第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年湖南省婁底一中高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（A卷）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.關(guān)于樣本相關(guān)系數(shù)，下列說法正確的是(

)A.樣本相關(guān)系數(shù)r∈[?1,1]

B.當(dāng)樣本相關(guān)系數(shù)r<0時(shí)，稱成對(duì)數(shù)據(jù)成正相關(guān)

C.兩個(gè)隨機(jī)變量線性相關(guān)越弱，則相關(guān)系數(shù)越接近?1

D.兩個(gè)隨機(jī)變量線性相關(guān)越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)越接近12.已知等差數(shù)列{an}的公差為3，則aA.3 B.9 C.27 D.303.已知向量a=(?1,3)，|b|=3，aA.π3 B.π6 C.5π64.曲線y=lnx?x在點(diǎn)(1,?1)處切線的斜率為(

)A.?1 B.0 C.1 D.25.記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1=1A.1213 B.533 C.4136.6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只去一個(gè)場(chǎng)館，其中甲場(chǎng)館安排2名志愿者，乙、丙場(chǎng)館都至少安排1名志愿者，則不同的安排方法共有(

)A.300種 B.210種 C.120種 D.60種7.已知函數(shù)f(x)=13x3+x2+bx?23在x=1A.(1,9) B.[1,9) C.[3,9) D.(3,9]8.為了保障我國(guó)民眾的身體健康，產(chǎn)品在進(jìn)入市場(chǎng)前必須進(jìn)行兩輪檢測(cè)，只有兩輪都合格才能進(jìn)行銷售，否則不能銷售，已知某產(chǎn)品第一輪檢測(cè)不合格的概率為19，第二輪檢測(cè)不合格的概率為110，兩輪檢測(cè)是否合格相互之間沒有影響，若產(chǎn)品可以銷售，則每件產(chǎn)品獲利40元，若產(chǎn)品不能銷售，則每件產(chǎn)品虧損80元，已知一輪中有4件產(chǎn)品，記一箱產(chǎn)品獲利X元，則P(X≥?80)等于(

)A.96625 B.256625 C.608625二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.某中學(xué)高三年級(jí)學(xué)生參加體育測(cè)試，其中物理類班級(jí)女生的成績(jī)X與歷史類班級(jí)女生的成績(jī)Y均服從正態(tài)分布，且X～N(75,81)，Y～N(75,64)，則(

)A.E(X)=75 B.D(Y)=8

C.P(X<60)+P(X≤90)=1 D.P(X≤91)>P(Y≤91)10.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，線段B1D1A.當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)時(shí)，A1C⊥AE總成立

B.當(dāng)E向D1運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角A?EF?B逐漸變小

C.二面角E?AB?C的最小值為45°

D.三棱錐11.若lnx?kx+1≤0對(duì)x∈(0,+∞)恒成立，則k的值可能是A.0 B.1 C.2 D.3三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.數(shù)列{an}滿足a1=?1，a13.(x+2x)14.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與雙曲線C的右支相交于點(diǎn)P，分別過點(diǎn)O，F(xiàn)2作直線四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知A，F(xiàn)是橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右頂點(diǎn)和左焦點(diǎn)，橢圓E過點(diǎn)B(1,32)，且焦距為2．

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線FB與16.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=alnx?12x2，a∈R．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)f(x)在[1,e]上恒小于017.(本小題15分)

2025年是中國(guó)共產(chǎn)黨成立的104周年，某校為傳承和弘揚(yáng)革命精神特舉行“黨史知識(shí)”競(jìng)賽，本次比賽共分三個(gè)環(huán)節(jié)，每位參賽同學(xué)必須前兩個(gè)環(huán)節(jié)均通過才有機(jī)會(huì)進(jìn)入最后一個(gè)(決賽)環(huán)節(jié)，前兩個(gè)環(huán)節(jié)是否通過相互獨(dú)立.只要一個(gè)環(huán)節(jié)失敗，即終止比賽.現(xiàn)有A，B，C三位同學(xué)參加比賽，A同學(xué)通過前兩個(gè)環(huán)節(jié)的概率分別為23和12，B同學(xué)和C同學(xué)前兩個(gè)環(huán)節(jié)中通過每一個(gè)環(huán)節(jié)的概率均為23．

