第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年湖南省婁底一中高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（A卷）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.關(guān)于樣本相關(guān)系數(shù)，下列說法正確的是(

)A.樣本相關(guān)系數(shù)r∈[?1,1]

B.當(dāng)樣本相關(guān)系數(shù)r<0時(shí)，稱成對(duì)數(shù)據(jù)成正相關(guān)

C.兩個(gè)隨機(jī)變量線性相關(guān)越弱，則相關(guān)系數(shù)越接近?1

D.兩個(gè)隨機(jī)變量線性相關(guān)越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)越接近12.已知等差數(shù)列{an}的公差為3，則aA.3 B.9 C.27 D.303.已知向量a=(?1,3)，|b|=3，aA.π3 B.π6 C.5π64.曲線y=lnx?x在點(diǎn)(1,?1)處切線的斜率為(

)A.?1 B.0 C.1 D.25.記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1=1A.1213 B.533 C.4136.6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場館做志愿者，每名同學(xué)只去一個(gè)場館，其中甲場館安排2名志愿者，乙、丙場館都至少安排1名志愿者，則不同的安排方法共有(

)A.300種 B.210種 C.120種 D.60種7.已知函數(shù)f(x)=13x3+x2+bx?23在x=1A.(1,9) B.[1,9) C.[3,9) D.(3,9]8.為了保障我國民眾的身體健康，產(chǎn)品在進(jìn)入市場前必須進(jìn)行兩輪檢測(cè)，只有兩輪都合格才能進(jìn)行銷售，否則不能銷售，已知某產(chǎn)品第一輪檢測(cè)不合格的概率為19，第二輪檢測(cè)不合格的概率為110，兩輪檢測(cè)是否合格相互之間沒有影響，若產(chǎn)品可以銷售，則每件產(chǎn)品獲利40元，若產(chǎn)品不能銷售，則每件產(chǎn)品虧損80元，已知一輪中有4件產(chǎn)品，記一箱產(chǎn)品獲利X元，則P(X≥?80)等于(

)A.96625 B.256625 C.608625二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.某中學(xué)高三年級(jí)學(xué)生參加體育測(cè)試，其中物理類班級(jí)女生的成績X與歷史類班級(jí)女生的成績Y均服從正態(tài)分布，且X～N(75,81)，Y～N(75,64)，則(

)A.E(X)=75 B.D(Y)=8

C.P(X<60)+P(X≤90)=1 D.P(X≤91)>P(Y≤91)10.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1A.當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)時(shí)，A1C⊥AE總成立

B.當(dāng)E向D1運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角A?EF?B逐漸變小

C.二面角E?AB?C的最小值為45°

D.三棱錐A?BEF的體積為定值

11.若lnx?kx+1≤0對(duì)x∈(0,+∞)A.0 B.1 C.2 D.3三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.數(shù)列{an}滿足a1=?1，a13.(x+2x)7的展開式中14.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與雙曲線C的右支相交于點(diǎn)P，分別過點(diǎn)O，F(xiàn)2作直線四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知A，F(xiàn)是橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右頂點(diǎn)和左焦點(diǎn)，橢圓E過點(diǎn)B(1,32)，且焦距為2．

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線FB與E16.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=alnx?12x2，a∈R．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)f(x)在[1,e]上恒小于0，求17.(本小題15分)

2025年是中國共產(chǎn)黨成立的104周年，某校為傳承和弘揚(yáng)革命精神特舉行“黨史知識(shí)”競賽，本次比賽共分三個(gè)環(huán)節(jié)，每位參賽同學(xué)必須前兩個(gè)環(huán)節(jié)均通過才有機(jī)會(huì)進(jìn)入最后一個(gè)(決賽)環(huán)節(jié)，前兩個(gè)環(huán)節(jié)是否通過相互獨(dú)立.只要一個(gè)環(huán)節(jié)失敗，即終止比賽.現(xiàn)有A，B，C三位同學(xué)參加比賽，A同學(xué)通過前兩個(gè)環(huán)節(jié)的概率分別為23和12，B同學(xué)和C同學(xué)前兩個(gè)環(huán)節(jié)中通過每一個(gè)環(huán)節(jié)的概率均為23．

(1)求恰有兩位同學(xué)僅通過第一個(gè)環(huán)節(jié)的概率；

(2)設(shè)進(jìn)入決賽的同學(xué)人數(shù)為X，求X18.(本小題17分)

