第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年吉林省普通高中友好學(xué)校聯(lián)合體高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若復(fù)數(shù)a+i1+i是實(shí)數(shù)(i是虛數(shù)單位)，則實(shí)數(shù)a的值為(

)A.?2 B.?1 C.1 D.22.在△ABC中，M為AB邊上的中點(diǎn)，則CM=(

)A.12CB+12CA B.?3.4名射手獨(dú)立地射擊，假設(shè)每人中靶的概率都是0.6，則4人都沒(méi)中靶的概率為(

)A.0.256 B.0.016 C.0.0256 D.0.0364.已知向量a=(1,?3)，b=(2,1)，則a在b上的投影向量為(

)A.(?15,?110) B.(5.中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》的商功章記載了圓錐型幾何體的體積公式，“水曰：下周自乘，以高乘之三十六而一”，其意思是：已知圓錐的底面周長(zhǎng)C，高?，那么圓錐的體積公式是V=112πC2?，若一圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為A.233π B.236.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)分別記錄了5個(gè)正整數(shù)數(shù)據(jù)，根據(jù)下面四名同學(xué)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，可以判斷出所有數(shù)據(jù)一定都不小于20的同學(xué)人數(shù)是(

)

甲同學(xué)：中位數(shù)為22，眾數(shù)為20

乙同學(xué)：中位數(shù)為25，平均數(shù)為22

丙同學(xué)：第40百分位數(shù)為22，極差為2

丁同學(xué)：有一個(gè)數(shù)據(jù)為30，平均數(shù)為24，方差為10.8A.1 B.2 C.3 D.47.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若bcosA+acosB=csinC，則△ABC為(

)A.等腰三角形 B.等邊三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形8.已知四棱錐P?ABCD的底面ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，且PD=PA=32，AB=6，則四棱錐P?ABCD的外接球的體積為(

)A.722π B.276π二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.從一批準(zhǔn)備出廠的電視機(jī)中隨機(jī)抽取10臺(tái)進(jìn)行質(zhì)量檢查，其中有1臺(tái)是次品，若用C表示抽到次品這一事件.則下列說(shuō)法中不正確的是(

)A.事件C發(fā)生的概率為110 B.事件C發(fā)生的頻率為110

C.事件C發(fā)生的概率接近110 D.每抽1010.已知i為虛數(shù)單位，則下列說(shuō)法正確的是(

)A.若復(fù)數(shù)z∈R，則z?∈R

B.若復(fù)數(shù)z2∈R，則z∈R

C.若復(fù)數(shù)m2+3m?4+(m2?2m?24)i=0，則實(shí)數(shù)m=1或11.如圖，在直棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD=60°，AA1=2，點(diǎn)P為CC1A.BD⊥AC1

B.若點(diǎn)Q在線(xiàn)段D1C上，則四面體A1BPQ的體積為定值

C.若A1Q=7，則點(diǎn)Q軌跡的長(zhǎng)度為π3三、填空題：本題共3小題，共15分。12.從高三抽出50名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，由成績(jī)得到如圖的頻率分布直方圖，則估計(jì)這50名學(xué)生成績(jī)的75%分位數(shù)為_(kāi)_____分.13.九宮格數(shù)獨(dú)游戲是一種訓(xùn)練推理能力的數(shù)字謎題游戲.九宮格分為九個(gè)小宮格，某小九宮格如圖所示，小明需要在9個(gè)小格子中填上1至9中不重復(fù)的整數(shù)，小明通過(guò)推理已經(jīng)得到了4個(gè)小格子中的準(zhǔn)確數(shù)字，a，b，c，d，e這5個(gè)數(shù)字未知，且b，d為奇數(shù)，則a+b>5的概率為_(kāi)_____．9a7bcd4e514.已知四棱錐P?ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，PA=23，PA⊥平面ABCD，M為線(xiàn)段PA的中點(diǎn)，若空間中存在平面α滿(mǎn)足BD//α，MC?α，記平面α與直線(xiàn)PD，PB分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，則PEED=______，四邊形四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知向量a=(1,3)，b=(1,?2)．

