第二章Z變換

/1\m

(1)(2)X(H)=Iy”(〃)

]丫

(yjW(-W-l)(4)x(〃)=_L,(〃>J)

(5)x(〃)=〃sin(%〃),/2>0(3。為常數(shù))

(6)x(n)=Ar"cos(a)0n+<7>)u(n),0<r<1

1.求以下序列的Z變換，并畫出零極點圖和收斂域。

分析:

Z[x(n)]=X(z)=￡x(〃)z"

Z變換定義

n的取值是x（〃）的有值范圍。Z變換的收斂域

是滿足

=A/<oo

“70

的z值范圍。

X(z)=反川？"=+/〃z-“

n=-co〃=一co〃=0

008

az+牛z

〃=1H=0

_az]______]-a?

1-az?_￡(1-az)(1-az~})

z

二(?-l)z

a(z——)(z-a)

解：Q）由Z變換的定義可知：

a＜1

收斂域：I得V1,且即：時＜目＜立

z

極點為：z=a,z=—零點為：z=0,z=co

解：（2）由z變換的定義可知：

<501

x(z)=z(~yu(n)z-f!

2

極點為：z=，零點為：z=0

2

(3)x(〃)=一|不u(—n—1)

解：（3）

X(z)=Z—(4)'"(—〃—

n=-<x>2

s97

nn

=Y-2z=——r2—

占-2z

1

2

收斂域：|2z|<lE|J：|z|<-

2

極點為：z=L零點為：z=0

2

(4)宜〃)=，,(〃之1)

n

解：⑷X(z)=Z8L1「〃n

n=\n

...竽=力，(_〃『7=%一〃7)=」

|z|>l

d。/?=!nn=\z-z

.*.X(z)=Inz-ln(1-z)=In1

1-z

因為X(z)的收斂域和夕衛(wèi)的收斂域相同,

az

故X(z)的收斂域為|z|>l。

極點為：Z=0,Z=1零點為：z=8

(5)x(n)=〃sin〃>0(g為常數(shù))

解：(5)設(shè)y(n)=sin^n)u(n)

nz~1sing

則有Y(z)=^y(n)-z~=，|z|>l

n-81一2z-cosg+z~2

而x(/i)=/1-y(n)

???X(T"z)=3就離|z|>l

因此，收斂域為：|z|>1

極點為：z=/g.z="&。（極點為二階）

零點為：Z=1,Z=-1,Z=0,Z=CO

n

(6)x(〃)=Arcos(6>077+。)〃(〃),()<r<1

解：（6）

設(shè)1y(〃)=cos(00〃+。)?〃(〃)

=[(cos?/，)?cos。-sin(g〃)?sin。]心)

=8S。?cos(<y0/2)?〃(〃)一sin。?sin(o()〃)?u(n)

-1

1-zcos%.,z~'sin6y0

/.y(Z)=COS0?-sin(p----------------------——

1-2z“cosg+z~21-2z8sg+z

COS-Z~COS(^-67())II

----------Il------------------,2>1

1-2zcos<y0+z-

則Y(z)的收斂域為|z|>l而x(n)=Ar"?y(n)

,x(XM,H)=A[c°M：z,cos0i)]

r1-2zrcos<y0+r~z

則x(z)的收斂域為：忖>m。

2.假如x（〃）的z變換代數(shù)表示式是下式，問x（z）可能有多少

不同的收斂域。

分析：

有限長序列的收斂域為：0<同<8,<n<n2

特殊情況有：0<卜區(qū)8,〃出0

O^|z|<00,〃240

右邊序列的收斂域為：R.V目<8,/2>/2,

因果序列的收斂域為：7?v_<|z|<00,n>n]>0

左邊序列的收斂域為：

特殊情況有：同〈心+，〃4〃2?0

雙邊序列的收斂域為：&_<忖<&+

有三種收斂域：圓內(nèi)、圓外、環(huán)狀（=（）,z=8要單獨討論）

X(Z)=I1Q

a+4z-2)(1+/7)g?-)