(1)求恰有兩位同學(xué)僅通過第一個(gè)環(huán)節(jié)的概率；

(2)設(shè)進(jìn)入決賽的同學(xué)人數(shù)為X，求18.(本小題17分)

如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，如圖2，將正方形ABCD沿著對(duì)角線AC翻折，O為原正方形ABCD的中心．

(1)證明：AC⊥平面BOD；

(2)翻折至四面體ABCD的體積最大時(shí)．

(ⅰ)求異面直線AD與BC所成角的大?。?/p>

(ⅱ)求CD與平面ABD所成的角的正弦值．19.(本小題17分)

設(shè)n為正整數(shù)，C1，C2，…Cn為n枚質(zhì)地不均勻的硬幣.投擲硬幣Ck(k=1,2,…,n)，設(shè)正面朝上的概率為pk，反面朝上的概率為1?pk.同時(shí)投出n枚硬幣，當(dāng)正面朝上的硬幣數(shù)為奇數(shù)時(shí)，即為游戲成功．

(1)當(dāng)n=3，pk=13(k=1,2,3)時(shí)，求游戲成功的概率；

(2)當(dāng)pk=13(k=1,2,?,n)時(shí)，設(shè)游戲成功的概率為Qn(n∈N?)，求當(dāng)n≥2時(shí)，Qn?1與Qn的遞推關(guān)系，并證明{答案解析1.【答案】A

【解析】解：A選項(xiàng)，根據(jù)相關(guān)系數(shù)|r|≤1，故A選項(xiàng)正確；

B選項(xiàng)，r<0時(shí)，數(shù)據(jù)成負(fù)相關(guān)，r>0時(shí)，數(shù)據(jù)成正相關(guān)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，|r|越接近1，線性相關(guān)性越強(qiáng)，|r|越接近0，相關(guān)性越弱，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，相關(guān)系數(shù)也可能接近?1，故D錯(cuò)誤．

故選：A．

根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)即可求解．

本題考查了相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．2.【答案】C

【解析】解：設(shè)公差為d，

等差數(shù)列{an}的公差為3，

則公差d=3，則a10?a1=9d=27．3.【答案】C

【解析】解：因?yàn)閍=(?1,3)，

所以|a|=2，

因?yàn)閍?(a?2b)=10，所以a2?2a?b=10，

得到4?2?a?b=10，解得a?b=?3，設(shè)向量a與b的夾角為β，

而|b4.【答案】B

【解析】解：由y=lnx?x知：y′=1x?1，

所以y′|x=1=0，

即曲線y=lnx?x在點(diǎn)(1,?1)處切線的斜率為0．

故選：5.【答案】D

【解析】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，

由a42=a6，得(a1q3)2=a1q5，即a1q=1，

又a1=13，故q=3，

所以S6.【答案】B

【解析】解：從6同學(xué)中選出2人安排到甲場(chǎng)館，再安排2人到乙場(chǎng)館，最后剩余2人安排到丙場(chǎng)館；C62C42=90種；

