PAGE1專題02空間向量的數(shù)量積運算內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型強知識：6大核心考點精準(zhǔn)練第二步：記串知識識框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補缺快速提升知識點01：空間兩個向量的夾角1、定義：如圖已知兩個非零向量，在空間任取一點，作，，則么叫做向量的夾角，記.（特別注意向量找夾角口訣：共起點找夾角）2、范圍：．特別地，（1）如果，那么向量互相垂直，記作．(2)由概念知兩個非零向量才有夾角，當(dāng)兩非零向量同向時，夾角為0；反向時，夾角為，故(或)(為非零向量)．(3)零向量與其他向量之間不定義夾角，并約定與任何向量都是共線的，即．兩非零向量的夾角是唯一確定的．3、拓展（異面直線所成角與向量夾角聯(lián)系與區(qū)別）若兩個向量所在直線為異面直線，兩異面直線所成的角為，(1)向量夾角的范圍是0<<><，異面直線的夾角的范圍是0<<，(2)當(dāng)兩向量的夾角為銳角時，；當(dāng)兩向量的夾角為時，兩異面直線垂直；當(dāng)兩向量的夾角為鈍角時，.知識點02：空間向量的數(shù)量積1、定義：已知兩個非零向量，，則叫做，的數(shù)量積，記作；即．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.特別提醒：兩個空間向量的數(shù)量積是數(shù)量,而不是向量,它可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零;2、空間向量數(shù)量積的應(yīng)用(1)利用公式可以解決空間中有關(guān)距離或長度的問題;(2)利用公式可以解決兩向量夾角,特別是兩異面直線夾角的問題;3、向量的投影（1）如圖(1)，在空間，向量向向量投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量的投影，得到與向量共線的向量，向量稱為向量在向量上的投影向量．類似地，可以將向量向直線投影(如圖(2))．（2）如圖(3)，向量向平面投影，就是分別由向量的起點和終點作平面的垂線，垂足分別為，，得到，向量稱為向量在平面上的投影向量．這時，向量，的夾角就是向量所在直線與平面所成的角．4、空間向量數(shù)量積的幾何意義：向量，的數(shù)量積等于的長度與在方向上的投影的乘積或等于的長度與在方向上的投影的乘積.5、數(shù)量積的運算：（1），.（2）(交換律)．（3）(分配律).知識點03：空間向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)，是非零向量，是單位向量，則①；②；③或；④；⑤【題型01：空間向量的數(shù)量積運算】一、單選題1．（23-24高二下·浙江杭州·期中）正方體的棱長為1，則（

）A．1 B．0 C． D．2【答案】A【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的運算律，結(jié)合垂直關(guān)系即可求解.【詳解】,故選：A2．（24-25高二上·四川成都·階段練習(xí)）如圖，在棱長為2的正四面體（四個面都是正三角形）中，為棱的中點，則的值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】將轉(zhuǎn)化為，再利用數(shù)量積的定義求解.【詳解】由題意可知：.故選：A3．（24-25高二上·四川宜賓·期末）如圖所示，在平行六面體中，，則的值為（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】利用平面向基本定理可得，，利用向量的數(shù)量積的運算律可求解.【詳解】因為，，所以.故選：A.4．（2024高二·全國·專題練習(xí)）在正三棱錐中，是的中心，，則等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合正三棱錐的結(jié)構(gòu)特征求出，再利用數(shù)量積的運算律計算即得.【詳解】在正三棱錐中，為正的中心，，則平面，而平面，于是，，且，所以.故選：D5．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知棱長為的正四面體中，是的中點，是上一點，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由數(shù)量積的定義以及運算律代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】依題意，有，，設(shè)，則．故選:B．6．（24-25高二下·江蘇鹽城·期中）已知正四棱錐的所有棱長均為1，O為底面ABCD內(nèi)一點，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意作圖，根據(jù)空間向量的共面定理，求得參數(shù)，結(jié)合數(shù)量積的運算律，可得答案.【詳解】由題意可作圖如下：由，則，由共面，則，解得，所以.故選：B.【題型02：空間向量的夾角運算】一、單選題1．（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知空間向量，的夾角為，且，，則與的夾角是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律以及模長公式，結(jié)合夾角公式即可代入求解.【詳解】由，的夾角為，且，得，，設(shè)與的夾角為，則，由于，故故選：A2．（23-24高二下·江蘇·課前預(yù)習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，，則向量與的夾角是（）

