第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年江西省多校聯(lián)考高一（下）期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)?2i(1+3i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知某扇形的圓心角為π5，半徑為5，則該扇形的弧長(zhǎng)為(

)A.2π5 B.3π5 C.π 3.已知tanα=12，tan(α?β)=29A.16 B.14 C.134.已知函數(shù)f(x)的圖象是由函數(shù)y=2sin(2x?π4)的圖象向左平移φ(φ>0)個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，若f(x)是奇函數(shù)，則φ的值可以是A.π3 B.π4 C.π65.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a=22，c=6，C=πA.2 B.3 C.2 6.在△ABC中，點(diǎn)M滿足AM=3MB，點(diǎn)N滿足2AN=NC，E，F(xiàn)分別是MN，BC的中點(diǎn)，設(shè)AB=aA.18a+13b B.37.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若3a=2b，C=π3，則tanB=(

)A.3 B.23 C.38.已知平面向量m，n滿足m=(?2,2)，|n|=2|m|，n在m方向上的投影向量為(2,?2)，則mA.π4 B.3π4 C.5π6二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.直線l與平面α相交于點(diǎn)P，點(diǎn)A在直線l上，Q，R是平面α內(nèi)的任意兩點(diǎn)，P，A，Q，R不重合，且P，Q，R三點(diǎn)不共線，下列說法正確的是(

)A.直線RQ與l是異面直線

B.平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面APQ

C.平面α內(nèi)一定存在直線垂直于平面APQ

D.若平面α垂直于平面APQ和平面APR，則l⊥α10.平行四邊形OABC中，OA=8，OC=6，∠ABC=60°，點(diǎn)P在對(duì)角線AC上，其中△ABC的重心為G，外心為Q，垂心為H，則下列結(jié)論正確的是(

)A.若AP=λAC且OP⊥AG，則λ=14

B.OA?BQ=?3211.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，A1A.當(dāng)λ+μ=1時(shí)，△APC面積的最小值為22

B.當(dāng)λ2+μ2=1時(shí)，直線AP與平面ABCD所成的角為π3

C.二面角B?D1E?A1的平面角的正弦值為3012.若復(fù)數(shù)z=2+i(i為虛數(shù)單位)，則?1z?2的虛部為______．13.已知tanα=3，則cos2α=______．14.在直角三角形ABC中，AB=AC=2，D為斜邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，△BAD沿AD向上翻折得到三棱錐B′?ADC，使得平面ACD⊥平面ADB′，則該三棱錐體積的最大值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知b=1，c=32，A為鈍角，△ABC的面積為32．

(1)求角A；

(2)求16.(本小題15分)

已知向量a=(4,?2)，|b|=5，a?b=8，c=xa+(1?x)b．

(1)若a⊥c，求實(shí)數(shù)17.(本小題15分)

如圖，四棱錐P?ABCD的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)O在線段AD上，PO⊥平面ABCD，PA=PD=13，E是PB的中點(diǎn)．

(1)證明：AE//平面POC；

(2)求三棱錐E?POC18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)圖象相鄰的兩個(gè)最高點(diǎn)和一個(gè)最低點(diǎn)恰好能構(gòu)成一個(gè)邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，且直線x=43是f(x)圖象的一條對(duì)稱軸．

(1)求f(x)的解析式．

(2)設(shè)x∈[1,3]，f(x)的值域?yàn)镸．

①求M；

②對(duì)任意x1∈[1,3]，總存在x19.(本小題17分)

如圖1，已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點(diǎn)，且AE=CF=2，將△AEF沿EF折起到△A′EF的位置，得到如圖2所示的四棱錐A′?CBEF．

(1)證明：EF⊥A′B．

(2)在棱A′C上是否存在點(diǎn)P滿足PF//平面A′BE？若存在，求出PA′PC的值；若不存在，請(qǐng)說出理由．

(3)已知二面角A′?EF?B的大小是π3，點(diǎn)M在四邊形CBEF內(nèi)(包括邊界)，且A′M=7，當(dāng)直線A′M與直線CF

參考答案1.D

2.C

3.B

4.D

5.A

6.A

7.C

8.B

9.ABD

10.ABD

11.ACD

12.1

13.?414.215.(1)由△ABC的面積S=12bcsinA=32，

可得12×1×32sinA=32，解得sinA=22，結(jié)合A>π2，可得A=3π4；

(2)16.(1)由a=(4,?2)可得|a|=42+(?2)2=25，

因?yàn)閏=xa+(1?x)b，且a⊥c，a?b=?8，

所以c?a=[xa+(1?x)b]?a=xa2+(1?x)a?b=20x?8(1?x)=0，

解得x=27．

(2)因?yàn)閍?2b與c共線，

17.(1)證明：因?yàn)镻O⊥平面ABCD，所以PO⊥AD．

又PA=PD，所以O(shè)是AD的中點(diǎn)，

所以AO//BC，AO=12BC．

取PC的中點(diǎn)M，連接OM，EM，

可知EM//BC，EM=12BC，

所以EM//AO，EM=AO，

所以四邊形AEMO是平行四邊形，從而AE//OM．

因?yàn)锳E?平面POC，OM?平面POC，

所以AE//平面POC；

(2)因?yàn)锳E//平面POC，

所以點(diǎn)E到平面POC的距離等于點(diǎn)A到平面POC的距離，

所以VE?POC=VA?POC，

又V18.(1)如圖，△BCD是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，它的高為4×32=23，

即A?(?A)=2A=23，得A=3．

因?yàn)锽C=4，

所以f(x)的最小正周期T=4，

即2πω=4，解得ω=π2，

又直線x=43是f(x)圖象的一條對(duì)稱軸，

所以π2×43+φ=π2+kπ，k∈Z，

解得φ=?π6+kπ，k∈Z，

因?yàn)閨φ|<π2，

所以φ=?π6，

所以f(x)=3sin(π2x?π6)；

(2)①當(dāng)x∈[1,3]時(shí)，π2x?π6∈[π3,4π3]，

sin(π2x?π6)∈[?19.(1)證明：在△AEF中，AE=2，AF=4,A=π3，

由余弦定理求得EF=AE2+AF2?2AE?AF?cos∠EAF=23．

因?yàn)锳E2+EF2=AF2，所以EF⊥AB．

由題中圖2可知，EF⊥BE，EF⊥A′E，

BE∩A′E=E，BE，A′E?平面A′BE

所以EF⊥平面A′BE，

因?yàn)锳′B?平面A′BE，

所以EF⊥A′B．

(2)假設(shè)在棱A′C上存在點(diǎn)P滿足PF//平面A′BE，如圖3，

過點(diǎn)F作FH//BE，交BC于點(diǎn)H，連接PH．

因?yàn)镕H//BE，所以FH//平面A′BE，

又因?yàn)镻F//平面A′BE，PF∩FH=F，PF，F(xiàn)H?平面A′BE，

所以平面PFH//平面A′BE．

又因?yàn)槠矫鍭′BC∩平面A′BE=A′B，平面A′BC∩平面PFH=PH，

所以PH//A′B，所以PCA′C=CHCB．

又因?yàn)镃HCB=CFCA=13，

所以PCA′C=13，從而PA′PC