解：對x（z）的分子和分母進行因式分解得

=__________2__________

ii3

(i+]yz-')(1-1yz-'xi+^z-1)

X(Z)的零點為：1/2,極點為：j/2，-j/2,-3/4

X(Z)的收斂域為：

（1）1/2<|Z|<3/4,為雙邊序列，請看〈圖形一,

（2）|Z|<1/2,為左邊序列，請看〈圖形二〉

⑶|Z|>3/4,為右邊序列，請看〈圖形三〉

3.用長除法留數(shù)定理9部分分式法求以EC(z)的z反變換

T

(1)X(z)=-2_,||>1(2)X(z)=，|z|<i

Zl一,

44

(3)X(z)=^-f|z|>|1|

\-az\a\

分析:

長除法：對右邊序列（包括因果序列）”（z）的分子、分母都要按

Z的降鬲排列，對左邊序列（包括反因果序列）〃（Z）的分子、分

母都要按Z的升鬲排列。

部分分式法：若x（z）用z的正幕表示,則按X（z）/z寫成部分分

式，然后求各極點的留數(shù)，最后利用已知變換關(guān)系求z反變換可得

x(/?>

留數(shù)定理法：

n-|

⑴注意留數(shù)表示是Res(X(z)zi)1=.=(z-zJX(z)z|2=2

因而X(Z)Z〃T的表達式中也要化成"(z-z.的形式才能相抵

消，不能用1/(1-Z?T)來和(Z-Z.)相抵消，這是常出

現(xiàn)的錯誤。

(2)用圍線內(nèi)極點留數(shù)時不必取號(負號)，用圍線外極點留

數(shù)時要取號(負號)。

(1)(i)長除法：

A⑶=—;—=-j—

1--Z-21+-Z-1

42

極點為2=-1/2,而收斂域為：|2|>1/2,

因而知X(〃)為因果序列，所以分子分母要

按降塞排列

X(z)=l--z-,+-

24

/1、"

所以：X(H)=-----?〃(〃)

(1)(ii)留數(shù)定理法：

---;---z"“dz,設(shè)C為

2*+N

2

|z|>g內(nèi)的逆時針方向閉合曲線：

當〃20時，

'-Z"T=一二Z〃在C內(nèi)有

1+NZ+1

2

z=-《一個單極點

2

z

則x(n)=Re5,n>0

7I2

z+-

2

-2

由于x(〃)是因果序列，

故〃vO時，X(7?)=0

所以x(〃)=昌

?〃(〃)

(1)(iii)部分分式法：

1--Z-11

x”卡=TZ

T

z+—

422

因為卜唱

所以》(〃)二(-！

?u(n)

I2

(2)(i).長除法：

由于極點為z=；,而收斂域為|z|<；

因而x(〃)是左邊序列，所以要按z的

升幕排列：

8+28z+112z2+...

2-8z

7z

7z-28z?

28z2

2822—112Z3

X(z)=8+28z+112z2+...

=8+力7.4"?z"

〃=l

=8+￡7?4-〃?Z-"

〃■-8

所以x(〃)=8,S(〃)+7,(；1)

(2)(ii)留數(shù)定理法：

X(z)z”Tdz設(shè)c為|4<：,內(nèi)的逆時針方向閉合曲線

當n<0時：

X(Z)Z〃T在C外有一個單極點Z=J

4

.?.x(〃)=—Res[X(z)z"T],

z=-

4

=7-4r,(n<0)

4

當n=0時：

X(z)zn-l在c內(nèi)有一個單極點z=0

二M")=Re.s[X(2)z'i上旬=8,n=0

當〃>0時：X(z)z"T在c內(nèi)無極點,

則:x(n)=0,n>0

綜上所述，有：

x(n)=85(〃)+7(—)7u(-n-1)