或選出2人安排到甲場(chǎng)館，再安排1或3人到乙場(chǎng)館，剩余的人安排到丙場(chǎng)館，C62C41C21=120種．

共有：90+120=210種．

故選：B．

從6同學(xué)中選出27.【答案】C

【解析】解：因?yàn)閿?shù)f(x)=13x3+x2+bx?23，

所以f′(x)=x2+2x+b，

又?jǐn)?shù)f(x)=13x3+x2+bx?23在x=1處的切線與直線y=1平行，

所以f′(1)=12+2+b=0，所以b=?3，

所以f(x)=13x3+x2?3x?23，f′(x)=x2+2x?3=(x+3)(x?1)，

令f′(x)>0得x>1或x<?3，令f′(x)<0得?3<x<1，

故f(x)在(?3,1)上單調(diào)遞減，在(?∞,?3)，(1,+∞)上單調(diào)遞增，

所以f(x)在x=1處取得極小值，

又f(1)=13+1?3?23=?73，令18.【答案】C

【解析】解：由X≥?80可知P(X≥?80)表示的事件為至少有兩件產(chǎn)品可以銷售．

由題干可知，每件商品不可以銷售的概率為1?(1?19)(1?110)=15．

設(shè)A表示至多有一件商品可以銷售，則P(A)=(15)4+C41(1?15)×(19.【答案】AC

【解析】解：選項(xiàng)A：已知X～N(75,81)，根據(jù)正態(tài)分布定義，第一個(gè)參數(shù)為均值μ，因此E(X)=75，A正確；

選項(xiàng)B：已知Y～N(75,64)，根據(jù)正態(tài)分布定義，第二個(gè)參數(shù)為方差σ2，

因此D(Y)=64，B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C：由X～N(75,81)，均值μ=75，且60=75?15，90=75+15，

根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性，P(X<75?15)=P(X>75+15)，即P(X<60)=P(X>90)，

又因?yàn)镻(X>90)+P(X≤90)=1，代入P(X<60)=P(X>90)，得：P(X<60)+P(X≤90)=1，C正確；

選項(xiàng)D：對(duì)X～N(75,81)，標(biāo)準(zhǔn)差σX=81=9，Z為標(biāo)準(zhǔn)化分?jǐn)?shù)，

則ZX=91?759=169≈1.78，對(duì)Y～N(75,64)，標(biāo)準(zhǔn)差σY=64=8，則ZY=91?758=2，10.【答案】ACD

【解析】解：對(duì)于A，連接A1C1，AD1，AB1，

因?yàn)锽1D1⊥A1C1，B1D1⊥A1A，A1C1?A1A=A1，

所以B1D1⊥平面A1C1CA，

因?yàn)锳1C?平面A1C1CA，所以B1D1⊥A1C，同理可證AD1⊥A1C，

因?yàn)锳D1?B1D1=D1，所以A1C⊥平面AB1D1，

因?yàn)锳E?平面AB1D1，所以A1C⊥AE總成立，故A正確；

對(duì)于B，平面EFB即平面BDD1B1，平面EFA即平面AB1D1，

所以當(dāng)E向D1運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角A?EF?B的大小不變，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(1,1,0)，B(0,1,0)，所以AB=(?1,0,0)，

因?yàn)镋，F(xiàn)在B1D1上，且EF=22，

故可設(shè)E(t,1?t,1)，F(xiàn)(t?12,32?t,1)，12≤t≤1，

則AE=(t?1,?t,1)11.【答案】CD

【解析】解：由kx≥lnx+1得kx≥2lnx+1，所以kx?1≥2lnx，

令x=t(t>0)，則kt?1≥2lnt(t>0)，

令y=kt?1，f(t)=2lnt(t>0)，

由題意可知y≥f(t)恒成立．

設(shè)與f(t)圖象相切且與直線y=kt?1平行的直線為l1，切點(diǎn)M(t0,2lnt0)，

則k=f′(t0)=2t0kt0?1=2lnt012.【答案】?1

【解析】解：∵數(shù)列{an}滿足a1=?1，an+1=11?an(n∈N+)，

∴a2=11+1=12，a3=11?13.【答案】14

【解析】解：二項(xiàng)式(x+2x)7的展開式通項(xiàng)為：Tr+1=C7r(x)7?r(2x)r=C7r2rx7?3r214.【答案】13【解析】解：如圖，

因?yàn)镕1，F(xiàn)2為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，|F1F2|=2c，因?yàn)镺N⊥PF1，F(xiàn)2M上PF1，所以O(shè)N//F2M，