(1)求向量a，b的夾角的余弦值；

(2)若c=(3,t)，且2a?3b16.(本小題15分)

某制藥廠生產(chǎn)一種治療流感的藥物，該藥品有效成分的標(biāo)準(zhǔn)含量為10mg/片.由于升級(jí)了生產(chǎn)工藝，需檢驗(yàn)采用新工藝生產(chǎn)的藥品的有效成分是否達(dá)標(biāo)，現(xiàn)隨機(jī)抽取了生產(chǎn)的10片藥品作為樣本，測(cè)得其有效成分含量如下：9.7，10，9.7，9.6，9.7，9.9，10.2，10.1，10，10.1．

(1)計(jì)算樣本的平均數(shù)x?和方差s2；

(2)判斷采用新工藝生產(chǎn)的藥品的有效成分是否達(dá)標(biāo)(若|17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，PA=AD=CD=1，BC=2，PB=3.E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且PFFC=12．

(Ⅰ)求證：PA⊥平面ABCD；

(Ⅱ)在棱BP上是否存在點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到平面18.(本小題17分)

如圖，在平面四邊形ABCD中，DC=2AD=42，∠BAD=π2，∠BDC=π6．

(1)若cos∠ABD=5319.(本小題17分)

我們可以把平面向量坐標(biāo)的概念推廣為“復(fù)向量”，即可將有序復(fù)數(shù)對(duì)(z1,z2)(z1,z2∈C)視為一個(gè)向量，記作α=(z1,z2).類(lèi)比平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算可以定義復(fù)向量的線(xiàn)性運(yùn)算；兩個(gè)復(fù)向量α=(z1,z2)，β=(z3,z4)的數(shù)量積記作α?β，定義為α?β=z1z3?+z2z4?；復(fù)向量α的模定義為|α|=α?α．

(1)設(shè)α=(3,4)，β=(1?i,i)，求復(fù)向量α與β的模；

(2)答案解析1.【答案】C

【解析】解：a+i1+i=(a+i)(1?i)(1+i)(1?i)

=a+i?ai?i22

=a+12+1?a2i，

∵復(fù)數(shù)a+i1+i是實(shí)數(shù)(i是虛數(shù)單位)，

∴1?a22.【答案】A

【解析】解：如圖，在△ABC中，M為AB邊上的中點(diǎn)，則：

CM=12CB+12CA．

3.【答案】C

【解析】解：每人中靶的概率都是0.6，

則每人不中靶的概率都是1?0.6=0.4，

故4人都沒(méi)中靶的概率為0.44=0.0256．

故選：C．

根據(jù)對(duì)立事件和相互獨(dú)立事件的概率公式即可求解．4.【答案】C

【解析】因?yàn)閍=(1,?3)，b=(2,1)，

則a?b=2?3=?1,|b|=5，

所以a在b上的投影向量為：

a5.【答案】C

【解析】【分析】

由圓錐的軸截面為22的等邊三角形，可得圓錐的底面圓半徑和高，再代入體積公式即可．

本題以數(shù)學(xué)文化為載體考查圓錐的體積的求法，考查圓錐底面周長(zhǎng)、圓周率、側(cè)面積、軸截面面積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．

【解答】

解：圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為22的等邊三角形，

則其底面直徑為22，半徑為2，

周長(zhǎng)C=22π，

圓錐的高6.【答案】C

【解析】解：甲同學(xué)的5個(gè)數(shù)據(jù)的眾數(shù)為20，中位數(shù)為22，則數(shù)據(jù)中必有20，20，22三個(gè)數(shù)，

