第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年河南省普通高中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={?1,0,2,4}，B={?2,0,2,3}，則A∩B=(

)A.{0} B.{2}

C.{0,2} D.{?2,?1,0,2,3,4}2.已知i為虛數(shù)單位，則|2?3i|=(

)A.2 B.3 C.5 D.3.如圖，用斜二測(cè)畫法作出四邊形ABCD的直觀圖為四邊形A′B′C′D′，若A′B′//D′C′//x′軸，A′D′//B′C′//y′軸，且A′B′=2B′C′=2，則四邊形ABCD的面積為(

)A.2 B.22 C.4 4.cos160°cos130°?sin(?160°)cos40°=(

)A.32 B.12 C.?5.現(xiàn)有4名男志愿者和2名女志愿者報(bào)名參加第21屆文博會(huì)的服務(wù)工作，從這6名志愿者中隨機(jī)抽取2人安排在文博會(huì)的A展區(qū)工作，則抽取的2名志愿者中有一男一女的概率為(

)A.13 B.25 C.7156.已知正實(shí)數(shù)a，b滿足a+2b=1，則2aA.8 B.6 C.4 D.27.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(5?x)=f(x)，當(dāng)0≤x≤52時(shí)，f(x)=2x?1，則f(?14)=(

)A.?1 B.1 C.3 D.78.為測(cè)量河流對(duì)岸某“5G”信號(hào)塔的塔頂信號(hào)源A到地面的距離AB，甲設(shè)計(jì)了如下測(cè)量方案：如圖，在河岸上選取一基準(zhǔn)線PQ，且測(cè)得PQ=2m，在基點(diǎn)P，Q以及PQ的中點(diǎn)M處分別測(cè)得塔頂信號(hào)源A的仰角為α，β，δ(α<δ<β)，則AB=(

)A.2msinαsinβsinδsin2βsin2δ+sin2αsin2δ?2si9.已知A，B是隨機(jī)事件，且P(A)=0.8，P(B)=0.5，則下列命題正確的有(

)A.A與B可能為互斥事件

B.若P(A∩B)=0.4，則A與B相互獨(dú)立

C.若B?A，則P(AB)=0.5

D.若A與B相互獨(dú)立，則P(10.已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分圖象如圖，且點(diǎn)A(3π8,1)，B(7πA.ω=43

B.φ=π3

C.直線x=?π8是f(x)圖象的一條對(duì)稱軸

11.如圖，已知梯形ABCD是圓臺(tái)OO1的軸截面，AD=10，CD=2，P，Q分別是弧AB和母線BC的中點(diǎn)，PB=2A.圓臺(tái)OO1的體積為7π

B.異面直線DP與BC所成角的正弦值為147

C.AD⊥PB

D.平面DPQ與平面ABP所成二面角的正切值為355

三、填空題：本題共12.已知向量a=(4,0)，b=(x,1)，若(a+2b)⊥13.已知a>0，且a≠1，函數(shù)f(x)=ax?1,x≤11x?2a,x>1在14.已知總體劃分為兩層，通過(guò)分層隨機(jī)抽樣，各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)、樣本方差分別為m，x?，s12；n，y?，s22.記總的樣本平均數(shù)為ω?，樣本方差為s2，則s2=1m+n四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為z?，z?在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(?1,?2)，i為虛數(shù)單位．

(1)求復(fù)數(shù)z；

(2)若zi是方程x2?ax?b=0(a,b∈R)的根，求a16.(本小題15分)

某校組織了“人工智能知識(shí)”測(cè)試，現(xiàn)隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)(單位：分)，這200名學(xué)生的成績(jī)分布在區(qū)間[40,100]內(nèi)，并分成6組：第1組為[40,50)，頻數(shù)10；第2組為[50,60)，頻數(shù)20；第3組為[60,70)，頻數(shù)30；第4組為[70,80)，頻數(shù)50；第6組為[90,100]，頻數(shù)30，繪制成如圖所示的部分頻率分布直方圖．

(1)請(qǐng)將頻率分布直方圖補(bǔ)充完整；

(2)估計(jì)這200名學(xué)生成績(jī)的70%分位數(shù)．17.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=ln(e2x?2+1)?x．

(1)比較f(0)，f(2)的大小關(guān)系；

(2)證明：函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱；

(3)若關(guān)于x的方程m18.(本小題17分)

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a+b=c2+ab．

(1)求C；

(2)已知CD為∠C的平分線，且CD交AB于點(diǎn)D．

(ⅰ)若CD=2，求AC+AD的取值范圍；

(ⅱ)若點(diǎn)E滿足EB=19.(本小題17分)

如圖，在三棱錐P?ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB=BC=2，∠ABC=120°，M，N，E分別為BC，AC，PC的中點(diǎn)．

