PAGE1專題25雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型強(qiáng)知識(shí)：10大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練第二步：記串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測(cè)過(guò)關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升知識(shí)點(diǎn)01：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)1、雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程（）（）圖形性質(zhì)范圍或或?qū)ΨQ性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)，,漸近線離心率，，a，b，c間的關(guān)系2、等軸雙曲線（，）當(dāng)時(shí)稱雙曲線為等軸雙曲線性質(zhì)：①；②離心率；③兩漸近線互相垂直，分別為；④等軸雙曲線的方程，；3、對(duì)雙曲線離心率的理解在橢圓中，橢圓的離心率可以刻畫橢圓的扁平程度．在雙曲線中，雙曲線的“張口”大小是圖象的一個(gè)重要特征．因?yàn)椋援?dāng)?shù)闹翟酱?，漸進(jìn)線的斜率越大，雙曲線的“張口”越大，也就越大，故反映了雙曲線的“張口”大小，即雙曲線的離心率越大，它的“張口”越大．【常用結(jié)論】①若漸近線方程為，則雙曲線方程可設(shè)為，②若雙曲線與有公共漸近線，則雙曲線的方程可設(shè)為（，焦點(diǎn)在軸上，，焦點(diǎn)在軸上）知識(shí)點(diǎn)02：直線與雙曲線的位置關(guān)系設(shè)直線，雙曲線聯(lián)立解得：（1）時(shí)，，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)（左支一個(gè)點(diǎn)右支一個(gè)點(diǎn)）；，，或k不存在時(shí)，直線與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)；（2）時(shí)，存在時(shí)，若，，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)；若，時(shí)，，直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)；時(shí)，，直線與雙曲線相離，沒(méi)有交點(diǎn)；時(shí)，直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)；相切當(dāng)不存在，時(shí)，直線與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)；直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)；注：直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線不一定與雙曲線相切，當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線相交，只有一個(gè)交點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)03：弦長(zhǎng)公式1、直線被雙曲線截得的弦長(zhǎng)公式，設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，為直線斜率知識(shí)點(diǎn)04：雙曲線中點(diǎn)弦與點(diǎn)差法設(shè)為雙曲線弦（不平行軸）的中點(diǎn)，則有證明：設(shè)，，則有，兩式相減得：整理得：，即，因?yàn)槭窍业闹悬c(diǎn)，所以：所以【題型01：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)】一、解答題1．（24-25高二上·陜西渭南·期末）已知雙曲線方程，寫出它的頂點(diǎn)坐標(biāo)，焦點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算它的焦距，實(shí)軸長(zhǎng)，虛軸長(zhǎng)，漸近線方程以及離心率.二、單選題2．（24-25高二下·廣東揭陽(yáng)·月考）若雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4，則的值為（

）A． B． C． D．3．（23-24高二上·江蘇揚(yáng)州·期中）若雙曲線的焦點(diǎn)與橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)重合，則的值為（）A．2 B．4 C． D．4．（24-25高二上·江蘇常州·期中）雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的2倍，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A． B． C． D．5．（24-25高二上·云南紅河·期末）雙曲線與雙曲線的（

）A．實(shí)軸長(zhǎng)相等 B．虛軸長(zhǎng)相等C．離心率相等 D．焦距相等三、多選題6．（24-25高二下·湖南·月考）已知雙曲線和，其中，且，則（

）A．與虛軸長(zhǎng)相等 B．與焦距相等C．與離心率相等 D．與漸近線相同【題型02：由雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程】一、單選題1．（23-24高二下·湖南·期中）已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為6，焦點(diǎn)為，則的漸近線方程為（

）A． B．C． D．2．（24-25高二上·江蘇徐州·期中）以橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為焦點(diǎn)，以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．3．（24-25高二上·寧夏銀川·期中）已知雙曲線的一條漸近線方程是，實(shí)軸的長(zhǎng)度為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．4．（24-25高二上·四川宜賓·期中）已知等軸雙曲線過(guò)點(diǎn)，則該雙曲線方程為（

）A． B．C． D．5．（23-24高二上·四川成都·期末）已知雙曲線的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的倍，且與橢圓有公共焦點(diǎn)，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．二、解答題6．（24-25高二上·陜西西安·月考）求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)已知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)；(2)漸近線方程為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).7．（24-25高二·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)；(2)與雙曲線1有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)；(3)與雙曲線有公共的漸近線，且過(guò)點(diǎn)．【題型03：求雙曲線離心率的值】一、單選題1．（24-25高二下·山西·開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線的焦距為12，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．22．（24-25高二下·貴州六盤水·月考）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)作軸的垂線交雙曲線于兩點(diǎn)，若是正三角形，則的離心率為（

