第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年陜西省漢中中學高一（下）期末考試數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知i是虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足z?i=1+i，則z=(

)A.1+i B.1?i C.?1+i D.?1?i2.已知角α終邊與單位圓交于點P(35,?4A.sinα=?35 B.sinα=35 C.3.已知向量a，b不共線，λa+b與3a+2bA.32 B.2 C.6 D.4.已知ABCD?A1B1C1D1為正方體，E、F分別為AB、BA.30°

B.45°

C.60°

D.90°5.已知單位向量a，b滿足(2a?b)⊥b，則a與A.π6 B.π3 C.π26.將函數(shù)y=sin(2x+π6)的圖象向左平移A.y=sin(2x+π4) B.y=sin7.如圖，已知球O是棱長為1

的正方體ABCD?A1B1C1D1A.66π

B.π3

C.π8.為了培養(yǎng)學生的數(shù)學建模能力，某校成立“不忘初心”學習興趣小組.今欲測量學校附近洵江河岸的一座“使命塔”的高度AB，如圖所示，可以選取與該塔底B在同一水平面內的兩個測量基點C與D，現(xiàn)測得∠BCD=15°，∠BDC=135°，CD=20m，在點C測得“使命塔”塔頂A的仰角為60°，則“使命塔”高AB=(

)A.30m B.20C.20D.20二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.如圖，在四面體ABCD中，點P，Q，M，N分別是棱AB，BC，CD，AD的中點，截面PQMN是正方形，則下列結論正確的為(

)A.AC//截面PQMN

B.異面直線PM與BD所成的角為60°

C.AC⊥BD

D.BD⊥平面ACD10.已知向量a=(2,?3),b=(m?1,m)，則A.若a//b，則m=?35

B.若a⊥b，則m=?2

C.若|a|=|b|，則m=?2或311.若函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分圖象如圖所示，則A.ω=2

B.φ=?π6

C.f(x)在(π2,三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a=(1,0)，b=(1,1)，則|2a13.若cos(π4+x)=3514.如圖，點D、E分別是直角三角形ABC的邊AB、AC上的點，斜邊AC與扇形的弧DE相切，已知AC=4，BC=2，則陰影部分繞直線AB旋轉一周所形成的幾何體的體積為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知θ∈(0,π2)，且cos(θ+π4)=35．

(1)求16.(本小題15分)

如圖，在邊長為4的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點E在DD1上.

(1)當E是DD1中點時，證明：BD117.(本小題15分)

如圖，四棱錐P?ABCD的底面是菱形，PO⊥底面ABCD，O、E分別是AD、AB的中點，AB=6，AP=5，∠BAD=60°．

(1)求證：BO⊥平面PAD；

(2)求證：平面PAC⊥平面POE．18.(本小題17分)

在△ABC中，a，b，c分別是三內角A，B，C的對邊，且(2a?c)cosB?bcosC=0．

(1)求角B的值；

(2)若b=3，設角A的大小為x，△ABC的周長為y，求y=f(x)的最大值．19.(本小題17分)

我們把由平面內夾角成π3的兩條數(shù)軸Ox，Oy構成的坐標系稱為“廣義坐標系”.如圖1，e1,e2分別為Ox，Oy正方向上的單位向量.若向量OP=xe1+ye2，則把實數(shù)對(x,y)叫作向量OP的“廣義坐標”，記OP=(x,y).已知向量a,b的“廣義坐標”分別為(2,1)，(?1,2)．

(1)求2a+b的“廣義坐標”；

(2)求向量a與b

答案解析1.【答案】B

【解析】解：由z?i=1+i，得z=1+ii=(1+i)(?i)?i22.【答案】D

【解析】解：設P(35,?45)，可得|OP|=r=925+1625=1，

所以sinα=yr=?43.【答案】A

【解析】解：由題意，設λa+b=t(3a+2b)，

又向量a，b不共線，

則有λ=3t1=2t，解得λ=324.【答案】B

【解析】解：如圖，設正方體的棱長為1，取BD中點O，連結OE，OF，AD1，

∴OF/?/AD，EF/?/AD1，

又∵AD⊥AB，∴OF⊥AB，

∵AB⊥平面ADD1A1，AD1?平面ADD1A1，∴AB⊥AD1，

又∵EF//AD1，5.【答案】B

【解析】解：∵|a|=|b|=1，(2a?b)⊥b，

∴(2a?b)?b=2a?b?b2=2cos<a,b>?1=0，

∴6.【答案】B

【解析】解：將函數(shù)y=sin(2x+π6)的圖象向左平移π12個單位長度后，

所得圖象對應的函數(shù)解析式為y=sin(2x+7.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意知，平面ACD1是邊長為2的正三角形，