(1)證明：平面MNE//平面PAB；

(2)若PA⊥PB，PA=PB，三棱錐P?ABC的外接球?yàn)榍騉．

(ⅰ)證明：A，B，C，O四點(diǎn)共面；

(ⅱ)求直線PO與平面PBC所成角的正弦值．

答案解析1.【答案】C

【解析】解：因?yàn)锳={?1,0,2,4}，B={?2,0,2,3}，

所以A∩B={0,2}．

故選：C．

根據(jù)交集的定義可求A∩B．

本題考查了交集的定義與運(yùn)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．2.【答案】D

【解析】解：由復(fù)數(shù)模的公式可知，|2?3i|=22+(?3)2=133.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，直觀圖四邊形A′B′C′D′中，若A′B′//D′C′//x′軸，A′D′//B′C′//y′軸，且A′B′=2B′C′=2，

則原圖四邊形ABCD中，AB/?/CD/?/x軸，且AB=DC=2，AD//BC//y軸且AD=BC=2，

故四邊形ABCD為邊長(zhǎng)為2的正方形，其面積S=2×2=4．

故選：C．

先由直觀圖的定義和性質(zhì)得到四邊形ABCD為邊長(zhǎng)為2的正方形即可求解．

本題考查平面圖形的直觀圖，涉及斜二測(cè)畫法，屬于基礎(chǔ)題．4.【答案】A

【解析】解：原式=cos160°cos(90°+40°)+sin160°cos40°

=?cos160°sin40°+sin160°cos40°

=sin(160°?40°)=sin120°=32．

故選：A5.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，4名男志愿者用1、2、3、4表示，2名女志愿者用a、b表示，

設(shè)A=“抽取的2名志愿者中有一男一女”，

則Ω={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,a)，(1,b)，(2,3)，(2,4)，(2,a)，(2,b)，(3,4)，(3,a)，(3,b)，(4,a)，(4,b)，(a,b)}，共15個(gè)基本事件，

A={(1,a)，(1,b)，(2,a)，(2,b)，(3,b)，(4,a)}，共有8個(gè)基本事件，

故P(A)=815．

故選：D．

我們需要先求出從這6名男志愿者中隨機(jī)抽取的2人的所有情況數(shù)，再求出抽取的2名志愿者中有一男一女的情況數(shù)，利用古典概型公式即可求出．6.【答案】A

【解析】解：由已知，a，b是正實(shí)數(shù)，

所以2a+b=(a+2b)(2a+b)=4+ab+4ab≥4+2ab?4ab=8，

當(dāng)且僅當(dāng)ab=4ab即a=17.【答案】B

【解析】解：因?yàn)閒(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(5?x)=f(x)，

所以f(?x)=f(x)，

故f(5?x)=f(?x)，

可得f(x+5)=f(x)，所以f(x)的周期為5．

當(dāng)0≤x≤52時(shí)，f(x)=2x?1，

故f(?14)=f(1)=2×1?1=1．

故選：B．

由f(x)是偶函數(shù)，結(jié)合f(5?x)=f(x)得到f(x)的周期為5，再由0≤x≤52時(shí)，8.【答案】A

【解析】解：由題意得PM=MQ=m，設(shè)AB=x，

則在△ABQ中，sinβ=ABAQ，故AQ=xsinβ，

同理可得AP=xsinα，AM=xsinδ，

在△PAM中，由余弦定理得cos∠PMA=PM2+MA2?AP22PM?MA=m2+x2sin2δ?x2sin2α2m?xsinδ，

在△QAM中，由余弦定理得9.【答案】BCD

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A，P(A+B)=P(A)+P(B)?P(AB)≤1，

而P(A)=0.8，P(B)=0.5，則P(A)+P(B)=0.8+0.5=1.3>1，

必有P(AB)>0，事件A與B不可能為互斥事件，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，若P(A∩B)=0.4，此時(shí)P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.5=0.4，

則A與B相互獨(dú)立，故B正確；

對(duì)于C，若B?A，則P(AB)=P(B)=0.5，故C正確；

對(duì)于D，若A與B相互獨(dú)立，則A?與B相互獨(dú)立，

所以P(A?∪B)=P(A?)+P(B)?P(A?B)=1?P(A)+P(B)?P(A?)P(B)10.【答案】AC

【解析】解：根據(jù)f(3π8)=f(7π8)=1，可得sin(3π8ω+φ)=sin(7π8ω+φ)=12，

結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，可得3π8ω+φ=2kπ+π6,7π8ω+φ=2kπ+5π6,k∈Z，