4

(2)(iii).部分分式法：

X(z)z-28-7

--------=-------------=-4-----------

Z/1\Z1

44

貝|JX(z)=8_J￡_=8_^_

Z--fz

4

因為|z|<4則是左邊序列

114

所以x(〃)=83(〃)+7(與〃(一〃-1)

4

(3)(i).長除法：

因為極點為z=/由目＞5可知/(〃)為

因果序列，因而要按Z的降導排列：

111'T1/1'-2

--+-(z?——)z+-(a--)z+…

所以

x(〃)=---8(〃)+(a---)?—?u(n-1)

(3)(ii),留數(shù)定理法:

x(〃)=萬1'X(z)z"Tdz,設(shè)c為忖>，

內(nèi)的逆時針方向閉合曲線。

當n>0時：

X(z)z”T在C?內(nèi)有Z=/一個單極點

x(〃)=Res[x(z)z"T]z，

a

11Y

=(a)--,(n>0)

a3

當〃=0時：X(z)z"T在C內(nèi)有

z=0,z=’兩個單極點

a

x(0)=Res[x(z)z叫z」+Re.s[x(z)z〃-Lo

a~

11

=a----a=—

aa

當〃<0時：由于x(〃)是因果序列，

此時JC(M)=0O所以

11f1V

x(〃)=---(y(〃)+(a---)—?u(n-1)

aa

(3)(iii).部分分式法：

2

X(z-)-----=z---a---------=a-----1--1-a-------

zz(l-az\z1-az

貝！]X(z)=—a+(a--)——5—

1

a1i—z尸

a

所以

、i(iX

x(n)=(-a)?(n)+(a——)?—?u(/i)

=---5(〃)+(a—)?u(n-1)

aa

4.有一右邊序列x(n)，其z變換為X(z)=--------------

(1zOl-zT)

J

-1

(a)將上式作部分分式展開(用z表示)，由展開式求x(n)0

(b)將上式表示成z的多項式之比，再作部分分式展開，由展開

式求x(〃)，并說明所得到的序列與⑶所得的是一樣的。

注意：不管哪種表示法最后求出*(")應(yīng)該是相同的。

解：(a)

_1o

因為X(z)=---+-~r

1-2

2

且x(n)是右邊序列

所以x(〃)=(2-3))〃(〃)

(b)

X(z):——f——

(z--)(z-l)

31

—z—

=1+22

(z-；)(z-l)

1

則x(〃)=-(1)w(/?-1)+2w(z?-1)

(1Y

=(2--)〃(〃)

\^)

5.對因果序列初值定理是“°)=吧*⑶，如果序列為〃＞。時

x(〃)=°,問相應(yīng)的定理是什么?

719

X(z)=1224"一

.3一i—2

1---Z4-Z

2

討論一個序列M“),其z變換為：

X(z)的收斂域包括單位圓，試求其x(0)值。

分析：

這道題討論如何由雙邊序列z變換X(Z)來求序列

初值x(0),把序列分成因果序列和反因果序列兩部分,

［它們各自由X(z)求x(0)表達式是不同的］,將它們

各自的x(0)相加即得所求。

解：當序列滿足〃:>o,M〃)=。時，有：

0

X(z)=Zx(〃)z?"

〃=一00

=x(0)+x(-llz+x(-2)z-2+?..