）A． B． C． D．3．（24-25高二下·河南商丘·月考）已知，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，以線段為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．4．（24-25高二上·湖北武漢·期末）雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為、，以的實(shí)軸為直徑的圓記為，過(guò)作圓的切線與的兩支分別交于、兩點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．二、填空題5．（24-25高二上·湖北襄陽(yáng)·期末）已知分別為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，，則雙曲線的離心率為．6．（24-25高二下·四川瀘州·月考）設(shè)雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)是上的點(diǎn)，若是等腰直角三角形，則的離心率是．7．（2025·福建廈門·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線交的左支于，兩點(diǎn).（為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)到直線的距離為，則該雙曲線的離心率為．8．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知是雙曲線的左，右兩個(gè)焦點(diǎn)，若雙曲線上存在一點(diǎn)滿足，則該雙曲線的離心率為．【題型04：求雙曲線離心率的取值范圍】一、單選題1．（24-25高二上·廣東江門·期末）設(shè)雙曲線的離心率為，雙曲線漸近線的斜率的絕對(duì)值小于，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·天津·期末）已知雙曲線的兩條漸近線之間的夾角小于，則雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（24-25高二上·江蘇南通·月考）若直線與雙曲線無(wú)公共點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．（24-25高二上·遼寧大連·期末）已知點(diǎn)是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在一點(diǎn)滿足，則該雙曲線的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．（24-25高二下·湖北·開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與雙曲線的左支交于A，B兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為8a，則雙曲線離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．（24-25高二上·湖北·月考）已知，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于、兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、填空題7．（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）如果雙曲線右支上總存在到雙曲線的中心與右焦點(diǎn)距離相等的兩個(gè)相異點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍是．8．（23-24高二上·貴州銅仁·月考）已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為、，焦距為．若以線段為直徑的圓與直線有交點(diǎn)，則雙曲線C的離心率取值范圍為9．（24-25高二上·內(nèi)蒙古包頭·期末）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線的右支上，且，則雙曲線離心率的取值范圍是.【題型05：雙曲線離心率中的參數(shù)問(wèn)題】一、單選題1．（24-25高二上·湖北武漢·月考）已知雙曲線的離心率為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·河南·月考）設(shè)雙曲線，的離心率分別為，.若，則（

）A． B．2 C．4 D．83．（2025·江西·三模）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，離心率為3，為上一點(diǎn)，且位于第一象限，若垂直于軸，則直線的斜率為（

）A．1 B．2 C．3 D．4．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）點(diǎn)是雙曲線上的點(diǎn)，，是其焦點(diǎn)，雙曲線的離心率是，且，若的面積是9，則的值等于（

）A．4 B．5 C．6 D．75．（23-24高二上·江蘇常州·期中）已知雙曲線的中心為，離心率為，焦點(diǎn)為，，為上一點(diǎn)，，則（

）A． B．3 C．4 D．8二、填空題6．（23-24高二上·安徽·期中）已知雙曲線的離心率是分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的垂線在軸上方交雙曲線于點(diǎn)，則的值為.7．（24-25高二上·上?！て谀┮阎p曲線的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為、，關(guān)于的一條浙近線的對(duì)稱點(diǎn)為．若，則的面積為．【題型06：雙曲線的漸近線】一、單選題1．（2025·福建南平·三模）已知雙曲線的一條漸近線為，則的離心率為（

）A． B． C．2 D．2．（24-25高二下·云南文山·月考）已知雙曲線的一條漸近線的斜率，一個(gè)焦點(diǎn)為，則雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為（

）A． B． C．3 D．63．（2025·山東濟(jì)寧·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，為上一點(diǎn)，的兩條漸近線方程為，若，則（

）A．1 B．13 C．1或13 D．2或144．（24-25高二下·湖南長(zhǎng)沙·期末）設(shè)F為雙曲線（，）的右焦點(diǎn)，，分別為C的兩條漸近線的傾斜角，且滿足，已知點(diǎn)F到其中一條漸近線的距離為，則雙曲線C的焦距為（

）A． B．2 C． D．45．（2025·四川瀘州·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，直線與的左?右兩支分別交于點(diǎn)，若，則的漸近線方程為（

）A． B．C． D．6．（2025·山東聊城·二模）雙曲線的方程為，直線與雙曲線左右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，與兩條漸近線分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若E，F(xiàn)是線段AB的三等分點(diǎn)，則的值為（