A．30° B．45°C．60° D．90°【答案】C【分析】由線面垂直推導(dǎo)出線線垂直，再利用向量運算及夾角公式運算求解.【詳解】∵平面，平面，平面，∴.∵，，∴，又，∴E為的中點，∴.∵，∴.∵∴＝,又，∴.故選：C.3．（24-25高二上·廣東·期中）已知空間向量滿足，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)已知化簡得出，再兩邊平方結(jié)合數(shù)量積公式計算得出夾角余弦進(jìn)而求出夾角.【詳解】設(shè)與的夾角為.由，得，兩邊平方得，所以，解得.又，所以.故選：C.4．（24-25高二下·浙江溫州·開學(xué)考試）如圖，在平行六面體中，底面ABCD是正方形，，M是CD中點，，則直線與BM所成角的正弦值為（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】根據(jù)、，應(yīng)用向量數(shù)量積的運算律及夾角公式求直線與BM所成角的余弦值，進(jìn)而求其正弦值.【詳解】設(shè)，，由，所以，因為，所以，，所以，直線與BM所成角的正弦值為.故選：C5．（24-25高二上·湖南·階段練習(xí)）如圖所示，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，且，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用基底表示出向量，然后求出的模，余弦定理求出的長，在中，利用余弦定理的變形即可求出【詳解】如圖連接,則由題可知，∴，，，∴，在中,,,在中,故選：D.【題型03：空間向量模長的運算】一、單選題1．（23-24高二上·重慶九龍坡·階段練習(xí)）已知空間單位向量，，兩兩垂直，則（）A． B． C．3 D．6【答案】A【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義和運算律，可求得，由此可得結(jié)果.【詳解】由題意，，，，，，.故選：A.2．（24-25高二上·福建泉州·期中）平行六面體的底面是邊長為2的正方形，且，，則線段的長為（

）A．5 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)及數(shù)量積的運算律求出，即可得解.【詳解】因為，所以，所以，即線段的長為.故選：C3．（24-25高二上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）已知，，均為單位向量，且.若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先設(shè)與，與的夾角，再由已知得出，分，應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系結(jié)合數(shù)量積的定義計算求解.【詳解】設(shè)與的夾角為，與的夾角為，由，知,所以，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，所以，所以.故選：B4．（24-25高二上·河南信陽·期末）如圖，在三棱錐中，分別為的中點，則（

）A． B．2 C． D．1【答案】D【分析】利用空間向量的線性運算可得，結(jié)合空間向量數(shù)量積的運算律計算可得.【詳解】由題意得，，，，，∴，，.∵，∴.故選：D.5．（24-25高二上·四川成都·期末）如圖，二面角的棱上有兩個點，線段與分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱．若，，，二面角的平面角為，則（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)式子，根據(jù)空間向量數(shù)量積的運算律即可求出的長.【詳解】由條件知，，，又二面角的平面角為，則，所以，所以.故選：B.【題型04：投影向量的運算】一、單選題1．（23-24高二上·寧夏銀川·階段練習(xí)）已知，空間向量為單位向量，，則空間向量在向量方向上的投影向量的模長為（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】由空間向量在向量方向上的投影數(shù)量為，運算即可得解.【詳解】由題意，，，，則空間向量在向量方向上的投影數(shù)量為.所以所求投影向量的模長為2.故選：A2．（24-25高二下·全國·隨堂練習(xí)）在標(biāo)準(zhǔn)正交基下，已知向量，，則向量在上的投影數(shù)量為（

）A．3 B．2 C．6 D．4【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量的線性運算用基底表示，再求出在在投影數(shù)量即可.【詳解】因為向量，，因此，，所以向量在上的投影數(shù)量為.故答案為：A.3．（23-24高二上·河北唐山·期中）在空間四邊形中，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】在四面體中，用向量加法法則表示，再結(jié)合投影向量的計算方法求解.【詳解】在四面體中，因為，設(shè)，且，，則，在上的投影向量為.故選：B4．（24-25高二上·河南洛陽·階段練習(xí)）如圖，在八面體中，平面均垂直于底面，且，則下列向量中與向量在平面上的投影向量相等的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】取分別為的中點，連接，結(jié)合題意，由面面垂直的性質(zhì)定理結(jié)合共線向量的定義即可求解.【詳解】取分別為的中點，連接，因為，所以，因為平面平面，平面平面平面，所以平面，同理可得平面，所以向量在平面上的投影向量為，且.故選：.二、填空題5．（2024高二·全國·專題練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體中，向量在向量上的投影向量是，向量在平面上的投影向量是．

【答案】；.【分析】空（1），法一：應(yīng)用向量投影的定義求投影向量；法二：根據(jù)投影向量的幾何求法，結(jié)合正方體性質(zhì)確定投影向量；空（2），連接AC，交BD于點O，應(yīng)用線面垂直的判定證平面，再由投影向量的幾何法確定投影向量.【詳解】空（1）法一：在正方體中，易知，，向量與向量夾角為45°，，，所以向量在向量上的投影向量是．法二：設(shè)，如圖，由正方體的性質(zhì)得，，，向量在向量上的投影向量是．空（2）如圖，連接AC，交BD于點O，易知，線面垂直性質(zhì)有，由，平面，則平面，所以在平面上的投影向量就是，易知．