余下兩個(gè)數(shù)據(jù)都大于22且不相等，所有數(shù)據(jù)一定都不小于20；

乙同學(xué)的5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為25，平均數(shù)為22，

當(dāng)5個(gè)數(shù)據(jù)分別為16，18，25，25，26時(shí)，滿(mǎn)足中位數(shù)為25，平均數(shù)為22，

但其中有兩個(gè)小于20的數(shù)，不滿(mǎn)足所有數(shù)據(jù)一定都不小于20；

丙同學(xué)的5個(gè)數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為22，極差為2，

則5個(gè)數(shù)據(jù)由小到大排列后第二和第三個(gè)數(shù)只可能是22，22或21，23，

由極差為2知，所有數(shù)據(jù)一定都不小于20；

丁同學(xué)的5個(gè)數(shù)據(jù)中有一個(gè)數(shù)據(jù)為30，平均數(shù)為24，設(shè)其余4個(gè)數(shù)據(jù)依次為x1，x2，x3，x4，

則方差s2=15[36+(x1?24)2+(x2?24)2+(x3?24)2+(x4?24)2]

=7.2+15[(x17.【答案】C

【解析】解：由正弦定理得sinBcosA+sinAcosB=sin2C，

其中sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC，

所以sinC=sin2C，

因?yàn)镃∈(0,π)，所以sinC≠0，

故sinC=1，

因?yàn)镃∈(0,π)，所以C=π2，

故△ABC為直角三角形．

故選：8.【答案】A

【解析】解：設(shè)AD的中點(diǎn)為E，設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，連接PE，EO，PO，

