第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年河北省唐山市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)(2+i)i的虛部為(

)A.2i B.2 C.?1 D.?i2.已知向量a=(m+1,1)，b=(3,?3)，若a/?/b，則A.2 B.?2 C.12 D.3.某公司生產(chǎn)A，B，C三種不同型號(hào)的電子產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為100，400，300件，為檢驗(yàn)不同產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上產(chǎn)品中抽取40件進(jìn)行檢驗(yàn)，則應(yīng)從C種型號(hào)的產(chǎn)品中抽取的件數(shù)為(

)A.5 B.10 C.15 D.204.已知圓臺(tái)上、下底面的半徑分別為1和2，高為1，則該圓臺(tái)的體積為(

)A.2π B.73π C.835.唐山河頭老街景區(qū)近期持續(xù)火爆出圈，甲、乙2人暑假來(lái)此地旅游的概率分別為25,23，假定2人的行動(dòng)相互沒(méi)有影響，則暑假至少有1A.15 B.45 C.2156.在△ABC中，已知C=π4，b=2，c=2，則BA.π6 B.π3 C.2π37.某小組有4名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)去參加歌詠比賽，下列選項(xiàng)中是互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件的是(

)A.至少有1名男生和至少有1名女生 B.至少有1名男生和全是男生

C.至少有1名男生和全是女生 D.恰有1名男生和恰有2名男生8.已知直四棱柱ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)均為2，∠BAD=π3，設(shè)aA.14 B.24 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.在△ABC中，M為邊AB的中點(diǎn)，則(

)A.AB=CB?CA B.BC=BA10.已知復(fù)數(shù)z=21?i，則(

)A.z?1是純虛數(shù) B.z?表示的點(diǎn)在第四象限

C.|z|=2 D.z11.在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，分別以邊AB，BC，AC所在的直線為軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成3個(gè)幾何體，分別記為W1，W2，W3，則A.幾何體W1側(cè)面積為20π

B.幾何體W2與幾何體W3的體積之比為5：3

C.幾何體W1與幾何體W3的外接球半徑之比為5：3

D.過(guò)幾何體三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.數(shù)據(jù)：1，2，3，3，5的第50百分位數(shù)是______．13.某學(xué)校為了解高一學(xué)生每周的課余鍛煉時(shí)間，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：高一男生鍛煉時(shí)長(zhǎng)平均為4.2小時(shí)，方差為1.96；

高一女生鍛煉時(shí)長(zhǎng)平均為3.7小時(shí)，方差為1.91，高一年級(jí)男生女生人數(shù)之比為3：2，則該校高一學(xué)生每周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)的方差為_(kāi)_____．

提示：s2=14.在△ABC中，已知2b?ac=cosAcosC，角C的內(nèi)角平分線交AB于點(diǎn)E，且CE=6，則四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知平面向量a與b的夾角為45°，且|a|=1，|b|=2．

(1)求a?b；

(2)求|a+2b|16.(本小題15分)

如圖，四棱錐S?ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD．

(1)求證：AC⊥平面SDB；

(2)若AB=1，直線SB與平面ABCD所成的角為60°，求四棱錐S?ABCD的體積．17.(本小題15分)

2025年5月22日16時(shí)49分，神舟二十號(hào)航天員陳冬、陳中瑞、王杰完成首次出艙任務(wù)，歷時(shí)約8小時(shí).安全返回天和核心艙.為了弘揚(yáng)航天精神，某校組織高一學(xué)生進(jìn)行了航天知識(shí)能力測(cè)試.現(xiàn)隨機(jī)抽取100名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)(單位：分)，將所得數(shù)據(jù)按照[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成6組，其頻率分布直方圖如圖所示．

(1)求圖中a的值；

(2)試估計(jì)本次航天知識(shí)能力測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表)；

(3)該校準(zhǔn)備對(duì)本次航天知識(shí)能力測(cè)試成績(jī)不及格(60分以下)的學(xué)生，采用分層隨機(jī)抽樣方法抽出5名同學(xué)，再?gòu)某槿〉倪@5名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)進(jìn)行情況了解，求這2名同學(xué)分?jǐn)?shù)在[40,50)，[50,60)各一人的概率．18.(本小題17分)

