第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年寧夏吳忠中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)i是虛數(shù)單位，集合A中的元素由復(fù)數(shù)3?5i的實(shí)部和虛部組成，集合B={1,3,5}，則A∩B=(

)A.{3,5} B.{3,?5} C.{3} D.{5}2.已知A(3,1)，B(4,3)，C(x,7)三點(diǎn)共線，則x=(

)A.10 B.8 C.7 D.63.已知事件A與B相互獨(dú)立，P(A)=0.3，P(B)=0.4，則P(A∪B)=(

)A.0.58 B.0.12 C.0.7 D.0.884.已知圓錐的底面半徑為3，高為4，則該圓錐的表面積為(

)A.9π B.12π C.16π D.24π5.先后兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，得到的點(diǎn)數(shù)分別為m，n，設(shè)平面向量a=(1,2)，b=(m,?n)，則“a?bA.16 B.14 C.136.已知a，b，c表示不同的直線，α，β表示不同的平面，下面四個命題錯誤的有(

)A.若α//β，a?α，則a//βB.若α∩β=a，b?α，c?β，b//c，則a//b

C.若a//β，b?β，則a//bD.a⊥β，b?β，則a⊥b7.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AD，CA.33 B.63 C.8.已知點(diǎn)O是△ABC內(nèi)部的一點(diǎn)，且滿足OA+OB+OC=0A.53 B.32 C.2 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.在一個密閉的盒子中放有大小和形狀都相同，編號分別為1，2，3，4的4張卡牌，現(xiàn)從中依次不放回摸出兩張卡牌，記事件A=“第一次摸出的卡牌的編號為奇數(shù)”，事件B=“摸出的兩張卡牌的編號之和為5”，事件C=“摸出的兩張卡牌的編號之和為6”，則(

)A.事件B與事件C為互斥事件 B.P(C)=13

C.事件A與事件B相互獨(dú)立 10.下列說法中正確的為(

)A.已知a=(1,2)，b=(1,1)，且a與a+λb夾角為銳角，則λ∈(?53,+∞)

B.若A=π3，且ccosB+bcosC=a2，則△ABC外接圓半徑33

11.對非零向量a=(x,y)，定義變換F(a)=(x+y,x?y)，得到一個新的向量，關(guān)于該變化，下列說法正確的是A.?λ∈R,F(λa)=λF(a)

B.若a//b，則F(a)//F(b)

C.設(shè)A(?2,4)，B(2,?2)，C為線段AB的中點(diǎn)，則F(BC)=(?1,5)

D.設(shè)A(a,?1)(a>0)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.五個數(shù)1，2，3，4，x的平均數(shù)是3，則這五個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差是______．13.已知a、b滿足|a|=4,a?b=6，若a在14.如圖，直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC⊥BC，AC=7，BC=3，點(diǎn)P在棱BB四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA=PC，四邊形ABCD是正方形，E是PD的中點(diǎn)．

(1)證明：PB//平面ACE．

(2)證明：平面PBD⊥平面ACE．16.(本小題12分)

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足2c=3a+2bcosA．

(Ⅰ)求角B；

(Ⅱ)若cosA=14，求sin(2A+B)的值；

(Ⅲ)若c=7，17.(本小題12分)

某市為了解人們對火災(zāi)危害的認(rèn)知程度，針對本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次消防知識競賽，滿分為100分(95分及以上為認(rèn)知程度高)，結(jié)果認(rèn)知程度高的有m人，將這m人按年齡分成5組，其中第一組為[20,25)，第二組為[25,30)，第三組為[30,35)，第四組為[35,40)，第五組為[40,45)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求圖中a的值；

(2)利用頻率分布直方圖，估計(jì)這m名市民年齡的平均數(shù)x?和第74百分位數(shù)y；

(3)現(xiàn)從第三、四、五組中采用分層抽樣的方法選取6人擔(dān)任本市的消防安全宣傳使者，再從中隨機(jī)抽取2人作為組長，求組長中至少有一人的年齡在第四組內(nèi)的概率．18.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，側(cè)面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD為矩形，PA=PB，O為AB的中點(diǎn)，OD⊥PC．

(1)求證：OC⊥PD；

(2)若PD上存在點(diǎn)M，使得OM//平面PBC，求PMPD的值；

(3)若PD與平面PBC所成角的正弦值為63,AB=219.(本小題12分)