）A．4 B．8 C．12 D．24二、填空題7．（24-25高二下·上海楊浦·期末）雙曲線的兩條漸近線的夾角是，則該雙曲線的焦距長(zhǎng)是.8．（2025·河北秦皇島·模擬預(yù)測(cè)）過(guò)原點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，為的右頂點(diǎn)，直線與直線的斜率之積為3，則的漸近線方程為．9．（24-25高二下·湖南長(zhǎng)沙·月考）已知，設(shè)橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，且，則雙曲線的漸近線的方程為．10．（24-25高二下·上?！ぴ驴迹┮阎请p曲線的左右焦點(diǎn)，l是的一條漸近線，以為圓心的圓與l相切于P．若雙曲線的離心率為，則．【題型07：直線與雙曲線的位置關(guān)系】一、解答題1．（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知雙曲線，直線，試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍，使：(1)直線l與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)直線l與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)直線l與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn)．2．（23-24高二上·上?！ぴ驴迹┮阎c(diǎn)在雙曲線上，且雙曲線的一條漸近線的方程是．(1)求雙曲線的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線僅有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值．3．（24-25高二上·河南駐馬店·期中）已知雙曲線的離心率為，焦點(diǎn)F到漸近線的距離為1.(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線與雙曲線E的左支交于不同兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【題型08：弦長(zhǎng)及三角形面積問(wèn)題】一、解答題1．（24-25高二上·天津和平·期中）已知雙曲線C：的焦距為且左右頂點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線C的右支交于M，N兩點(diǎn).(1)求雙曲線的方程；(2)若直線的斜率為，求弦長(zhǎng).2．（24-25高二上·福建福州·月考）已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2，右焦點(diǎn)F到漸近線的距離為.(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線被雙曲線C截得的弦長(zhǎng)為，求實(shí)數(shù)m的值.3．（24-25高二下·上?！ぴ驴迹┮阎c(diǎn)到點(diǎn)和的距離之差的絕對(duì)值等于為坐標(biāo)原點(diǎn)，(1)求點(diǎn)的軌跡及軌跡方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn)，的面積為，求直線的方程.4．（2025·云南·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，，在上，滿足．(1)求的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線（與軸不重合）交于，兩點(diǎn)．若，求直線的方程．5．（23-24高二上·河南周口·期中）已知直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求的取值范圍；(2)記的面積為，試問(wèn)是否有最小值？若有，求出最小值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.6．（24-25高二上·山西太原·月考）已知雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，其中一條漸近線的傾斜角為.(1)求雙曲線的方程；(2)的左、右焦點(diǎn)分別為，若過(guò)的直線與交于兩點(diǎn).當(dāng)兩點(diǎn)均在的左支上時(shí)，求面積的取值范圍.【題型09：中點(diǎn)弦問(wèn)題】一、單選題1．（2025·內(nèi)蒙古包頭·二模）直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，則直線的方程為（

）A． B．C． D．2．（24-25高二上·貴州貴陽(yáng)·期末）已知雙曲線與直線相交于A，B兩點(diǎn)，其中中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．3．（2025·湖南邵陽(yáng)·三模）已知直線與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，且弦的中點(diǎn)是，則此雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．4．（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·期末）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交雙曲線于、兩點(diǎn).若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．5．（24-25高二上·四川成都·期末）設(shè)為雙曲線上的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，則（

）A． B． C． D．二、填空題6．（24-25高二下·上海·月考）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)左焦點(diǎn)作斜率為2的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線的斜率為，則的值是.【題型10：雙曲線中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題】一、解答題1．（23-24高二上·陜西西安·月考）已知雙曲線，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率，點(diǎn)在雙曲線上．(1)求雙曲線的方程;(2)如圖，若直線與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn)Q，P，且.求證:為定值；2．（24-25高二下·廣東清遠(yuǎn)·期末）已知雙曲線與橢圓的焦點(diǎn)相同，且離心率之比為.(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線的左?右兩支分別交于兩點(diǎn)，記點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，證明：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).3．（24-25高二上·江蘇南通·月考）已知?jiǎng)狱c(diǎn)分別與定點(diǎn)和連線的斜率乘積.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)是的右焦點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)，與曲線交于兩點(diǎn)，是否存在軸上的點(diǎn)，使得直線繞點(diǎn)無(wú)論怎么轉(zhuǎn)動(dòng)，都有成立？若存在，求出的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.4．（24-25高二下·貴州遵義·月考）已知為雙曲線：的左頂點(diǎn)，F(xiàn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，.(1)求雙曲線的方程.(2)已知直線：與雙曲線交于A，B兩點(diǎn).（i）求m的取值范圍.（ii）設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，試問(wèn)是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.5．（24-25高二下·湖北荊州·月考）已知雙曲線.(1)過(guò)的直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線的斜率；(2)若直線與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)（A，B均異于左、右頂點(diǎn)），且以線段為直徑的圓過(guò)雙曲線的左頂點(diǎn)C.試問(wèn)：直線是否過(guò)定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說(shuō)明理由.6．（2025高二下·遼寧沈陽(yáng)·專題練習(xí)）已知雙曲線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，(1)求的方程；(2)若直線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)（異于點(diǎn)，），的平分線與軸垂直，求證：的傾斜角為定值．一、單選題1．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)是4，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．4 C． D．2．（24-25高二上·天津·期末）已知雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，且離心率為，則雙曲線C的方程為（