由于PD=PA=32,AD=AB=6，則PE⊥AD，

而平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PE?平面PAD，

故PE⊥平面ABCD，EO?平面ABCD，故PE⊥EO

AB=6，底面ABCD為正方形，則EO=3，

又PE=PD2?DE2=(32)2?32=3，故PO=PE2+EO2=32+32=32，

而OA=OB=OC=OD=39.【答案】ACD

【解析】解：抽出的樣本中次品率為110，即事件C發(fā)生的頻率為110，

∴多次測(cè)得的頻率圍繞概率上下波動(dòng)，但抽的樣本比較少，不一定概率接近110，

概率描述的只是可能性，所以每抽10臺(tái)電視機(jī)，不一定有1臺(tái)次品，

故選：ACD．

10.【答案】AD

【解析】解：復(fù)數(shù)z∈R，則z?∈R，故A正確；

令z2=?1∈R，但z=i?R，故B錯(cuò)誤；

若復(fù)數(shù)m2+3m?4+(m2?2m?24)i=0，

則m2+3m?4=0m2?2m?24=0，解得m=?4，故C錯(cuò)誤；

復(fù)數(shù)z=x+yi(x,y∈R)滿(mǎn)足|z+1|=|z?i|，

則11.【答案】ABD

【解析】解：對(duì)A選項(xiàng)，∵AC1在底面ABCD內(nèi)的射影為AC，

又底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∴BD⊥AC，

∴根據(jù)三垂線(xiàn)定理可得BD⊥AC1，∴A選項(xiàng)正確；

對(duì)B選項(xiàng)，若點(diǎn)Q在線(xiàn)段D1C上，則四面體A1BPQ的體積為VQ?A1BP，

∵D1C//A1B，∴可得D1C/?/平面A1BP，又點(diǎn)Q在線(xiàn)段D1C上，

∴Q到平面A1BP的距離為定值，又△A1BP的面積也為定值，

∴四面體A1BPQ的體積為定值，∴B選項(xiàng)正確；

對(duì)C選項(xiàng)，過(guò)A1作A1N垂直D1C1于點(diǎn)N，

則由上底面與后側(cè)面垂直，可得A1N垂直后側(cè)面，且A1N=3，ND1=1，

又A1Q=7，∴NQ=(7)2?(3)2=2，

∴Q是以N為圓心，2為半徑的圓上的點(diǎn)，

又ND1=1，NQ=2，∴該圓與D1D的交點(diǎn)Q到N的距離為2，

∴Q在側(cè)面DCC112.【答案】86.25

【解析】解：依題意，前四個(gè)小矩形的面積之和為(0.004+0.006+0.020+0.030)×10=0.6，

前五個(gè)小矩形的面積之和為0.6+0.024×10=0.84>0.75，

因此75%分位數(shù)位于[80,90)內(nèi)，

則80+10×0.75?0.60.84?0.6=86.25，

所以估計(jì)這50名學(xué)生成績(jī)的75%分位數(shù)為86.25分．

故答案為：86.25．

利用給定的頻率分布直方圖，借助頻率估計(jì)75%13.【答案】23【解析】解：這個(gè)試驗(yàn)的等可能結(jié)果用下表表示：abcde216382183661238618328123681632236182381663218638128321683612共有12種等可能的結(jié)果，其中a+b>5的結(jié)果有8種，

所以a+b>5的概率為812=23．

故答案為：2314.【答案】2

6【解析】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作BD的平行線(xiàn)QH分別交AD，AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)Q，H，

易知D，B分別為AQ，AH的中點(diǎn)，

連接MQ，MH，分別交PD，PB于點(diǎn)E，F(xiàn)，則平面MQH即平面α，

取AD的中點(diǎn)G，因ABCD是正方形，則GD=12AD=12QD，連接MG，則MG//PD，

易得△QDE∽△QGM，

則QEQM=EDMG=QDQG=23，

所以ED=23MG=13PD，所以PEED=2．

連接EF，因?yàn)锽D//α，平面α∩平面PBD=EF，BD?平面PBD，所以BD//EF，

所以EF//QH，HFHM=QEQM=23，

由圖易得PD=PB，由BD/?/EF可得PE=PF，

由△PEM?△PFM得ME=MF，從而MQ=MH，

由AC⊥QH可得C為QH的中點(diǎn)，

由AB=3，可得BD=6，

QH=26，MC=MA2+AC2=15.【答案】?22．

【解析】(1)因?yàn)橄蛄縜=(1,3)，b=(1,?2)，

所以a?b=1?6=?5，|a|=1+9=10，|b|=1+4=5，

所以向量a，b夾角的余弦值為cos<a，b>=a?b|a||b|=?510×5=?22．

(2)因?yàn)?a?316.【答案】平均數(shù)x?=9.9，方差s2=0.04；【解析】解：(1)根據(jù)題意，樣本數(shù)據(jù)為：9.7，10，9.7，9.6，9.7，9.9，10.2，10.1，10，10.1，

則其平均數(shù)x?=110(9.7+10+9.7+9.6+9.7+9.9+10.2+10.1+10+10.1)=9.9mg，

其方差S2=110(0.04+0.01+0.04+0.09+0.04+0+0.09+0.04+0.01+0.04)=0.04，

(2)根據(jù)題意，由(1)的結(jié)論，樣本的平均數(shù)x?=9.9，方差s2=0.04，

則有|x??10|=0.1，而3.2517.【答案】解：(Ⅰ)證明：在直角梯形中，AD⊥CD，AD//BC，AD=CD=1，BC=2，

可得AB=2，

又PA=1，PB=3，即有PA2+AB2=PB2，

可得PA⊥AB，

又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，

可得PA⊥平面ABCD；

(Ⅱ)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC所在直線(xiàn)為x，y軸，過(guò)D平行于PA的直線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D?xyz，則P(1,0,1)，D(0,0,0)，E為PD的中點(diǎn)，可得E(12,0,12)，

由C(0,1,0)，P(1,0,1)，點(diǎn)F在PC上，且PFFC=12，可得F(23,13,23)，

又A(1,0,0)，則AE=(?12,0,12)，AF=(?13,13,23)，

設(shè)平面AEF的法向量為n=(x1,y1,z【解析】(Ⅰ)由直角梯形推得PA⊥AB，再由面面垂直的性質(zhì)可得證明；

(Ⅱ)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC所在直線(xiàn)為x，y軸，過(guò)D平行于PA的直線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D?xyz，求得平面AEF的法向量，設(shè)PGGB=λ(0<λ<1)，求得G的坐標(biāo)和