第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年甘肅省白銀市某校高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知向量a=(?12,12)，bA.1 B.?1 C.32 2.(文)若tanα=2，則tan(π4+α)A.3 B.?3 C.13 D.3.已知i為虛數(shù)單位，若(2+i)z=1+i，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a=33，b=3，A=π3，則A.π4 B.π6 C.π125.已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為3，側(cè)棱長(zhǎng)為2，且該三棱柱的6個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的體積為(

)A.83π B.163π C.6.把一枚骰子連續(xù)拋擲兩次，得到的點(diǎn)數(shù)依次為a，b，則使得關(guān)于x的方程x2+ax+b=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根的概率為(

)A.118 B.512 C.7127.美麗的千島湖位于浙江省淳安縣境內(nèi)，是“世界三大千島湖”之一，也是國(guó)家5A級(jí)旅游景區(qū).千島湖有三座島嶼A，B，C，旅游公司準(zhǔn)備在島嶼C上開(kāi)發(fā)一個(gè)旅游項(xiàng)目，需測(cè)量其高度，由于地理位置等原因無(wú)法直接測(cè)量.如圖，在島嶼B的底部測(cè)得島嶼C的頂部D處的仰角為60°，并測(cè)得島嶼C在島嶼B的北偏西75°方向上，另外測(cè)得島嶼C在島嶼A的北偏東60°方向上，島嶼B在A的正東方向600m處，且三座島嶼A，B，C在同一水平面上，則島嶼C的高度為(

)A.3002m B.3006m8.柱是建筑物中用來(lái)承托建筑物上部重量的直立的桿體，俗稱(chēng)“柱子”.柱子在各個(gè)時(shí)期既有延續(xù)與繼承，又有發(fā)展和變化，如方柱在秦代時(shí)開(kāi)始出現(xiàn)，而在漢代時(shí)則又增加了八角形柱、束竹式柱、人像柱等.某涼亭的一根正三棱形柱子可近似看作如圖所示的圖形，記該正三棱柱為ABC?A1B1C1，其底面邊長(zhǎng)是3，側(cè)棱長(zhǎng)是125，M為A1C1的中點(diǎn)，N是側(cè)面A.27 B.272C.12 D.6二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列各式的運(yùn)算結(jié)果為純虛數(shù)的是(

)A.(1+i)(1?i) B.i(1+i) C.(1+i)2 10.關(guān)于函數(shù)f(x)=cosx(cosx?4sinπ3sinx)?sinA.若f(α?π6)=23，α∈(0,π2)，則sinα=33

B.若向量a=(?1,3)與b=(2,0)11.已知一個(gè)古典概型的樣本空間Ω和其隨機(jī)事件A和隨機(jī)事件B，其中n(Ω)=20，n(A)=12，n(B)=8，n(A∪B)=18，則(

)A.n(A∩B)=2 B.n(A∩B?)=10

C.事件A與事件B是互斥事件 D.事件A三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若在復(fù)平面上的矩形ABCD中，AC對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2?3i，BD對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為?4+i，則DA對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是______．13.在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，A1A=4，M，N分別是CD14.如圖所示，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=4，BD=5，∠BCA=30°，∠ADB=45°，則AC=______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知復(fù)數(shù)z=(1?i)22+i．

(1)求復(fù)數(shù)z；

(2)若az+b=1+4i，求實(shí)數(shù)16.(本小題15分)

已知向量a，b，c在同一平面內(nèi)，且a=(2,?1)，b=(3,1)．

(1)若|c|=210，且c與b共線，求向量c的坐標(biāo)；

(2)若向量a+3b與向量k17.(本小題15分)

讀書(shū)可以增長(zhǎng)知識(shí)，開(kāi)拓視野，修身怡情.某中學(xué)為了解本校學(xué)生課外閱讀的情況，按性別進(jìn)行分層，用分層隨機(jī)抽樣的方法從全校學(xué)生中抽出一個(gè)容量為100的樣本，其中男生30名，女生70名.經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，分別得到30名男生一周課外閱讀時(shí)間(單位：小時(shí))的頻數(shù)分布表和70名女生一周課外閱讀時(shí)間(單位：小時(shí))的頻率分布直方圖．小時(shí)頻數(shù)[0,2)6[2,4)15[4,6)6[6,8)3(1)由頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖估計(jì)總樣本的平均數(shù)z?；(注：以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值)

(2)從一周課外閱讀時(shí)間為[2,4)的樣本學(xué)生中按比例抽取10人，再?gòu)倪@10人中任意抽取2人，求恰好抽到一男一女的概率．18.(本小題17分)