所以此時有：limX(z)=x(O)

=-?0

若序列x(n)的Z變換為:

719z-i■一旦

12—24"

X(z)=1224

■

2

z

-------------+-^―=X,(z)+X2(z)

4(z-2)

3(z--)

2

??.X(z)的極點為z,=2,z2=1

由題意可知：X(Z)的收斂域包括單位圓

則其收斂域應(yīng)該為：3v|z|v2

則王(〃)為〃<。時為有值左邊序列，

x2(n)為因果序列:

x,(O)=limX1(z)=lim—=0

二->0二->O4(z—2)

x-,(0)=limX,(z)=lim-----^――=-

…3(z-l)3

2

/.x(0)=項(0)+x2(0)=g

6.有T言號y(〃)，它與另兩個信號司5)和馬(〃)的

關(guān)系是：y（〃）=為5+3）*々（一〃+1）

陽(〃)咱?(?)(1

其中/小(〃)=~"5)

\3)

已知小加

利用z變換性質(zhì)求＞（〃）的z變換y（z）。

分析：

⑴注意移位定理：

x(n)cX(z)x(-n)cX(z~l)

x(n+in)<->zmX(z).x(—n+m)OzX(z-1)

(2)y(〃)=%(〃)*X2(〃)則r(2)=X1(z)X2(2)o

解：根據(jù)題目所給條件可得：

L,、z1

$(〃)<>——:—x2(n)<----：---

I--z-,

23

7Z3

=>尤［(〃+3)<-->———^4

2

>1

z

x2(-n+1)<>"|z|<3

l--z

3

而y(n)=X](〃+3)*9(一〃+1)

所以y(z)=Z[x,(n+3)].Z卜(-〃+D]

3z3

(z-3)(z-l)

7.求以下序列1伽)的頻譜X(e加)。

(1)3(〃一〃0)(2)

(3)e~(a+Mnu(n)(4)cos@o〃)

分析：

可以先求序列的Z變換X(z)再求頻率

X(")X(V)=X(z)|zi

即X)為單位圓上的Z變換，或者直接求序列的

傅里葉變換X)=乞xge-e

〃="co

解：

對題中所給的H〃)先進行z變換

再求頻譜得：

(1)/X(z)=z[x(n)]

=Z[^(/7-W0)j

=z

.-.x(^)=x(z)L?w

(2)=X(z)=Z[加〃Si]

1

~l-e-az-l

.?.X("=X(z)J

1-n

(3):X(z)=

1

一]_6一3-"%)2-1

.?.X(ea)=X(z)L/

1

a

_\_e-

(4)

*.*X(z)=Z卜""〃(〃)cos(&o〃)]

1-z~'e~acos①0

1-2z~ye~acosg+z~2e

.?.X(")=X(z)g

JMa

\-e~e~cos69o

-jMa2j(u2a

1-2e~e-cos<y0+e~e~

8.若王(〃),工2(〃)是因果穩(wěn)定序列，求證：

I1?/T.?八1rn?八1C.

—[X(eJ(a)X(eJ：0)c^={—\XSeJ(0)d(D\{-\X(eJ<l,)dco}

2萬J]22)J-n2乃Jr2

分析：

利用時域卷積則頻域是相乘的關(guān)系來求解

MS)*%2(〃)=XSeiM}X{eiM)eiMndco

242

而

X(〃)*x2(n)\n=0=X](0)x2(0)

X(eJO,)X(eJM)dco,

'-J：x2

再利用蒼（〃）、&（〃）的傅里葉反變換，代入=:0即可得所需結(jié)果。

證明:

設(shè)=再(〃)則

y(n)?x2(M)

y(z)=X,(z).X2(z)

ja,ja,j(0

/.Y(e)=X1(e)-X2(e)

,「X](〃&)X2

2兀j

=y(〃)

2兀JT

=勺（〃）*々（〃）|“0

〃

=￡玉（攵區(qū)（〃-幻

.A-071=0

=X](0)-x2(0)

???/(〃)=；["X]①"j①

L7lJf

ja,jan

x2(/z)=y-￡X2(e)edco

"(0)=X.(^W

招(0)=1「X式/)ds

24J-不

cR

A—IX1(*)X2(/)市y

2/rJ-*

二｛q-「X式*)d①)

2KI2/rJr

9.求X（〃）=/?5（〃）的傅里葉變換。

分析:

這道題利用傅里葉變換的定義即可求解，但最后結(jié)果應(yīng)化為模和相角的關(guān)系。

解：根據(jù)傅里葉變換的概念可得：

N-\.