又O為線段F1F2的中點(diǎn)，所以N為線段F1M的中點(diǎn)，且|ON|=12|MF2|，

又M為線段PN的中點(diǎn)，所以|F1N|=|NM|=|MP|=13|PF1|，

在Rt△OF1N中，|ON|=a，|OF1|=c，

所以|F1N|=|OF1|2?|ON|2=b，15.【答案】x24+y23【解析】(1)因?yàn)榻咕酁?c=2，

所以c=1，

因?yàn)闄E圓E過點(diǎn)B(1,32)，

所以1a2+94b2=1a2?b2=1，

解得a2=4，b2=3，

則橢圓方程x24+y23=1；

(2)因?yàn)锽(1,32)，F(xiàn)(?1,0)，

所以直線BF方程為y?032?0=x+12+1，

即3x?4y+3=0，

聯(lián)立3x?4y+3=0x24+y23=1，消去y并整理得716.【答案】(1)f′(x)=ax?x=a?x2x(x>0)．

當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)<0，此時(shí)函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時(shí)，由f′(x)=0，得x=?a(舍)或x=a，

當(dāng)x∈(0,a)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈(a,+∞)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減．

綜上可得：當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,a)上單調(diào)遞增，在(a,+∞)上單調(diào)遞減；

(2)由(1)可得，若a≤0，函數(shù)f(x)在[1,e]上單調(diào)遞減，而f(1)=?12<0，符合題意；

當(dāng)a>0時(shí)，由(1)知，若a≤1，函數(shù)f(x)在[1,e]上單調(diào)遞減，而f(1)=?12<0，符合題意；

若1<a<e2，f(x)在[1,a]上單調(diào)遞增，在[【解析】(1)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，可得a≤0時(shí)，f′(x)<0，此時(shí)函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減；當(dāng)a>0時(shí)，利用導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)函數(shù)的定義域分段，再由導(dǎo)函數(shù)在不同區(qū)間段內(nèi)的符號(hào)可得原函數(shù)的單調(diào)性；

(2)由(1)可得，若a≤0，函數(shù)f(x)在[1,e]上單調(diào)遞減，而f(1)<0，符合題意；當(dāng)a>0時(shí)，結(jié)合(1)分a≤1，1<a<e2，a≥e2三類求解函數(shù)在[1,e]上的最大值，由最大值小于0可得17.【答案】427；

答案見解析．【解析】(1)根據(jù)題意，A同學(xué)通過前兩個(gè)環(huán)節(jié)的概率分別為23和12，

B同學(xué)和C同學(xué)前兩個(gè)環(huán)節(jié)中通過每一個(gè)環(huán)節(jié)的概率均為23，

A，B，C三位同學(xué)僅通過第一個(gè)環(huán)節(jié)的概率分別為：

P1=23×(1?12)=13，P2=23×(1?23)=29，P3=23×(1?23)=29，

所以恰有兩位同學(xué)僅通過第一個(gè)環(huán)節(jié)的概率為：

P=13×29×(1?29)+13×(1?29)×29+(1?X0123P5035816所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=0×50243+1×3581+2×827+3×16243=297243=119．

(1)分別計(jì)算出A，B，18.【答案】證明見解析；

(i)π3；(ii)【解析】(1)證明：在圖中，連接OB，OD，

因?yàn)椤鰽BC和△ADC都是等腰三角形，且O是正方形中心，

所以AC⊥OD，AC⊥OB，OB∩OD=O，OB，OD?平面BOD，

所以AC⊥平面BOD．

(2)在翻折過程中，四面體ABCD的體積取最大值時(shí)，D點(diǎn)到平面ABC的距離最大，

此時(shí)平面ACD⊥平面ABC，

因?yàn)镈O⊥AC，所以DO⊥平面ABC．

所以O(shè)A，OB，OD兩兩垂直，如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，

OA，OB，OD所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

因?yàn)檎叫蜛BC