已知向量a=(sinx,cosx)，b=(cosx,3cosx)，函數(shù)f(x)=a?b?32．

(1)若f(x02)=?13，且x0∈(?π2,π2)，求sin參考答案1.C

2.D

3.A

4.D

5.A

6.C

7.C

8.A

9.ACD

10.BD

11.ABD

12.213.3714.28π

15.證明：(1)記AC∩BD=O，連接OE．

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以O(shè)是BD的中點(diǎn)．

因?yàn)镋是PD的中點(diǎn)，所以O(shè)E//PB．

因?yàn)镺E?平面ACE，PB?平面ACE，所以PB//平面ACE．

(2)連接OP．

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以O(shè)是AC的中點(diǎn)．

因?yàn)镻A=PC，所以O(shè)P⊥AC．

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以AC⊥BD．

因?yàn)镺P，BD?平面PBD，且OP∩BD=O，所以AC⊥平面PBD．

因?yàn)锳C?平面ACE，所以平面PBD⊥平面ACE．

16.解：(Ⅰ)△ABC中，2c=3a+2bcosA，

由正弦定理得2sinC=3sinA+2sinBcosA；

又C=π?(A+B)，

所以2(sinAcosB+cosAsinB)=3sinA+2sinBcosA，

所以2sinAcosB=3sinA；

又A∈(0,π)，所以sinA≠0，

所以cosB=32；

又B∈(0,π)，

所以B=π6；

(Ⅱ)若cosA=14，A∈(0,π)，

所以sinA=1?cos2A=154，

所以sin2A=2sinAcosA=2×154×14=158，

17.(1)根據(jù)題意可得0.01+0.02+a+0.06+0.07)×5=1，解得a=0.04；

(2)設(shè)這m人的平均年齡為：

x?=22.5×0.01×5+27.5×0.07×5+32.5×0.06×5+37.5×0.04×5+42.5×0.02×5=32.25歲，

因?yàn)榍皫捉M的頻率依次為0.05，0.35，0.3，0.2，

所以第74百分位數(shù)在[35,40)之間，且為35+0.74?0.70.04=36；

(3)若現(xiàn)從第三、四、五組中采用分層抽樣的方法選取6人擔(dān)任本市的消防安全宣傳使者，

則從第三、四、五組中需依次選取6×0.060.06+0.04+0.02=3,6×0.0418.(1)證明：在四棱錐P?ABCD中，連接OP，

因?yàn)镻A=PB，所以PO⊥AB，

又因?yàn)閭?cè)面PAB⊥底面ABCD，側(cè)面PAB∩底面ABCD=AB，PO?側(cè)面PAB，

所以PO⊥平面ABCD，又OD?平面ABCD，所以PO⊥OD，

又因?yàn)镺D⊥PC，PO∩PC=P，PO，PC?平面POC，

所以O(shè)D⊥平面POC，

又因?yàn)镺C?平面POC，所以O(shè)D⊥OC，

又PO⊥平面ABCD，OC?平面ABCD，則PO⊥OC，

因?yàn)镻O∩OD=O，PO，OD?平面POD，所以O(shè)C⊥平面POD，

又因?yàn)镻D?平面POD，

所以O(shè)C⊥PD．

(2)取CD中點(diǎn)為N，連ON，MN，

因?yàn)镺N//BC，ON?平面PBC，BC?平面PBC，所以O(shè)N//平面PBC，

又因?yàn)镺M//平面PBC，OM∩ON=O，OM，ON?平面OMN，

所以平面OMN//平面PBC，MN?平面OMN，所以MN//平面PBC，

因?yàn)镸N//PC，MN?平面PBC，PC?平面PBC，

所以MN//平面PBC，PC，MN?平面PCD，平面PCD∩平面PBC=PC，

所以MN//PC，

又N為CD中點(diǎn)，則M為PD中點(diǎn)，

此時(shí)PMPD=12；

(3)由(1)可知OD⊥OC，所以△DAO為等腰直角三角形，

又AB=2，所以O(shè)D=2，設(shè)PO=?，則PD=?2+2，

記點(diǎn)D到面PBC的距離為?D?PBC，

因?yàn)锳D//BC，AD?平面PBC，BC?平面PBC，所以AD/?/平面PBC，

因?yàn)锳BOB=2，所以?D?PBC=?A?PBC