j(0

X(e)=DTFT[RN(n)]=

〃二o

e~j(0_j；3j\(0

e-e--e2

①*2%%,女為整數(shù)

Nco=2k4

.,.當0w2攵疝寸，

X(e"")=|sinsin

argX(eW)

+arg[sin(N%)/sin(%)]

八,2乃,24/

〔丁J。+〃萬,——(n+1)

當N=5時，即可得到所需的和

argX(e"")c

10.設(shè)X(*)是如下圖所示的工5)信號的傅里葉變換,

不必求出X(e，“)，試完成下列計算：

(a)X(ej0)(b)f7Xd)clco

J一乃

.2

(c)「X(e"")(d)「dS

J-kJ—dco

分析：

利用序列傅里葉變換的定義、它的導數(shù)以及帕塞瓦公式

為匚k(。"")1ds=其民5)「。

解：

0000

3)X(〃。)=「(〃)0如=「5)=6

〃=YO"=YO

S)「X(ea)d3=『X(ejM)ejod(o

=2TTx(0)

=4不

(c)由帕塞瓦爾公式可得：

J|x(e"')「d6y=2乃Xk(〃)「=28〃

〃="oo

(d)；X(e』")=力x(〃)/W

〃=7

??學f(f)…

d①之刃

即。療7[(-加)M〃)]=dX,')

d(o

由帕塞瓦爾公式可得：

'03匕=70

8

=24n2x2（n）

〃=一8

=2乃（9+1+0+1+9+64+25+0+49）

=316產(chǎn)

11.已知H”）有傅里葉變換x（T）,用x（＞0）表示下列信號的

傅里葉變換。

(a)X](〃)=x(l-〃)+M-1-〃)(b)芻（〃）:空必迪

2

2

(C)x2(/i)=(n-l)x(n)

分析：

利用序列翻褶后移位關(guān)系以及頻域的取導數(shù)關(guān)系式來求解。

x(〃)=X(〃&),M-〃)oX(e-j")

.dX(eJ@)「

-j-------=DTrT\rix(n)]o

dd)

解：

(a)O7FT[x(〃)]=X("。)

DTFr[x(-n)]=Xd)

DTFT[x(1-?)]=e-jt0X("%)

(

DTFT[X(-1-H)]=ei0X(e-j(0)

j<t,j(0

DTF7[xi(n)]=X(e-+e]

=2X(0-"”)coso

(b)DTFT[x(-n)]=X\ej6))

因而：DTFg⑺=Xy);X(")

=Re[X(e>)]

(C)X(〃&)=向

〃=-30

則dX/=￡(—加)x5)"向〃

dco工

即DTF7\iix(n)\=dX{e}

(-j)dco

.dX(/)

=J-;-----

do

同理:“川島⑺]

.dJdXd)

d(odco

d2X(ej(0)

deer

2

而x3(n)=nx(n)-2nx(n)+x(n)

所以

DTFT[x3(n)]

=DTFl[rx(n)\-2DTFl[nx(n)]

+DTFl\x(n)\

=，x(/)_2心QI””。)

dco~dco

12.已知用下列差分方程描述的一個線性移不變因果系統(tǒng)

y(n)=y(n-1)+y(n-2)+x(n-1)

(a)求這個系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，畫出其零極點圖并指出其收斂區(qū)域;

(b)求此系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)；

(c)此系統(tǒng)是一個不穩(wěn)定系統(tǒng)，請找一個滿足上述差分方程的穩(wěn)

定的(非因果)系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)C

分析：

x(n)<->X(z),力(〃)cH(z),y(n)7Y⑵

則”(z)=y(z)/X(z)=Z①(〃)],

要求收斂域必須知道零點、極點o收斂域為z平面

某個圓以外，則為因果系統(tǒng)(不一定穩(wěn)定)，收斂域

若包括單位圓，則為穩(wěn)定系統(tǒng)(不一定因果\

(a)對題中給出的差分方程的兩邊作Z變換，得：

y(z)=z-,r(z)+Z~2Y(Z)+z~lx(z)