故答案為：；6．（23-24高二下·浙江寧波·期末）平面內(nèi)的點、直線可以通過平面向量及其運算來表示，數(shù)學(xué)中我們經(jīng)常會用到類比的方法，把平面向量推廣到空間向量，利用空間向量表示空間點、直線、平面等基本元素，經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，平面向量中的加減法、數(shù)乘與數(shù)量積運算法則同樣也適用于空間向量.在四棱錐中，已知是平行四邊形，，且面，則向量在向量方向上的投影向量是(結(jié)果用表示).【答案】【分析】運用投影向量的概念，結(jié)合數(shù)量積，基底只是求解即可.【詳解】向量在向量方向上的投影向量為.運用運用余弦定理求得.，，，展開化簡得到，，由于且面，則,則.代入，得到.則向量在向量方向上的投影向量為.故答案為：.

【題型05：空間向量中的垂直關(guān)系的運算】一、單選題1．（2024高二·全國·專題練習(xí)）已知空間向量滿足，則向量的夾角為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，求得，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】由向量，因為，可得，解得，所以.又因為，所以.故選：D．2．（23-24高二上·河北石家莊·期中）三棱錐中，，若，則（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)空間向量的運算，表示出，根據(jù)可得，結(jié)合數(shù)量積運算，即可求得答案.【詳解】由題意可知，而，故，即，所以，則，解得，即，故選：A3．（23-24高二上·新疆和田·期中）已知、、均為單位向量，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用空間向量數(shù)量積的定義與運算性質(zhì)可求得的值.【詳解】因為、、均為單位向量，，，由空間向量數(shù)量積的定義可得，，所以，，因此，.故選：C.4．（2025高二·全國·專題練習(xí)）在三棱錐中，，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由得到，由數(shù)量積的定義即可求解；【詳解】由，得，所以，即，于是，所以．故選：C5．（24-25高二上·貴州貴陽·階段練習(xí)）在正四棱錐中，，為的中點，.若，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律，結(jié)合垂直關(guān)系即可求解.【詳解】由于，且是正四棱錐，故，且側(cè)面均為等邊三角形，，故，則，故選：C【題型06：空間向量中的最值與范圍問題】一、單選題1．（24-25高二上·海南·期中）已知是空間中的三個單位向量，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可求得，再結(jié)合數(shù)量積的定義分析運算.【詳解】因為，則，，又，故當(dāng)，即與同向時，有最大值.所以.故選：D2．（24-25高二下·浙江·開學(xué)考試）已知是長方體表面上任意三點，且，則的最小值為（

）A．14 B． C．10 D．5【答案】B【分析】利用極化恒等式：，根據(jù)長方體的幾何性質(zhì)，可得答案.【詳解】取中點為，由極化恒等式，.又是長方體表面上任意三點，所以當(dāng)位于體對角線的兩個端點時，最大，最大值為；此時為長方體的中心，則當(dāng)位于長方形中心時，的值最小，最小值為1，所以的最小值為.故選：B.3．（2025·安徽安慶·模擬預(yù)測）在直棱柱中，，且，N是棱上的一點，且滿足，則的最小值為（

）A． B．6 C．3 D．【答案】B【分析】設(shè)，，，將向量分別用表示，代入，利用向量數(shù)量積的運算律化簡，求得，借助于二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得的最小值.【詳解】

設(shè)，，，則，，由，因，，則，代入整理得，，顯然，故，因，故當(dāng)時，取得最大值，此時取得最小值為36，故的最小值為為6.故選：B.4．（24-25高二下·河南新鄉(xiāng)·期中）記棱長為2的正方體的內(nèi)切球為球是球O的一條直徑，P為該正方體表面上的動點，則的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的加法運算和數(shù)量積的運算律求解.【詳解】由題意可得，球O的半徑為1．．當(dāng)P為正方體頂點時等號成立，故選：B5．（23-24高二下·福建漳州·期末）正方體的棱長為，是正方體外接球的直徑，為正方體表面上的動點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量數(shù)量積的運算律可知，，進(jìn)一步只需求出即可得解.【詳解】由題意等于正方體的體對角線長，設(shè)點為的中點，所以，則，當(dāng)點與某個側(cè)面的中心重合時，最小，且，當(dāng)點與正方體的頂點重合時，最大，且，由于點是在正方體表面連續(xù)運動，所以的取值范圍是，的取值范圍是.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題關(guān)鍵在于利用球心，將轉(zhuǎn)化為，然后分析點位置即可.6．（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，平面ABC，于點E，M是AC的中點，，則的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)垂直關(guān)系證明，再轉(zhuǎn)化向量表示，最后結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】連結(jié)，因為平面，平面，