如圖，已知三棱柱ABC?A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面A1ACC1⊥平面ABC.D，E分別是棱BC，A1C1的中點(diǎn)．

(1)求證：DE//19.(本小題17分)

某小區(qū)擬在一個(gè)圓形的空地上，規(guī)劃一個(gè)形狀為四邊形的花園.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，△ABD為草坪區(qū)，△BCD為花卉區(qū)，根據(jù)規(guī)劃已知AB=120米，AD=80米，∠BAD=60°．

(1)當(dāng)∠BDC=45°時(shí)，求邊BC的長(zhǎng)；

(2)取BD的中點(diǎn)E，連接AE，求小徑AE的長(zhǎng)；

(3)若小徑從A點(diǎn)直通C點(diǎn)，當(dāng)線段AC最長(zhǎng)時(shí)，求花卉區(qū)△BCD的面積．

答案解析1.【答案】B

【解析】解：z=i(2+i)=?1+2i，其虛部為2．

故選：B．

由復(fù)數(shù)的運(yùn)算代入計(jì)算，即可得到結(jié)果．

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題．2.【答案】B

【解析】解：向量a//b，b=(3,?3)，a=(m+1,1)，

得?3(m+1)=1×3，所以m=?2．

故選：B．3.【答案】C

【解析】解：由A，B，C三種不同型號(hào)的電子產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為100，400，300件，

可得：分層抽樣的抽樣比為40100+400+300=120，

所以從C種型號(hào)的產(chǎn)品中抽取的件數(shù)為120×300=15．

故選：4.【答案】B

【解析】解：由題意，該圓臺(tái)r=1，R=2，?=1，

則該圓臺(tái)的體積V=13π?(R2+r2+Rr)=5.【答案】B

【解析】解：因?yàn)榧?、?人暑假來(lái)此地旅游的概率分別為25,23，

則暑假兩人都沒(méi)來(lái)此地旅游的概率為(1?25)×(1?23)=15，

所以暑假至少有6.【答案】A

【解析】解：在△ABC中，b=2<c=2，可得B<C，即B<π4，

由正弦定理bsinB=csinC，可得sinB=bsinCc7.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A，當(dāng)選到一男一女時(shí)，至少有1名男生和至少有1名女生同時(shí)發(fā)生，既不互斥也不對(duì)立，A錯(cuò)誤

對(duì)于B，兩名都是男生時(shí)，至少有1名男生和全是男生同時(shí)發(fā)生，既不互斥也不對(duì)立，B錯(cuò)誤

對(duì)于C，至少有1名男生和全是女生，是對(duì)立事件，C錯(cuò)誤

對(duì)于D，恰有1名男生和恰有2名男生，互斥而不對(duì)立，D正確．

故選：D．

根據(jù)互斥一定對(duì)立，對(duì)立不一定互斥的定義逐項(xiàng)分析判斷即可．

本題考查互斥事件、對(duì)立事件的判斷，注意互斥事件、對(duì)立事件的聯(lián)系，屬于基礎(chǔ)題．8.【答案】C

【解析】解：直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，四面體ACB1D1的六條棱所在直線能表征直四棱柱各個(gè)面上所有對(duì)角線，

該四棱柱的所有棱長(zhǎng)都為2，∠BAD=π3，

則AB1=AD1=B1C=CD1=22，B1D1=2,AC=23，

在△AB1D1中，cos∠B1A9.【答案】AB

【解析】解：在△ABC中，AB=CB?CA，A選項(xiàng)正確；

BC=BA+AC，B選項(xiàng)正確；

在△ABC中，M為邊AB的中點(diǎn)，則2CM=CB+CA，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；10.【答案】ABC

【解析】解：復(fù)數(shù)z=21?i=2(1+i)(1?i)(1+i)=1+i，

z?1=i是純虛數(shù)，故A正確；

z?=1?i表示的點(diǎn)(1,?1)在第四象限，故B正確；

|z|=2，故C正確；

(1+i)2+2(1+i)+2=4+4i≠011.【答案】AC

【解析】解：根據(jù)題意易知△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，

對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)閃1是底面圓半徑為4，母線長(zhǎng)為5的圓錐，