）A． B．C． D．3．（24-25高二上·廣東汕尾·期末）雙曲線的一條漸近線為，則C的離心率為（

）A． B． C．2 D．44．（23-24高二上·上?！て谀┓匠瘫硎窘咕酁榈碾p曲線，則實(shí)數(shù)λ的值為（）A．1 B．或1 C．或 D．或15．（23-24高二上·重慶·月考）曲線（）與曲線（）的（

）A．焦距相等 B．離心率相等C．焦點(diǎn)相同 D．頂點(diǎn)相同6．（24-25高二下·廣西·期中）已知，是雙曲線E：（，）的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，且垂直x軸，若，則E的離心率為（

）A． B． C． D．27．（23-24高二下·浙江·月考）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，若雙曲線左支上存在點(diǎn)使得，則離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．（24-25高二下·湖南·月考）過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)作其一條漸近線的垂線，垂足為，線段的中點(diǎn)在另外一條漸近線上，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．9．（24-25高二上·天津河北·期末）已知，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，（），若的離心率為，則的值為（

）A．3 B． C．2 D．10．（24-25高二上·福建泉州·期末）斜率為1的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)為，則（

）A． B． C． D．11．（23-24高二上·貴州·開(kāi)學(xué)考試）設(shè)直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，為上不同于的一點(diǎn)，直線的斜率分別為，若的離心率為，則（

）A．3 B．1 C．2 D．12．（25-26高二上·云南·月考）雙曲線的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且，，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．13．（2025·山東臨沂·二模）已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為左支上一點(diǎn)，滿足，與的右支交于點(diǎn)，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．14．（24-25高二·全國(guó)·假期作業(yè)）曲線的左，右焦點(diǎn)為，C上有一點(diǎn)P，與y軸交于點(diǎn)Q，滿足以P為圓心，為半徑的圓與x軸相切，恰交y軸于Q，則C的漸近線方程為（

）A． B． C． D．15．（2025·廣西桂林·一模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，直線與的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．16．（2025高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)分別在的左支和右支上，且滿足，，，則的離心率為（

）A． B． C． D．17．（24-25高二上·陜西·期中）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，若在上存在點(diǎn)（不是頂點(diǎn)），使得，則的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、填空題18．（24-25高二下·北京·期中）雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，漸近線方程為，焦距為，則雙曲線的方程為19．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知雙曲線的焦點(diǎn)與橢圓的上、下頂點(diǎn)重合，且其中一條漸近線的方程為，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．20．（23-24高二上·浙江紹興·期中）已知橢圓和雙曲線有共同的焦點(diǎn)，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則的值為．21．（24-25高二下·貴州遵義·期中）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，過(guò)作垂直于軸的直線與兩漸近線分別交于點(diǎn)，若為等邊三角形，則的離心率為．22．（2025·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知為雙曲線的右焦點(diǎn)，為的右頂點(diǎn)，為上的點(diǎn)且在第一象限，且垂直于軸.若的離心率為2，則的斜率為.23．（24-25高二下·山西·開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，若以（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直徑的圓被雙曲線的一條漸近線所截得的弦長(zhǎng)等于雙曲線的虛軸長(zhǎng)，則雙曲線的離心率為．24．（24-25高二上·福建莆田·期中）已知雙曲線被斜率為1的直線截得的弦的中點(diǎn)為，則該雙曲線的離心率為.25．（24-25高二上·江西景德鎮(zhèn)·期末）離心率為的雙曲線與直線交于兩點(diǎn)，已知雙曲線的焦點(diǎn)為，且與的周長(zhǎng)之差的絕對(duì)值為2.若線段的中點(diǎn)為，則直線的方程為.26．（24-25高二上·甘肅蘭州·期末）設(shè)為雙曲線上兩點(diǎn)，如下三個(gè)點(diǎn)：中，可作為線段中點(diǎn)的是.（請(qǐng)將所有滿足條件的點(diǎn)填入）27．（24-25高二上·湖北省直轄縣級(jí)單位·期末）雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，以線段為直徑的圓與雙曲線的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為，若，則.三、解答題28．（23-24高二下·上?！て谥校┮阎p曲線(1)求該雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)