如圖1，正方形ABCD的邊長為2，如圖2，將正方形ABCD沿著對(duì)角線AC翻折，O為原正方形ABCD的中心．

(1)證明：AC⊥平面BOD；

(2)翻折至四面體ABCD的體積最大時(shí)．

(ⅰ)求異面直線AD與BC所成角的大?。?/p>

(ⅱ)求CD與平面ABD所成的角的正弦值．19.(本小題17分)

設(shè)n為正整數(shù)，C1，C2，…Cn為n枚質(zhì)地不均勻的硬幣.投擲硬幣Ck(k=1,2,…,n)，設(shè)正面朝上的概率為pk，反面朝上的概率為1?pk.同時(shí)投出n枚硬幣，當(dāng)正面朝上的硬幣數(shù)為奇數(shù)時(shí)，即為游戲成功．

(1)當(dāng)n=3，pk=13(k=1,2,3)時(shí)，求游戲成功的概率；

(2)當(dāng)pk=13(k=1,2,?,n)時(shí)，設(shè)游戲成功的概率為Qn(n∈N?)，求當(dāng)n≥2時(shí)，Qn?1與Qn的遞推關(guān)系，并證明{參考答案1.A

2.C

3.C

4.B

5.D

6.B

7.C

8.C

9.AC

10.ACD

11.CD

12.?1

13.14

14.1315.(1)因?yàn)榻咕酁?c=2，

所以c=1，

因?yàn)闄E圓E過點(diǎn)B(1,32)，

所以1a2+94b2=1a2?b2=1，

解得a2=4，b2=3，

則橢圓方程x24+y23=1；

(2)因?yàn)锽(1,32)，F(xiàn)(?1,0)，

所以直線BF方程為y?032?0=x+12+1，

16.(1)f′(x)=ax?x=a?x2x(x>0)．

當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)<0，此時(shí)函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時(shí)，由f′(x)=0，得x=?a(舍)或x=a，

當(dāng)x∈(0,a)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈(a,+∞)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減．

綜上可得：當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,a)上單調(diào)遞增，在(a,+∞)上單調(diào)遞減；

(2)由(1)可得，若a≤0，函數(shù)f(x)在[1,e]上單調(diào)遞減，而f(1)=?12<0，符合題意；

當(dāng)a>0時(shí)，由(1)知，若a≤1，函數(shù)f(x)在[1,e]上單調(diào)遞減，而f(1)=?12<0，符合題意；

若1<a<e2，f(x)在[1,a]上單調(diào)遞增，在[17.(1)根據(jù)題意，A同學(xué)通過前兩個(gè)環(huán)節(jié)的概率分別為23和12，

B同學(xué)和C同學(xué)前兩個(gè)環(huán)節(jié)中通過每一個(gè)環(huán)節(jié)的概率均為23，

A，B，C三位同學(xué)僅通過第一個(gè)環(huán)節(jié)的概率分別為：

P1=23×(1?12)=13，P2=23×(1?23)=29，P3=23×(1?23)=29，

所以恰有兩位同學(xué)僅通過第一個(gè)環(huán)節(jié)的概率為：

P=13×29×(1?29)+13×(1?29)×29+(1?X0123P5035816所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=0×5018.(1)證明：在圖中，連接OB，OD，

因?yàn)椤鰽BC和△ADC都是等腰三角形，且O是正方形中心，

所以AC⊥OD，AC⊥OB，OB∩OD=O，OB，OD?平面BOD，

所以AC⊥平面BOD．

(2)在翻折過程中，四面體ABCD的體積取最大值時(shí)，D點(diǎn)到平面ABC的距離最大，

此時(shí)平面ACD⊥平面ABC，

因?yàn)镈O⊥AC，所以DO⊥平面ABC．

所以O(shè)A，OB，OD兩兩垂直，如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，

OA，OB，OD所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

因?yàn)檎叫蜛BCD的邊長為2，

所以A(2,0,0)，D(0,0,2)，B(0,2,0)，C(?2,0,0)，

AD=(?2,0,2)，BC=(?2,?2,0)，

設(shè)異面直線AD與BC所成角為θ，

則cosθ=|cos<AD,BC>|=|AD?BC||AD||BC|=12，

因?yàn)棣取?0,π2]，所以θ=π3．

(ⅱ)19.(1)當(dāng)n=3時(shí)，要使游戲成功，需滿足正面朝上的數(shù)量為1或3，

此時(shí)，游戲成功的概率為：C31?13?(23)2+(13)3=1327；

(2)證明：設(shè)游戲成功的概率為Qn，當(dāng)n=1時(shí)，Q1=p1=13，接下來用Qn?1表示Qn，

當(dāng)n≥2時(shí)，投擲n枚硬幣C1，C2，…，Cn正面朝上的硬幣為奇數(shù)有兩種情況：

第一