所以其側(cè)面積為π×4×5=20π，所以A選項(xiàng)正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)閃2是底面圓半徑為3，高為4的圓錐，

所以其體積為13×9π×4=12π，

又W3是底面圓半徑為125，直線AC為軸的共底面的兩個(gè)圓錐組合而成，

所以體積為V3=13π×(125)2×5=485π，V2V3=54，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)閃1軸截面等腰三角形底角正弦為35，

所以其外接球半徑為r1=52×35=256，

又W3的外接球半徑r3=12AC=52，所以r12.【答案】3

【解析】解：已知數(shù)據(jù)：1，2，3，3，5，

又5×50%=2.5，

的第50百分位數(shù)為第三個(gè)數(shù)，即為3．

故答案為：3．

根據(jù)第50百分位數(shù)定義可解．

本題考查百分位數(shù)相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．13.【答案】2

【解析】解：高一男生、女生鍛煉時(shí)長(zhǎng)平均數(shù)為x?=4.2,y?=3.7，方差分別為s12=1.96,s22=1.91，

則該校高一學(xué)生每周鍛煉時(shí)長(zhǎng)的平均數(shù)z?14.【答案】18【解析】解：在△ABC中，由2b?ac=cosAcosC及正弦定理得2sinB?sinAsinC=cosAcosC，

即2sinBcosC=sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C)=sinB，

則cosC=12，解得C=π3，

由S△ACE+S△BCE=S△ABC，得12b×6sinπ6+115.【答案】1；

13；

k=3【解析】(1)已知平面向量a與b的夾角為45°，且|a|=1，|b|=2，

則a?b=|a||b|cos45°=1×2×22=1；

(2)|a+2b|=a216.【答案】證明見(jiàn)解析；

63【解析】(1)證明：因?yàn)樗睦忮FS?ABCD的底面是正方形，所以AC⊥BD，

又SD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以SD⊥AC，又BD∩SD=D，

所以AC⊥平面SDB；

(2)因?yàn)镾D⊥平面ABCD，所以直線SB與平面ABCD所成的角為∠SBD=60°，

又易知BD=2，所以SD=3BD=6，

所以四棱錐S?ABCD的體積為13×1×1×6=63．

(1)要證明17.【答案】0.030；

71；

35．【解析】(1)由題意可得(0.010+0.015+0.015+a+0.025+0.005)×10=1，解得a=0.03；

(2)估計(jì)本次航天知識(shí)能力測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)為：

(0.010×45+0.015×55+0.015×65+0.03×75+0.025×85+0.005×95)×10=71；

(3)因?yàn)閇40,50)，[50,60)的頻率比為0.010：0.015=2：3，

設(shè)抽取的5人中[40,50)有2人為a，b、[50,60)有3人為A，B，C，

任抽2人有ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC，共10種情況，

其中分?jǐn)?shù)在[40,50)，[50,60)各一人有aA，aB，aC，bA，bB，bC，共6種情況，

故所求為610=35．

(1)根據(jù)頻率和為1求得a；

(2)由頻率直方圖的平均數(shù)求法可求得本次航天知識(shí)能力測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)；

18.【答案】證明見(jiàn)解析；

2．

【解析】(1)證明：取A1B1中點(diǎn)F，連接EF，BF，

由E是A1C1的中點(diǎn)，

所以EF//B1C1//BC,EF=12B1C1=BD，

所以四邊形BDEF是平行四邊形，所以DE/?/BF，

又因?yàn)锽F?平面A1ABB1且DE?平面A1ABB1，

所以DE/?/平面A1ABB1．

(2)在平面ACC1A1內(nèi)過(guò)點(diǎn)A1作A1H⊥AC于H，

因?yàn)槠矫鍭1ACC1⊥平面ABC，側(cè)面A1ACC1∩平面ABC=AC，

所以A1H⊥平面ABC，因?yàn)锳B?平面ABC，所以A1H⊥AB，

在平面ABC內(nèi)過(guò)H作HG⊥AB于G，連接A1G，

又因?yàn)锳1H∩HG=H，A119.【答案】40423米；

2019米；【解析】(1)四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，∠BAD=60°，則∠BCD=120°，

在△ABD中，