所以，又，，平面，所以平面，平面，所以，因為點是的中點，所以，又，所以,當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為.故選：A一、單選題1．（2024·上海長寧·一模）已知非零空間向量和，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若則C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】根據(jù)空間向量平行與垂直的定義判斷即可.【詳解】若，則或與不共線，故選項A與B錯誤；若，則，故選項C錯誤，選項D正確.故選：D.2．（24-25高二上·貴州畢節(jié)·階段練習(xí)）在棱長為1的正方體中，設(shè)，則的值為（

）A．1 B．0 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量數(shù)量積的運算律計算即得.【詳解】在正方體中，，所以.故選：B3．（24-25高二上·江蘇南通·期末）已知平行六面體的所有棱長均為，，則對角線的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的線性運算，可得的表達(dá)式，兩邊平方即可求得.【詳解】由已知：平行六面體所有棱長均為，，則，又因為：，同理可得：，則，則.故選：.4．（24-25高二上·安徽·期中）已知四面體的所有棱長都等于，棱的中點分別是，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先分別將用表示，再根據(jù)空間向量數(shù)量積的運算律求解即可.【詳解】如圖所示，設(shè)，由題意知，且三向量兩兩夾角均為，，．故選：B.5．（24-25高二上·重慶·期末）已知空間向量，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)模長公式即可代入求解.【詳解】由可得，故，故，故選：B6．（24-25高二下·江蘇揚州·期中）在平行六面體中，，．取棱的中點M，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】取的中點，連接，結(jié)合圖形由向量的加法和數(shù)量積的運算律以及數(shù)量積的定義計算可得.【詳解】取的中點，連接，由圖形可得，所以，所以.故選：B7．（24-25高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知平行六面體中，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】要求，需有，利用空間向量的線性運算將轉(zhuǎn)化為即可.【詳解】如圖：，，.故選：B.8．（24-25高二上·內(nèi)蒙古赤峰·期末）如圖，設(shè)動點在棱長為的正方體的對角線上（不含端點），，當(dāng)為直角時，的值是（

）

A．2 B．1 C． D．【答案】D【分析】用表示，再根據(jù)它們的數(shù)量積為零可求的值.【詳解】由題設(shè)有，故，而，同理，，因為為直角，故，故，故，故（舍）或，故選：D.9．（24-25高二上·陜西榆林·階段練習(xí)）如圖，已知，，是邊長為1的小正方形網(wǎng)格上不共線的三個格點，點為平面外一點，且，，若，則（

）

A． B． C．6 D．【答案】D【分析】以為基底，表示出向量，利用空間向量的數(shù)量積求向量的模.【詳解】以為基底，則，，，，.因為，所以，則，所以.故選：D10．（24-25高二上·安徽阜陽·階段練習(xí)）斗拱是中國建筑上特有的構(gòu)件，是較大建筑物的柱與屋頂之間的過渡部分，用于支撐上部突出的屋檐，如圖（1），其簡化結(jié)構(gòu)如圖（2），其中是兩兩互相垂直的線段，為斗拱，滿足，且和都為鈍角．若，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，設(shè)點，得到，根據(jù)題意，列出方程，求得，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】以為原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，可得，所以，設(shè)點，可得，則，由，可得，，可得，所以，即，所以.故選：D.11．（23-24高二上·河南·階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，，，為的中點，為的中點，為的重心，與相交于點，則的長為（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的線性運算，結(jié)合三點共線可得，即可根據(jù)模長公式求解.【詳解】設(shè)，由題意得，則.設(shè)，則,故.由得，得，所以，故選：D12．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）如圖，已知平面，，，則向量在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)線面垂直以及已知角度求出，再結(jié)合投影向量可求得結(jié)果.【詳解】平面ABC，則，，向量在上的投影向量為.故選：D.13．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知圓錐的底面半徑為2，點P為底面圓周上任意一點，點Q為側(cè)面（異于頂點和底面圓周）上任意一點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用空間向量的線性運算及數(shù)量積公式結(jié)合夾角余弦的范圍計算即可.【詳解】如圖所示，延長交底面圓周于B，過Q作底面圓于G點，顯然，由題意可知，所以的取值范圍為.故選：A14．（23-24高二上·河南洛陽·階段練習(xí)）如圖，三棱錐各棱的棱長是1，點是棱的中點，點在棱上，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】首先在中利用余弦定理求出，然后由空間向量的運算法則可得，變形可得，由二次函數(shù)的知識可得答案.【詳解】根據(jù)題意，在中，，所以所以==則時，取得最小值，則的最小值為.故選：B15．（24-25高二上·安徽淮南·階段練習(xí)）已知正三棱錐的底面的邊長為，是空間中任意一點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)中點為，連接，設(shè)中點為，連接，，，利用轉(zhuǎn)化法求向量數(shù)量積的最值即可.【詳解