所以H(z)=旦旦=—=-------------

X(z)1—Z—Z~(Z—<7])(z—a2)

零點為z=0,極點為z=%=0.5（1+⑹=1.62

z=ooz=a2=0.5（l-V5）=-0.62

因為是因果系統(tǒng)，所以|z|＞1.62是其收斂區(qū)域。

零極點圖如右圖所示。

右邊是本題的零極點圖。

(〃)因為H(z)=---------=--------=—!---------=----------

zaza

(z-at)(z-a2)ci\-\_~\~i

1r___1__________1____

[

-a2\-a2z~

188

=------Vanz~n-Va^nz~n

]念{白-J

所以h(n)=-------(q"

6一叼

式中?1=1.62,a2=-0.62

由于"(z)的收斂區(qū)域不包括單位圓，故這是個不

穩(wěn)定系統(tǒng)C

（C）若要使系統(tǒng)穩(wěn)定，則收斂區(qū)域應(yīng)包括單位圓,因此選“（Z）的

收斂區(qū)域為同＜同＜4，即0.62＜目＜1.62,則

-a2\_z-aAz-a2

中第一項對應(yīng)一因果序列，而第二項對應(yīng)一個因果序列。

所以H(z)=—!---------Ya."z-n

則有h(n)=——-—(a"u(-n-1)-〃(〃))

=-0.447x[(1.62)”//(-/?-1)+(一().62)〃〃(/?)]

從結(jié)果可以看出此系統(tǒng)是穩(wěn)定的，但不是因果的。

13.研究一個輸入為x(n)和輸出為y(n)的時域線性離散移不變系

統(tǒng),已知它滿足)，(〃T)-岑)，(〃)+y(n+1)=x(n)

并已知系統(tǒng)是穩(wěn)定的。試求其單位抽樣響應(yīng)。

分析：

在Z變換域中求出H(S)=h(E)\X(E),

然后和題12(0一樣分解成部分分式分別

求Z反變換。

解：

對給定的差分方程兩邊作Z變換，得：

z-,y(z)-^r(z)+zy(z)=x(z)

則：〃8)=也

X(z)

1

=~~~ib

Z--+Z

3

z

(z-3)(z-1)

極點為Z]=3,z2=g,

為了使它是穩(wěn)定的，收斂區(qū)域必須包括

單位圓,故取l/3<|zk3。

利用第十二題(c)的結(jié)果，q=3,%=1/3

即可求得

h(n)=3H//(-/?-1)+(g)〃(〃)

14.研究一個滿足下列差分方程的線性移不變系統(tǒng)，該系統(tǒng)

不限定為因果、穩(wěn)定系統(tǒng)。利用方程的零極點圖，試求

系統(tǒng)單位抽樣響應(yīng)的三種可能選擇方案。

5

)，(〃-1)--y(〃)+y(n+1)=%(〃)

解：

對題中給定的差分方程的兩邊

作Z變換，得：

z-|y(z)-1Y(z)+zY(z)=X(z)

y(z)

"(Z)=

因此X(z)

5

z-1---------FZ

2

z

(z—2)(z—：)

其零點為z=°

Zj=2-

極點為2

f

因為該系統(tǒng)不限定為因果，穩(wěn)定系統(tǒng)，所以其收斂域情況有三種，分別如

左圖所示。

收斂域情況有:

z>2

零極點圖一：

—vzv2

零極點圖二：2

1

NV

零極點圖三：2

注：如果想要參看具體題解，請先選擇方案，然后單擊解答按鍵即可。

⑴按12題結(jié)果(此處zl=2,z2=l/2),

可知當收斂區(qū)域為2>2廁系統(tǒng)

