△CEF=S正方形ABCD–S△AEF–S△CEF，∴S△AEF=（S正方形ABCD–S△CEF）=．35．【解析】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AD∥BC，∠ADM=∠CBN．∵AM⊥BD，CN⊥BD，∴∠AMD=∠CNB=90°，在△AMD和△CNB中，，∴△AMD≌△CNB．∴AM=CN．（2）猜想：當(dāng)EF=AC時，四邊形AECF是矩形．證明：由（1）得△AMD≌△CNB，∴DM=BN．∵BE=DF，∴DM+DF=BN+BE，即MF=NE．在△AMF和△CNE中，，∴△AMF≌△CNE．∴AF=CE，∠AFE=∠CEF．∴AF∥CE且AF=CE．即四邊形AECF是平行四邊形．又EF=AC，∴四邊形AECF是矩形．36．【答案】C【解析】對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，A錯誤；對角線相等的平行四邊形是矩形，B錯誤；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，C正確；對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形，故選C．37．【答案】A【解析】由菱形對角線性質(zhì)知，AO=AC=3，BO=BD=4，且AO⊥BO，則AB==5，故這個菱形的周長L=4AB=20．故選A．38．【答案】D【解析】連接AC、BD，如圖，∵點O為菱形ABCD的對角線的交點，∴OC=AC=3，OD=BD=4，∠COD=90°，在Rt△COD中，CD==5，∵AB∥CD，∴∠MBO=∠NDO，在△OBM和△ODN中，，∴△OBM≌△ODN，∴DN=BM，∵過點O折疊菱形，使B，B′兩點重合，MN是折痕，∴BM=B'M=1，∴DN=1，∴CN=CD﹣DN=5﹣1=4．故選D．41．【答案】B【解析】由題意得：E為矩形ABCD的邊AB上一點，將矩形沿CE折疊，使點B恰好落在ED上的點F處，可得BE=EF=1，CF=BC=3，∠EFC=∠B=，∵ABCD為矩形，可得∠AED=∠CDF，在△AED與△FDC中有AD=CF，∠A=∠D