如圖，已知在正方體ABCD?A1B1C1D1中，P，Q分別為對(duì)角線BD，CD1上的點(diǎn)，CQQD1=BPPD=λ(0<λ<1)．

(1)求證：PQ//平面BCC1B119.(本小題17分)

如圖，已知扇形OPQ的半徑為2，面積為2π3，C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，四邊形ABCD是扇形的內(nèi)接矩形(點(diǎn)A、B在半徑OP上，點(diǎn)D在半徑OQ上)．

(1)求弧PQ的長(zhǎng)．

(2)記∠POC=α，當(dāng)α取何值時(shí)，矩形ABCD的面積最大？并求出這個(gè)最大面積．

答案解析1.【答案】A

【解析】解：因?yàn)閍⊥b，a=(?12,12)，b=(k,1)，

所以a?b=?122.【答案】B

【解析】解：根據(jù)兩角和的正切公式，得：

tan(π4+α)=1+tanα1?tanα3.【答案】A

【解析】解：由(2+i)z=1+i，得z=1+i2+i=(1+i)(2?i)(2+i)(2?i)=2+1+i4+1=35+14.【答案】B

【解析】解：在△ABC中，a=33，b=3，即a>b，可得A>B，

由正弦定理得sinB=bsinAa=3×sinπ333=12，結(jié)合B<A，可得B=5.【答案】C

【解析】解：因?yàn)檎庵牡酌孢呴L(zhǎng)為3，側(cè)棱長(zhǎng)為2，且該三棱柱的6個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，

所以上下底面正三角形的外接圓的半徑為3×32×23=3，

且三棱柱的外接球的球心到上下底面距離為1，

所以由勾股定理得該球的半徑R=d2+6.【答案】D

【解析】解：若方程x2+ax+b=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則Δ=a2?4b<0．

一枚骰子連續(xù)拋擲兩次，得到的點(diǎn)數(shù)依次為a，b，記為(a,b)，所有可能共6×6=36種，

其中滿(mǎn)足題意的有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，

(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，

(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共17種．

故使得關(guān)于x的方程x2+ax+b=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根的概率為1736．

故選：7.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意可知，在島嶼B的底部測(cè)得島嶼C的頂部D處的仰角為60°，

島嶼C在島嶼B的北偏西75°方向上，另外測(cè)得島嶼C在島嶼A的北偏東60°方向上，

則∠DBC=60°，∠CBA=15°，∠DCB=∠DCA=90°，∠CAB=30°，AB=600m，

設(shè)CD=?，則CB=33?，

在△ABC中，∠ACB=180°?∠CAB?∠CBA=180°?15°?30°=135°，

由正弦定理，得ABsin∠ACB=BCsin∠CAB，即600sin135°=BCsin30°，解得BC=3002m8.【答案】B

【解析】解：在正三棱柱為ABC?A1B1C1中，分別取C1B1，B1B的中點(diǎn)P，Q，連接MP，PQ，

因?yàn)镸P//A1B1，A1B1/?/AB，

所以MP/?/AB，MP?平面ABC1，AB?平面ABC1．

所以MP/?/平面ABC1.又PQ//C1B，PQ?平面ABC1，C1B?平面ABC1．

所以PQ/?/平面ABC1，MP∩PQ=P，MP，PQ?平面MPQ，

所以平面MPQ//平面ABC1．

所以當(dāng)點(diǎn)N在線段PQ上運(yùn)動(dòng)時(shí)，有MN/?/平面ABC1，9.【答案】CD

【解析】解：(1+i)(1?i)=2，2不是純虛數(shù)，故A錯(cuò)誤；

i(1+i)=?1+i，?1+i不是純虛數(shù)，故B錯(cuò)誤；

(1+i)2=2i，2i是純虛數(shù)，故C正確；

i2(?i)=i，i是純虛數(shù)，故D正確．

故選：CD10.【答案】ABD

【解析】解：由題意得f(x)=cos2x?sin2x?23cosxsinx

=cos2x?3sin2x=2(cos2xcosπ3?sin2xsinπ3)=2cos(2x+π3)，

由f(α?π6)=2cos(2α?π3+π3)=2cos2α=2?4sin2α=23，可得sin2α=13，

結(jié)合α∈(0,π2)，解得sinα=33，可知A項(xiàng)正確；

根據(jù)cosθ=?21+3×4=?12，θ∈[0,π]，可得θ=2π11.【答案】AB

【解析】解：根據(jù)題意，根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A，因?yàn)閚(Ω)=20，n(A)=12，n(B)=8，n(A∪B)=18，