且球與以點D為公共點的三個面的切點恰為三角形ACD1三邊的中點，

故所求截面的面積是該正三角形的內切圓的面積，

則由圖得，△ACD1內切圓的半徑是22×tan30°=66，

8.【答案】B

【解析】解：在△BCD中，∠BCD=15°，∠BDC=135°，可得∠CBD=30°，

由正弦定理得：CDsin∠CBD=BCsin∠CDB，則20sin30°=BCsin135°，

可得：BC=40×22=202，

在直角△ABC中，9.【答案】AC

【解析】解：對于選項A：因為點P，Q分別是棱AB，BC的中點，所以PQ//AC，

因為PQ?平面PQMN，AC?平面PQMN，所以AC/?/截面PQMN，故A正確；

對于選項B：因為點Q，M分別是棱BC，CD的中點，所以MQ/?/BD，

所以∠PMQ為異面直線PM與BD所成的角，

因為截面PQMN是正方形，所以∠PMQ=45°，

即異面直線PM與BD所成的角為45°，故B錯誤；

對于選項C：因為截面PQMN是正方形，所以MN⊥QM，

又因為點P，Q，M，N分別是棱AB，BC，CD，AD的中點，

所以MN//AC，QM/?/BD，所以AC⊥BD，故C正確；

對于選項D：若要使BD⊥平面ACD，則需要BD⊥AC，BD⊥DC，

但由題意知BD⊥DC不一定成立，故D錯誤．

故選：AC．

對于選項A：利用線面平行的判定定理即可判斷出A的真假；對于選項B：結合題意可得∠PMQ為異面直線PM與BD所成的角，借助截面PQMN是正方形求解即可判斷B的真假；對于選項C：結合題意利用MN//AC，QM/?/BD，并借助截面PQMN是正方形即可判斷出C的真假；對于選項D：利用分析法并借助線面垂直的性質可得到BD⊥DC不一定成立，即可判斷出D的真假．

本題考查線面平行的證法及線面所成的角的求法屬于中檔題．10.【答案】BC

【解析】解：向量a=(2,?3),b=(m?1,m)，

對于A，若a/?/b，有?3(m?1)=2m，可得m=35，故A錯誤；

對于B，若a⊥b，有a?b=2(m?1)?3m=?m?2=0，可得m=?2，故B正確；

對于C，由|a|=|b|，有(m?1)2+m2=13，解得m=?2或3，故C正確；

對于D，若m=12，結合向量a=(2,?3),b=(m?1,m)，

可得：b=(?1211.【答案】ACD

【解析】解：由題意得A=2，最小正周期T=4×(5π12?π6)=π=2πω，所以ω=2，故A正確；

則f(x)=2sin(2x+φ)，又f(x)的圖象過點(π6,0)，所以2×π6+φ=2kπ(k∈Z)．

因為|φ|<π2，所以φ=?π3，故B錯誤；

f(x)=2sin(2x?π3)，令t=2x?π3，

12.【答案】10【解析】解：因為a=(1,0)，b=(1,1)，所以2a+b=(3,1)，

所以|2a+b13.【答案】?【解析】解：由π<x<74π，得5π4<x+π4<2π，

又因為cos(π4+x)=35，所以sin(π4+x)=?45，

14.【答案】2【解析】解：由題意可知，AB=42?22=23，

設扇形的半徑為r，則r=2×234=3，

15.【答案】7210；

【解析】(1)因為θ∈(0,π2)，所以θ+π4∈(π4,3π4)，

因為cos(θ+π4)=35，所以sin(θ+π4)=1?(35)2=45，

所以cosθ=cos[(θ+π4)?π4]=16.【答案】證明見解析；

24+83【解析】(1)如圖，連結BD交AC于點O，因為E是DD1中點，

所以BD1/?/OE，

又因為OE?平面AEC，BD1?平面AEC，

所以BD1//平面AEC．

(2)當E與D1重合時，三棱錐D?ACE即三棱錐D?ACD1，

則在邊長為4的正方體ABCD?A1B1C1D1中，

△ACD1是邊長為42的正三角形，17.【答案】證明見解析；

證明見解析．

【解析】證明：(1)∵底面ABCD是菱形，連接BO，BD，

∵∠BAD=60°，

∴△ABD是正三角形，∵PO⊥底面ABCD，BO?平面ABCD，

∴BO⊥PO，又∵O是AD的中點，∴BO⊥AD，

而PO∩AD=O，PO，AD?平面PAD，

∴BO⊥平面PAD；

(2)連接AC，由菱形ABCD，得AC⊥BD，由E是AB的中點，

得OE/?/BD，則AC⊥OE，

∴PO⊥底面ABCD，AC?底面ABC，

得AC⊥PO，

又∵PO∩OE=O，PO，OE?平面POE，

∴AC⊥平面POE，又∵AC?平面PAC，

∴平面PAC⊥平面POE．

(1)根據(jù)給定條件，利用線面垂直的性質、判定可得答案；

(2)利用線面垂直的性質、判定，結合面面垂直的判定可得答案．

本題考查線面與面面垂直的判定，屬于基礎題．18.【答案】(1)由(2a?c)cosB?bcosC=0，得(2sinA?sinC)cosB?cosBcosC=0．

化簡：cosB=12，∴B=π3．

(2)由正弦定理asinA=csinC=332【解析】(1)由(2a?c)cosB?bcosC=0，利用正弦定理求得cosB=12，可得B=π3．

(2)由正弦定理求得a=2sinx，c=2sin(2π3?x)，化簡函數(shù)y19.【答案】(3,4)；

2114；

(2,4)【解析】(1)根據(jù)題意，