解得ω=43，φ=2kπ?π3，k∈Z，結(jié)合|φ|<π2，可得φ=?π3，故A正確，B錯(cuò)誤；

根據(jù)f(x)=2sin(43x?π3)，可得f(?π8)=2sin[411.【答案】ABD

【解析】解：對(duì)于A，因?yàn)镻是弧AB的中點(diǎn)，所以△PAB是等腰直角三角形，

所以PC=PB=22，AB=4．

作圓臺(tái)的軸截面如圖所示，作CG⊥AB，DH⊥AB，得到四邊形DHGC為矩形．

所以AH=AB?CD2=4?22=1，圓臺(tái)的高?=DH=(10)2?12=3，

因?yàn)樯系酌鎴A的面積為π，下底面圓的面積為4π，

則圓臺(tái)的體積為V=13(π+4π+π?4π)×3=7π，故A正確；

對(duì)于B，取AB中點(diǎn)O，連接OD，OP，

由P為弧AB中點(diǎn)可得OP⊥AB，

過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB，連接PH，

則OH=OA?AH=1，且OB=CD=2，且OB/?/CD，

則四邊形BODC為平行四邊形，

所以CB/?/OD，則異面直線CB和DP所成的角為DO與DE所成角，即為∠ODP，

又因?yàn)镈H=3，PH=OP2+OH2=5，

所以DP=HP2+DH2=14，

在△ODP中，OD=CB=10，OP=2，DP=14，

則∠DOP=90°，則sin∠ODP=OPDP=147，故B正確；

對(duì)于C，連接點(diǎn)PO并延長(zhǎng)，與圓交于另一點(diǎn)E，連接AE，DE，

由BP//AE，可得∠DAE或其補(bǔ)角即是異面直線BP和AD所成的角．

又由AE=22，AD=10，DE=DP=14，

有cos∠DAE=AD2+AE2?DE22?AD?AE

=(10)2+(22)2?(14)22×10×22=125≠0，∠DAE≠90°，故C不正確；

對(duì)于D，延長(zhǎng)DQ交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接FP與圓臺(tái)的底面圓周的交點(diǎn)為N，過(guò)D、Q分別作DH⊥AB、QM⊥AB，垂足分別為H、M，連接HP，OP，MP，

由選項(xiàng)A，B知AH=1，DH=3，DP=14

因?yàn)镼是CB的中點(diǎn)，則BF=DC=2，QM=12DH=32，

HF=AB?AH+BF=5，MF=12HF=52,OM=OF?MF=4?52=32，

所以DF=DH2+HF2=34，

PQ=12.【答案】?2

【解析】解：由題意可知，a+2b=(4+2x,2)．

由(a+2b)⊥a得(a+2b)?a=0，

13.【答案】[2【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ax?1,x≤11x?2a,x>1在R上單調(diào)遞減，

所以a1?1≥1?2a0<a<1，解得23≤a<1，

故實(shí)數(shù)a14.【答案】3

【解析】解：總體劃分為兩層，通過(guò)分層隨機(jī)抽樣，

各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)、樣本方差分別為m，x?，s12；n，y?，s22，

記總的樣本平均數(shù)為ω?，樣本方差為s2，

則s2=1m+n{m[s12+(x??ω?)2]+n[s22+(y??ω?)2]}，

設(shè)這7個(gè)樣本數(shù)據(jù)為x1，x2，…，x7，且x1≤x2≤...≤x7，

x1，x2，x3的均值為x?，方差為s12，

x4，x5，x6，x7的均值為y?，方差為s22，

則3x?+4y15.【答案】z=?1+2i；

a=4，b=?5．

【解析】(1)z?在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(?1,?2)，則z?=?1?2i，所以z=?1+2i；

(2)由(1)可得zi=?1+2ii=(?1+2i)ii2=2+i是方程x2?ax?b=0(a,b∈R)的根，

則2?i是方程的另一復(fù)數(shù)根，

所以a=(2+i)+(2?i)=4，?b=(2+i)(2?i)=5，即a=416.【答案】頻率分布直方圖見解析；

85．

【解析】(1)根據(jù)題意可知，第五組為[80,90)，頻數(shù)為200?(10+20+30+50+30)=60，

∴第五組的頻率為60200=0.3，頻率組距=0.03，

∴頻率分布直方圖如圖：

(2)設(shè)這200名學(xué)生成績(jī)的70%分位數(shù)為x，

∵前4組頻率之和為：10×(0.005+0.01+0.015+0.025)=0.55<0.7，

前5組頻率之和為：10×(0.005+0.01+0.015+0.025+0.03)=0.85>0.7，

∴這200名學(xué)生成績(jī)的70%分位數(shù)落在第5組[80,90)內(nèi)，

∴x?8010=0.7?0.550.3?x=85，∴這200名學(xué)生成績(jī)的70%分位數(shù)為85．

(1)求出第五組的頻率和頻率組距17.【答案】f

=f

；

證明見解析；

(?∞,?2]∪[?1,+∞)．

【解析】(1)函數(shù)f(x)=ln(e2x?2+1)?x的定義域?yàn)镽，

由題可得f(0)=ln(e?2+1)，f(2)=ln(e2+1)?2=lne2+1e2=ln(1+e?2)=f(0)．

(2)證明：因?yàn)閒(x+2)=ln(e2x+2+1)?x?2=lne2x+2+1ex+2=ln(e?x?2+ex)，

f(?x)=ln(e?2x?2+1)+x=ln(e?2x?2+1)+lnex=ln(e?x?2+ex)，

所以f(x+2)=f(?x)，

所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱；

(3)因?yàn)榉匠蘭2+3m=2f(x)?2ln2有解，

令t=e2x?218.【答案】2π3；

(ⅰ)(4,+∞)；(ⅱ)5【解析】(1)由a+b=c2+ab，可得a2+b2?c2=?ab，

則由余弦定理得cosC=a2+b2?c22ab=?ab2ab=?12，

又C∈(0,π)，所以C=2π3；

(2)(ⅰ)在△ACD中，由正弦定