是非穩(wěn)定的，但是因果的。其單

位抽樣響應(yīng)為：

〃(〃)=—!—(z「-

Z|12

2

(2)同樣按12題，當收斂區(qū)域為

目<2

則系統(tǒng)是穩(wěn)定的但是非因果的。

其單位抽樣響應(yīng)為:

n

〃(〃)=-----z"u(-n-1)+z2u(n)

Z2-Zi

2「(1Y

=--2Hu(-n-1)+—I4(〃)

(Iz2l<lz|<|z1I)

(其中4=2Z2=/)

⑶

Izl<—

類似，當收斂區(qū)域為“2時，

則統(tǒng)是非穩(wěn)定的，又是非因果的。

其單位抽樣響應(yīng)為:

h(n)=-----(一〃-1)-z^u(-n-

Z2-Z1

2

=--(2n-Tn)u(-n-\)

3

r1

Z]=2,z,=不

(其中—2)

15.有一個用以下差分方程表示的線性移不變因果系統(tǒng)

y(n)-2ry(n-1)cos0+r2y(n-2)=x(〃)

當激勵以〃）二〃"（〃）時，求系統(tǒng)的響應(yīng)。請用Z變換來求解。

分析:

兩種解法：

①直接由Z變換Y(Z)的關(guān)系可得到y(tǒng)(n),

②由Y(z)用留數(shù)法可求得y(n1

解法一：

已知

則X72)-27(〃一l)cos。+r~y(n-2)

將上式進行Z變換，得：

Y(z)-2比-T(z)cos。+r2z-2Y(z)

1

1-az~}

因此

?)二

_____________i_____________

(1-2/^-1cos。4-r2z-2)(1-tzz-1)

_______________I

-(1-reJ0z-l)(l-re^z^Xl-az-')

1￡(一)〃管］.叵(B。)？

Lw=oJL/=o.

LA=OJ

888

w=()/=()k=()

j(nl)9k-(l+m+k)

C-4乙

令〃=，〃+/+〃

則y（z）=

titA-

n=0/=0A=0

所以y(〃)=

弋f--kjg2l-k、Ok

/■《■

/=0k=4

解法二：

差分方程進行Z變換后得：

H"）\-2rz~'cos^+r2z-2

z2

（Z-Z））（Z-Z2）

苴中Z1=re"=〃（cose+/sin。）

j0

z2=re~=r（cos0-/sin0）

故y（z）="（z）x（z）

z3

（Z-ZI）（Z-Z2）（Z-6Z）

其收斂區(qū)域為忖〉ma6M|］。因為

是因果系統(tǒng)，且當時x（〃）等

于零，所以丁（〃）=。，〃<0當〃>0

時，采用圍線積分法，其中圍線C

包圍z「z2M三個極點，所以

)，(〃)=工卜(z)z"—,z=z]二82a)z「2-(Z]4)Z2"+2+(4Z2W

”5)

P=I(Z]-z2)(zl-a)(z2-a)

將Z|=Y、z?=代入上式，即可得到

y(?)

16,下圖是一個因果穩(wěn)定系統(tǒng)的結(jié)構(gòu),試列出系統(tǒng)差分方程，

求系統(tǒng)函數(shù)。當瓦=05，*=「。產(chǎn)05時，求系統(tǒng)單

位沖激響應(yīng)，畫出系統(tǒng)零極點圖和頻率響應(yīng)曲線。

分析：

解法一：利用此系統(tǒng)是一階系統(tǒng)寫出差分方程，令其二階項系統(tǒng)為零,

可得一階差分方程,取Z變換求得H(z)從而求得h(ni

解法二：將系統(tǒng)用流圖表示，改變流圖中兩個一階節(jié)的級聯(lián)次序

(線性系統(tǒng)服從交換定理)，然后寫出差分方程，再取Z變換

求得H(z)從而求得h(n1

解法一:由圖示可得