則n(A∩B)=2，A正確；

對(duì)于B，因?yàn)閚(Ω)=20，n(A)=12，n(B)=8，n(A∪B)=18，

則n(B?)=12，n(A∩B?)=n(A)?n(A∩B)=10，B正確；

對(duì)于C，由于n(A∩B)=2，即事件A、B可以同時(shí)發(fā)生，則事件A與事件B不是互斥事件，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，P(AB?)=1020=12，P(A)P(B?)=1220×1220=925，

則P(A12.【答案】1+i

【解析】解：在復(fù)平面上的矩形ABCD中，AC對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2?3i，BD對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為?4+i，

可得DA=?12(AC+BD)=?12[(2?3i)+(?4+i)]=1+i13.【答案】42【解析】解：由題意正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，A1A=4，M，N分別是CD，CC1的中點(diǎn)，

作出圖形：

令E為CN的中點(diǎn)，連接ME、A1E.

因?yàn)镸是CD的中點(diǎn)，則ME//DN，

所以A1M與DN所成的角即為A1M與ME所成的角，

即∠A1ME(或其補(bǔ)角)，

由AB=2，A1A=414.【答案】5【解析】解：根據(jù)題意可知，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=4，BD=5，∠BCA=30°，∠ADB=45°，

在△ABD中，根據(jù)正弦定理得ABsin∠ADB=BDsin∠BAD，

即sin∠BAD=5×224=528，

所以sin∠ABC=sin∠BAD=5215.【答案】z=?25?45i【解析】(1)z=(1?i)22+i=?2i(2?i)(2+i)(2?i)=?4i?25=?25?4516.【答案】c=(?6,?2)或c=(6,2)；

k=?1，a+3b【解析】(1)根據(jù)c與b共線，設(shè)c=λb=(3λ,λ)，

由|c|=210，可得9λ2+λ2=210，解得λ=±2．

當(dāng)λ=2時(shí)，c=(6,2)，當(dāng)λ=?2時(shí)，c=(?6,?2)，

所以c=(?6,?2)或c=(6,2)；

(2)由題意得a+3b=(2,?1)+3(3,1)=(11,2)，

ka?3b=k(2,?1)?3(3,1)=(2k?9,?k?3)，

因?yàn)橄蛄縜+3b與向量ka?3b共線，

所以17.【答案】3.82；

715．【解析】(1)由頻數(shù)分布表估計(jì)男生一周課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)為：

x?=1×6+3×15+5×6+7×330=3.4，

由頻率分布直方圖估計(jì)女生一周課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)為：

y?=0.05×2×1+0.25×2×3+0.10×2×5+0.10×2×7=4．

所以估計(jì)總樣本的平均數(shù)z=3.4×30+4×70100=3.82．

(2)由頻數(shù)分布表，頻率分布直方圖知，

一周課外閱讀時(shí)間為[2,4)的學(xué)生中男生有15人，女生有0.25×2×70=35人，

若按比例抽取10人，則男生有10×1515+35=3人，記為xi，i=1，2，3，

女生有10×3515+35=7人，記為yi，i=1，2，3，4，5，6，7，

從這10人中抽取2人，樣本空間Ω={x1x2,x1x3,x2x3,y1y2,y1y3,y1y4,y1y5,y1y6,y1y7,

y2y3，y2y4，y2y5，y2y6，y2y7，y3y4，y3y5，y3y6，y3y7，y4y5，y4y6，y4y7，y5y6，y5y18.【答案】證明見(jiàn)解析；

11+λ(0<λ<1)【解析】(1)證明：如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，連接CP并延長(zhǎng)，與DA的延長(zhǎng)線交于M點(diǎn)，

則平面PQC和平面AA1D1D的交線為D1M.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以BC/?/AD，

故△PBC∽△PDM，

所以CPPM=BPPD=λ(0<λ<1)．

又因?yàn)镃QQD1=BPPD=λ(0<λ<1)，

所以CQQD1=CPPM=λ，所以PQ/?/MD1．

因?yàn)镸D1?平面A1D1DA，PQ?平面A1D1DA，

所以PQ/?/平面A1D1DA．

又平面BCC1B1/?/平面A1D1DA，

故PQ/?/平面BCC1B1．

(2)當(dāng)ARAB的值為11+λ(0<λ<1)時(shí)，能使平面PQR/?/平面A1D1DA．

證明：如圖，因?yàn)锳R